Proportionale Funktionen

Hallo!
Heute stelle ich euch proportionale Funktionen vor. Ihr kennt bereits proportionale Funktionen als proportionale Zuordnungen. Ich zeige euch, wie man ihre Funktionsgleichung aufstellt.
Proportionale Funktionen haben dieselben Eigenschaften wie proportionale Zuordnungen. Eine proportionale Funktion erkennt man daran, dass bei einer Verdopplung (beispielsweise Verdreifachung, Vervierfachung ...) des x-Wertes sich der y-Wert entsprechend verdoppelt (beispielsweise verdreifacht, vervierfacht ...) oder wenn man den x-Wert halbiert (beispielsweise drittelt), dann halbiert (oder drittelt) sich auch der y-Wert.
Ein wichtiges Merkmal ist die Quotientengleichheit, das heißt, wenn man sich ein Wertepaar nimmt, das zur Funktion gehört (außer dem Punkt (0;0)) und den y-Wert durch den x-Wert teilt, erhält man immer die gleiche Zahl. Hier im Beispiel ist das die 2. Der Quotient y÷x heißt auch Proportionalitätsfaktor. Wenn man die Gleichung m=y÷x mit x multipliziert, wobei x nie 0 sein darf, dann erhalten wir diese Gleichung. m beschreibt die Steigung der Geraden. Sie zeigt an, ob die Gerade steigt oder fällt. Die Funktionsgleichung lautet also y=m×x.
Nun zeige ich euch, wie man den Graphen einer proportionalen Funktion zeichnet. Wir beginnen mit einer Aufgabe. 10 l Benzin kosten 7,50 Euro. Wie viel kosten dann 3, 6 und 15 Liter Benzin? Der Preis ist proportional zur Benzinmenge. Da man, wenn man doppelt, beispielsweise dreifach so viel Benzin tankt, auch doppelt, beispielsweise dreifach so viel Geld bezahlt. An dem gegebenen Wertepaar x=10, y=7,5 errechnen wir m=y÷x=7,5÷10=0,75. Das heißt, jeder Liter kostet 75 Cent. Dann haben wir die Funktionsgleichung y=0,75x.
Eine große Hilfe zum Zeichnen eines Graphen ist die Wertetabelle. Mit der Formel y=0,75x können wir die Wertetabelle vervollständigen. Wir rechnen jetzt einfach 0,75×3, 0,75×6 und 0,75×15 und haben somit das Ergebnis. Diese Ergebnisse können wir jetzt ins Koordinatensystem zeichnen. Ein wichtiger Hinweis wäre noch, dass man eigentlich nur einen Punkt für den Graphen braucht, da man weiß, dass der Graph immer eine Gerade ist und durch den Punkt (0;0) geht. Da m > 0 ist - hier 0,75 - ist die Gerade steigend. Wenn m jedoch < 0 wäre, dann würde die Gerade fallen.
So, wir fassen zum Schluss noch mal alles zusammen, was ihr euch merken solltet. Die Funktionsgleichung für proportionale Funktionen lautet y=mx. m beschreibt die Steigung der Geraden. Ist m > 0, steigt die Gerade. Ist m < 0, fällt die Gerade.
So, heute habt ihr etwas über proportionale Funktionen gelernt. Ich hoffe, ihr hattet Spaß. Tschüss!