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Transkript Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen (2)

Hallo! Die pq-Formel kann man herleiten, und wie das geht, möchte ich jetzt mal zeigen. Und zwar haben wir eine quadratische Gleichung x2+px+q=0. Und die möchte ich jetzt mal ganz allgemein umformen, sodass man die Lösungen sehen kann. Und das geht zunächst mal, indem man auf beiden Seiten -q rechnet. Man kann auch anders anfangen, ist aber egal. Ich mach es so, auf beiden Seiten -q, dann steht auf der linken Seite noch x2+px und auf der anderen Seite steht -q. Jetzt ist es Zeit für die quadratische Ergänzung, also die Hälfte dieser Zahl zum Quadrat wird dazuaddiert, und zwar auch wieder auf beiden Seiten, das ist also (p/2)2. Dann steht hier x2+px+(p/2)2=(p/2)2-q. So, ich hoffe, du bist einverstanden. Dann machen wir, ja ein schönes p hier vielleicht, sonst sieht es aus wie eine 9. Jetzt können wir die 1. binomische Formel anwenden. Das bedeutet also eine Termumformung und ich brauche eine 2. Folie. Die 1. binomische Formel wenden wir an, und zwar steht dann da (x+p/2)2=(p/2)2-q. Ich hoffe, ich muss das nicht mehr genau erklären mit der 1. binomischen Formel. Ach, ist egal, ich zeig es eben, wie bin ich darauf gekommen, sie liegt ja hier. Bevor man da groß rumredet und sagt, warum man´s nicht verwendet. Hier setze ich x ein, hier steht x und p/2 und hier steht (p/2)2. Also, 2×x×(p/2). Der Bruchstrich ist etwas verrutscht. 2×x×(p/2)=p×x, denn 2×(1/2) kürzt sich ja weg zu 1, dann steht da noch x×p, das ist das gleiche wie p×x, und das ist das, was hier steht. Hier steht (p/2)2 und da auch. Deshalb kann man die 1. binomische Formel anwenden. Und zwar steht dann hier (x+(p/2), jetzt ohne verrutschten Bruchstrich, das ganze in Klammern zum Quadrat. Und das hab ich eben auch hier hingeschrieben. Und jetzt kann ich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Dann erhalte ich hier, weil das zum Quadrat ist, daraus die Wurzel ist wieder gleich der Klammer. Ich brauch ein bisschen Platz, da kommt gleich noch was hin. x+p/2=\sqrt((p/2)2-q). Und jetzt hab ich hier auch noch Platz gelassen, warum? Denn wir haben ja hier quasi 2 Gleichungen stehen, denn wenn ich vor diese Wurzel hier noch ein Minuszeichen schreibe und ich ein x finde, welches diese Gleichung erfüllt, dann ist diese Gleichung auch erfüllt. Ich kann aber auch ein x finden, das die jetzt entstandene Gleichung erfüllt. Das bedeutet, es könnte auch x+p/2+\sqrt((p/2)2-q) sein. In beiden Fällen, wenn ich ein x finde, so dass x+p/2-\sqrt dingsbums richtig ist oder ich ein x finde für das x+p/2+\sqrt dingsbums richtig ist, beides mal wäre die Gleichung hier oben richtig und deshalb, weil es hier 2 Möglichkeiten gibt, schreibt man auch x1,2. Das sind 2 Indizes, wie man so sagt, Plural von Index. 2 Indizes also an dem x, steht für 2 Gleichungen in 1. Hier habe ich ja quasi 2 Gleichungen, und es sind 2 x, die man dann rausfinden kann, und deshalb schreibt man das so. Und jetzt muss ich noch hier, um die Formel also vollständig zu machen, -p/2 rechnen, auf beiden Seiten, und dann steht hier also die Formel in voller Herrlichkeit: x1,2=-p/2±\sqrt((p/22)-q) Das ist die komplette Herleitung. Hier in der richtigen Reihenfolge. Die Formel haut ab und ich jetzt auch. Herleitung ist erledigt. Viel Spaß damit, bis bald! Tschüss!

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3 Kommentare
  1. Felix

    @Bbscholl: Schaue dir die Videos zum Thema „Terme und Gleichungen" an:
    http://www.sofatutor.com/mathematik?list=1426061901416
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der täglich von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Danke Herr wabnik ich hätte eine Bitte, könnten sie ein Tutorial zum Thema Thermumformung machen ? :)

    Von Bbscholl, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Ich finde ihre Mathe Videos sehr hlfreich und lehrreich!Wirklich toll gemacht sie sind einer meiner Lieblingstutoren. :)

    Von Famada, vor mehr als 3 Jahren