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Transkript Quadratische Gleichungen lösen

Hallo! Wir wissen jetzt, was quadratische Gleichungen sind und in diesem Video wollen wir versuchen sie zu lösen. Am Ende finden wir sogar eine allgemeine Lösungsformel. Das hier ist die Normalform einer quadratischen Gleichung: x2+px+q=0. Die einzelnen Teile haben auch Namen: x2 ist das quadratische Glied, px ist das lineare Glied und q ist das konstante Glied. Auf der Suche nach Lösungen schauen wir uns jetzt erst mal Gleichungen an, bei denen das lineare Glied fehlt. Das sind dann also rein quadratische Gleichungen. Sagen wir zum Beispiel mal q=-7. Dann haben wir also die Gleichung x2-7=0. Da bringen wir zu erst mal die 7 auf die andere Seite, dann haben wir also x2=7. Und da gibt es genau 2 Zahlen, die diese Gleichung erfüllen. Nämlich \sqrt-7 und \sqrt7. Bei beiden ist das Quadrat =7. Das sind also alle unsere Lösungen und die bezeichnen wir mit x1 und x2. Jetzt nehmen wir mal q=3, dann haben wir also die Gleichung x2+3=0 und die stellen wir um zu x2=-3. Aber eine Quadratzahl kann ja niemals negativ sein. Deswegen hat diese Gleichung gar keine Lösung. Als Nächstes schauen wir uns eine Gleichung an, bei der das konstante Glied fehlt. Für p nehmen wir jetzt mal den Wert 5. Dann haben wir also die Gleichung x2+5x=0. Hier ist es geschickt, das x auszuklammern. Also x×(x+5)=0. Dann haben wir nämlich ein Produkt. Und ein Produkt ist 0 genau dann, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Das Produkt wird also entweder 0, wenn x=0 ist, oder wenn die Klammer =0 ist. Und das passiert, wenn x=-5 ist. Wir haben also die Lösungen x1=0, x2=-5. Und jetzt können wir uns auch an die ganz Allgemeinfall rantrauen. Da nehmen wir mal das Beispiel x2+4x+3=0. Hier heißt der entscheidende Schritt auf dem Weg zum Ziel: quadratische Ergänzung. Wir schreiben also den linearen Term 4x als 2×2x, quadrieren die 2 und schreiben das Quadrat hinten als Summand dazu. Und dann müssen wir noch 1 abziehen, weil ja oben nur +3 steht und nicht +4. Jetzt können wir die ersten 3 Summanden schreiben als (x+2)2 und dann können wir die 1 auf die andere Seite bringen. Also (x+2)2=1. Wenn das Quadrat dieser Klammer 1 ist, dann muss die Klammer selber + oder -1 sein. Jetzt brauchen wir nur noch die 2 auf die andere Seite zu bringen und dann steht die Lösung schon da. Dann ist die erste Lösung also -2-1=-3. Und die zweite -2+1=-1. Jetzt machen wir mal die Probe: (-32)=9; (-3×4)=-12; +3=0, d.h. (9-12+3=0). Stimmt! (-12)=1; (-1×4)=4; +3=0, d.h. (1-4+3=0). Passt! Um auf die allgemeine Lösungsformel zu kommen, machen wir den Trick mit der quadratischen Ergänzung jetzt mit der allgemeinen Gleichung mit p und q. Wir schreiben also p als 2×(p/2) und müssen dann hinten das Quadrat von p/2 addieren. Dann müssen wir es wieder abziehen und das +q hinschreiben, was eigentlich dort stand. Dann lassen sich die ersten 3 Summanden zusammenfassen zu (x+p/2)2 und den Rest müssen wir einfach übernehmen. Jetzt bringen wir -(p/2)2+q auf die andere Seite und dann muss wieder, wenn das Quadrat der Klammer den Term rechts ergibt, die Klammer selber + oder - \sqrt aus dem Term rechts sein. Jetzt bringen wir noch p/2 auf die andere Seite, das wird dann zu -p/2, und dann haben wir schon die Formel für unsere beiden Lösungen. Das ist jetzt die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen, die ist aber besser bekannt unter dem Namen p-q-Formel. Wir nehmen jetzt noch mal unser Beispiel von eben und versuchen die Formel anzuwenden. Also p=4 und q=3. Dann setzten wir also hier 4 ein, hier 4 und hier 3. Dann haben wir also: x1,2=-2+-\sqrt(4-3). Das ist -2+-\sqrt1 und das ist -2+-1. Also kriegen wir wieder unsere Lösungen x1=-3 und x2=-1. Okay, es gibt aber nicht immer 2 Lösungen, es gibt auch Gleichungen die nur 1 Lösung haben oder gar keine. Das schauen wir uns dann aber im nächsten Video an und da üben wir auch noch ein bisschen die Formel anzuwenden und schauen uns noch ein, zwei andere Tricks an. Okay, bis dann!

