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Transkript Trigonometrie – Höhenmessung aus der Entfernung

Herzlich Willkommen zum Video "Höhenmessung aus der Entfernung". Die beiden Mädchen Anna und Lena wandeln so durch die Landschaft, so durch Natur, die Felder, den Wald. Plötzlich sehen sie einen Turm. Oh, der ist bestimmt 10m hoch. Was denn mindestens 15m oder noch höher. Naja man müsste das irgendwie ausmessen, man müsste seine Höhe kennen. Die Höhe wollen wir nun einmal eintragen. Es ist der Abstand vom Boden bis zur Spitze des Turmes. Hm wir kann man eigentlich die Höhe bestimmen. Ah ich habe eine Idee, mit dem Freien Fall, da geht das bestimmt. Aha. Ich hab auch eine Idee, mit dem Strahlensatz, da geht das auch. Hm so einfach ist das aber nicht. Wieso? Naja, da ist ja was dazwischen, schau mal zwischen uns und dem Turm. Da sind Sträucher, Dornen, da kommen wir gar nicht vorbei. Naja, dann geht es mit dem freien Fall nicht. Schade. Na, und mit den Strahlensätzen geht es dann auch nicht. Ganz schade. Du, Lena, dann fragen wir doch mal jemanden von Sofatutor. Ohja, dass ist eine gute Idee. Können Sie uns vielleicht sagen wir das funktioniert? Naja man könnte es ja vielleicht mal mit Trigonometrie probieren. Trigonometrie, was ist denn das? Naja, das hat mit Winkelfunktionen zu tun. Ein bischen rechnen muss man auch. Oh, könnten Sie uns das zeigen? Na klar, ihr könnt ruhig aufpassen. Na fein, dann schauen wir mal zu. So wärend Anna und Lena hier zuschauen, werde ich versuchen zu erklären wie man das Problem löst. Wir haben hier schon begonnen eine vernünftige Skizze zu zeichnen, und ich werde diese fortsetzen. Zunöächst mache ich aus diese beiden Linien, Standort vom Boden des Turm und Turnboden bis Spitze, ein Dreieck. Das sieht in etwa so aus. Wenn wir uns vom Turm etwas wegbewegen, erhalten wir ein 2. Dreieck. Indem der Abstand vom Beobachter des Turm etwas größer ist. Und auch die Hypotenuse in diesem Rechtwinkligen Dreieck ist etwas größer. Wir tragen nun 2 Winkel, α und β in diese beiden Dreiecke ein. Diese schließen jeweils die Geraden vom Boden bis zum Turm, und die Hypotenuse des Dreiecks ein. Den Abstand zwischen 2 Beobachtungspunkten kennzeichnen wir mit roter Farbe. Wir beizeichnen ihn mit l und können ihn dann auch ausmessen. Den Abstand vom näheren Beobachtungspunkt zum Turm bezeichnen wir mit x. Wir kennen ihn nicht, werden ihn aber in der Rechnung verwenden. Wir können nun die Winkelfunktion tangens benutzen. Es gilt: tanα=h/x, Gleichung (1). Weiter gilt: tanβ=h/(x+l), Gleichung (2). Wir multiplizieren die Gleichung 1 mit x, und dividieren durch tanα und erhalten : x=h/tanα. Wir setzten nun diesen Ausdruck in Gleichung 2 ein und erhalten : tanβ=h/((h/tanβ)+l). Wir multiplizieren nun die erhaltene Gleichung mit dem Nenner auf der rechten Seite und erhalten: h×(tanβ/tanα)+l×tanβ=h. Wir subtrahieren nun von beiden Seiten, h×(tanβ/tanα), und Klammern auf der rechten Seite das h aus. Wir erhalten somit: l×tanβ=h×(1-tanβ/tanα). Wir vertauschen nun beide Seiten der Gleichung und schreiben  den Klammerausruck auf einen gemeinsamen Nenner. Somit ergibt sich: h×(tanα-tanβ)/tanα=l×tanβ. Wir multiplizieren nun beide Seiten der Gleichung mit dem Bruch auf der linken Seite und erhalten: h=l×((tanα×tanβ)/(tanα-tanβ)). Oh, da haben wir ja immer noch kein Ergebnis. Naja, das ist ja auch eine Formel. Naja wir wollten doch wissen wie groß h ist. Dann sagt doch mal, was ihr gemessen habt. Also wir haben gemessen für α=45°, ja und für β haben wir gemessen 30°. Wie groß ist denn der Abstand zwischen beiden Beobachtungspunkten. Oh den haben wir ganz vergessen. Na dann messt ihn doch ganz schnell aus. Naja von hier bis hier, also ziehmlich genau. Ich glaube ihr könnt runden. Also 8m. Aha, l=8m. So nun wollen wir die Werte einmal in die Gleichung einsetzen. Ohja einsetzen. Also h=8m und im Zähler steht tan von 45° mal tan von 30° dividiert durch tan von 45° minus tan von 30°. Jaja und jetzt in den Taschenrechner. Naja vielleicht kennen wir noch einige Werte der Winkelfunktion so, aus dem Kopf. Ja wirklich? Naja mal sehen. ALso tan 45° ist 1 und tan von 30° ist 1 durch Wurzel 3. Das brauchen wir eigentlich nur einzusetzen. Wir erhalten somit 8m×(1×1/(\sqrt3))/(1-1/(\sqrt3)). Den Bruch multiplizieren wir im Zähler und im Nenner mit Wurzel 3 und erhalten: =8×(1/(\sqrt3-1))m. Und jetzt in den Taschenrechner. Naja jetzt können wir ihn verwenden. Also, h ist run 10,9m. Ah da hatte ich recht. Nein, ich hatte recht, ich hatte recht. Nun seid doch mal ruhig, das ist doch ein ordentlicher Wert und ihr könnt euch freuen. Machen wir ja auch, vielen vielen Dank. Bitteschön. Gut, das wäre es für heute. Ich wünsche euch viel Erfolg, und alles Gute. Tschüss.

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4 Kommentare
  1. 001

    Eigentlich erkläre ich penetrant gründlich. Dennoch nehme ich die Kritik natürlich an. Das Video ist vier Jahre alt. Ich werde keine Möglichkeit mehr haben, die Kritik zu berücksichtigen, da ich Mathematik - Videos nicht mehr drehe.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Hätte man die ersten zwei Minuten weggelassen und dafür die Umformschritt "erklärt" dann würde man sich eher auskennen! :-(

    Von Jovic Dajan, vor fast 2 Jahren
  3. 001

    Die Terme beider Seiten werden vertauscht. Der ehemals linke Term steht nun rechts und ist unverändert. Mit dem ehemals rechten Term und nun linken Term geschieht folgendes: Aus der 1 wird tan alpha durch tan alpha gemacht. Damit hat man einen Bruch, der den gleichen Nenner wie der Bruch tan beta durch tan alpha. Es werden beide Brüche mit einem gemeinsamen Nenner geschrieben: (tan alpha - tan beta) durch tan alpha.
    Alles Gute!

    Von André Otto, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    Das Vertauschen bei Minute 5:30 verstehe ich nicht! Gibt es ein Video wo diese Schritte genau erklährt werden ? Wenn Sie mir schreiben könnte was hinter dem Aktionsstrich stehen würde wäre mir schon geholfen. danke

    Von Gerrit I., vor mehr als 4 Jahren