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Transkript Von der Parameterform in die Normalenform ohne Kreuzprodukt – Spezialfall

Hallo! Wir haben eine Ebene in Parameterform und die soll in Normalenform umgeformt werden. Dieser Fall hier ist ein Spezialfall, weil da und da eine 0 vorkommen. Was das dann mit der Ebene macht, werden wir gleich sehen. Wir suchen vor allem einen Normalenvektor. Einen Punkt der Ebene haben wir ja schon, der ist (1|2|0). Diese 0 hier hat mit den Nullen übrigens nichts zu tun, ist einfach nur so da. Wir suchen einen Normalenvektor (n1/n2/n3), der skalar multipliziert mit den Richtungsvektoren jeweils 0 ergibt. Das schreibe ich direkt mal als Gleichungssystem, das heißt, wir haben also 0n1+2n2+3n3=0 und wir haben eine 2. Gleichung, die dieser Normalenvektor erfüllen muss: 0n1+4n2+1n3, und dann schreibt man natürlich nur n3 hin, und das soll auch 0 sein. Jetzt fällt hier also auf, dass n1 jeweils mit 0 multipliziert wird, das bedeutet, wir können also irgendetwas für n1 einsetzen, das ist eh egal. Das, was wir für n1 einsetzen, hat auf das Ergebnis keinen Einfluss. Das bedeutet, wir haben quasi ein Gleichungssystem nur noch mit 2 Variablen und das kann man lösen, zum Beispiel mit Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren. Ich möchte hier das Additionsverfahren verwenden. Ich hätte das natürlich noch extra hier als Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen schreiben könne, mache ich jetzt aber nicht, um mir die Schreibarbeit zu ersparen. Was wir machen können, ist also die 1. Gleichung mit 2 multiplizieren und dann die 2. Gleichung davon abziehen. Dann erhalten wir eine neue Gleichung und die sieht dann so aus, also n1 lasse ich jetzt mal weg, das ist ja sowieso quasi nicht da, weil es mit 0 multipliziert wird. Als neue Gleichung erhalten wir dann hier eine 0+ (3×2, das muss ich rechnen, minus 1 ist 5) 5n3=0. Was folgt daraus? Daraus folgt, dass n3=0. Wenn n3=0 und wir setzen es hier zum Beispiel wieder ein, dann muss n2 auch gleich 0 sein, ich glaube, das muss ich nicht erklären, 0, 0, 2× wie viel ist 0? Also 0, n2 ist auch 0. Was bleibt dann für unseren Normalenvektor noch übrig? Wir müssen für n1 irgendetwas einsetzen, natürlich jetzt nicht 0, denn wenn alles 0 ist, dann gibt der Normalenvektor keine Richtung vor, also können wir zum Beispiel für n1 1 einsetzen. Ich hätte auch 100.000 einsetzen können, aber man nimmt ja dann einfache Zahlen, weil ja vielleicht noch was in der Aufgabe, die man gerade behandelt, kommt. Vielleicht muss man da noch was rechnen mit, und dann ist es immer praktisch, wenn man einfache Zahlen hat. So, das war jetzt viel formaler Aufwand für eigentlich nichts, wenn man sich das Ganze vorgestellt hätte. Jetzt kommt eben die Sache,wie hätte ich es mir einfacher machen können, wenn ich vorher nachgedacht hätte. Folgendermaßen, ich nehme wieder ein Koordinatensystem, eins, was du dir selber basteln kannst, indem du dein Mathebuch verwendest. Eine Ebene, noch eine und noch eine Ebene, und hier sind die Koordinatenachsen, 1., 2., 3. Koordinatenachse. Wir stellen jetzt fest, dass die beiden Richtungsvektoren keine Ausdehnung in x1-Richtung haben, x1-Richtung ist diese hier. Wenn sie keine Ausdehnung haben, liegen sie beide in dieser Ebene irgendwo, das heißt, in der x2, x3-Ebene, beziehungsweise y, z-Ebene. So ungefähr liegen die da, weiß ich nicht, habe ich mir keine Gedanken weiter gemacht, ist auch egal. Also, sie liegen in der Ebene. Jetzt ist die Frage, wenn die in der Ebene liegen, wie sieht denn ein Normalenvektor aus? Der muss ja senkrecht zu der Koordinatenebene sein, das heißt, er kann einfach nur eine Ausdehnung in x1-Richtung haben. Wenn er hier in x3-Richtung irgendwo wäre oder z-Richtung, dann wäre er ja nicht rechtwinklig zur Ebene, und so kann er auch nicht gekippt sein, er kann nur in z-Richtung sein. Das heißt, man hätte für z nur einfach die 1 einsetzen können, beide anderen 0 setzen, und dann wäre die Sache fertig gewesen und dann braucht man noch nicht irgendetwas rechnen. Aber das Rechnen hilft auf jeden Fall auch, auch dann kommt man zu einem Ergebnis, aber wenn man beides verbindet, dann ist es immer das Beste. Viel Spaß damit, tschüss.  

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