Informationen zum Video
20 Kommentare
  1. Felix

    @Maas0804: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  2. 7 img 1864

    Ich verstehe es nicht! :(((( so oft ich schon dieses video geschaut habe, ich bin einfach zu doof für mathe

    Von Li Don De M., vor mehr als einem Jahr
  3. Felix

    @Gaby67:
    Die Übung ist nicht falsch. Probiere einmal verschiedene Methoden: quadratische Ergänzung und p-q-Formel. Achte insbesondere auf die Vorzeichen; da kann man sich leicht verrechnen.
    Zum Schluss mache eine Probe und schaue, dass du dich nicht verrechnet hast.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    die übung stimmt doch nicht die lösung ist falsch

    Von Gaby67, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Sehr gut zum Wiederholen.
    Danke

    Von Tobias M., vor fast 2 Jahren
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Supra Mkiv,
    quadratische Gleichungen können eine oder zwei oder gar keine Lösung haben. Wenn man die Formel anwendet, kriegt man heraus, wieviele es tatsächlich sind und welche Zahlen es sind. Deswegen schreibt man x1, 2 = ... Wenn in der Wurzel etwas Positives rauskommt, hat man zwei Lösungen. Für x1 nimmt man dann an der Stelle wo +- steht das "-" und für x2 setzt man an der Stelle "+-" das "+".

    Von Steve Taube, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    ich verstehe das noch nicht mit dem x1 und x2

    Von Supra Mkiv, vor etwa 2 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Maas0804,
    x²+2x-3=0 kannst du mit der p-q-Formel wie im Video gezeigt lösen:
    x²+2x-3 ist in Normalform (d.h. vor dem x² steht eine 1), damit können wir p und q ablesen. p = 2 und q = -3
    Die Formel lautet x1,2 = -p/2 +- Wurzel(p²/4-q). Also einsetzen:
    x1,2 = -2/2 +- Wurzel(4/4-(-3))
    Vereinfachen zu x1,2 = -1 +- Wurzel(1+3) = -1 +- Wurzel(4).
    Weiter vereinfachen zu x1,2 = -1 +- 2, d.h. x1 = -3, x2 = 1.

    Von Steve Taube, vor etwa 2 Jahren
  4. 7 img 1864

    x^2+2x-3=0 .... wie kommt man denn auf die Lösungsmenge L=(-3/1) ???? Ich habe da was ganz anderes raus ?

    Von Li Don De M., vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Steve du bist super!!! ich schau eigentlich immer deine Videos wenn du welche zum Thema hast!! Vielen Dank!!!

    Von Dj Moody, vor etwa 2 Jahren
  6. Default

    gut

    Von Liesegang26, vor fast 3 Jahren
  7. Default

    oh okay sorry, hab im ersten moment nicht verstanden, dass es darauf hinaus läuft. vielleicht etwas schwer erklärt, aber besser gehts wohl auch nicht, am besten man lernt die PQ-Formel einfach auswendig;)

    Von Leo Mia, vor fast 3 Jahren
  8. Default

    wieso wendet man nicht einfach die PQ-Formel an?

    Von Leo Mia, vor fast 3 Jahren
  9. Bewerbungsfoto

    Hallo Kristandt,

    das ist ein Schritt der quadratischen Ergänzung.
    Warum wird er gemacht? Ich versuche einen Term zu formen, der genau so aussieht wie die rechte Seite einer binomischen Formel (also a²+2ab+b²). Der Term x²+4x = x²+2*x*2 sieht schonmal fast so aus (mit a=x und b=2), es fehlt nur hinten das +b², was ind em Fall +2² wäre. Deswegen addieren wir 2² am Ende des Terms. SO erhalten wir nämlich eine binomische Formel und können den Term als Klammer zum Quadrat schreiben. So wie es in den nächsten Schritten gezeigt wird...

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  10. Default

    warum quadiert man die 2 bei 2:45 ?

    Von Kristandt, vor fast 3 Jahren
  11. Default

    der ist echt schlecht Sorry

    Von Ak Ag, vor etwa 3 Jahren
  12. Bewerbungsfoto

    Hallo Guellstorfm und Joy,

    an der Stelle wende ich die Binomische Formel rückwärts an. Das ist eigentlich der ganze Trick bei der Aufgabe. Man stellt sich die GLeichung so zurecht, dass man die rechte Seite einer Binomischen Formel erhält. Wenn man sich dann an die BF erinnert, kann man daraus einen Klammerausdruck zum Quadrat machen. Ich hoffe, es ist jetzt klarer. Ansonsten fragt nochmal...

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  13. Default

    Mir ging es ähnlich - ich kann auch nicht nachvollziehen, warum bei Minute 3 plötzlich die 2 quadriert und umgestellt wird. Es wird oft nur erklärt was gemacht wird, aber nicht der Hintergrund dazu.

    Von Guellstorfm, vor mehr als 3 Jahren
  14. Default

    Also ich fand das Video zu schwer .Es ging mir oft zu schnell und ich konnte nicht nachvollziehen wie er die Zahlen umgestellt hat.

    Von Joy, vor mehr als 3 Jahren
  15. Default

    Wie kommt er bei min 03:00 auf das (x+2) hoch 2 ?

    Von Joy, vor mehr als 3 Jahren
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