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Transkript Produktregel – Beispiel mit e-Funktion

Hallo! Hier habe ich mal eine Funktion vorbereitet, zum Ableiten. Es ist f(x)=ex×x10. Wir können uns kurz überlegen: Was ist der Definitionsbereich dieser Funktion? Es sind alle reellen Zahlen, hier gibt es also so weit keine Einschränkung. Das nur nebenbei, sollte man sich aber immer kurz überlegen. Dann handelt es sich hier bei diesem Funktionsterm um ein Produkt, wir müssen also die Produktregel anwenden, wobei ex hier in der Produktregel der 1. Funktion entspricht, des 1. Faktors und x10 ist hier der 2. Faktor, also das v. Es ist im Allgemeinen dazu zu sagen: Produktregel und e-Funktionen ist nicht besonders aufregend, bedeutet auch nicht besonders schwierig, und diesen Film mach ich vor allem deshalb, um zu sagen, da passiert nicht viel. Man kann einfach ganz normal ableiten, ohne allzu viel beachten zu müssen. Also, dann geht's los hier mit der Ableitung: Wir haben ja diese beiden Faktoren hier und die müssen wir nach dieser Produktregel ableiten. Die Ableitung von ex ist einfach wieder ex,  das ist zum Beispiel nicht besonders aufregend, das heißt, anders gesagt, es ist einfach. v müssen wir einfach abschreiben, den zweiten Faktor hier also einfach abschreiben, + ist klar, u wieder abschreiben und v' brauchen wir noch. Die Ableitung von x10 machen wir nach Potenzregel: ist 10×x9. Da ist also auch nichts weiter passiert. Jetzt ein kleiner Hinweis, den man hier vielleicht noch beachten sollte: Normalerweise machst du nicht nur eine Ableitung, sondern solche Funktionen kommen innerhalb von Anwendungsaufgaben vor. Du möchtest Extrema berechnen, brauchst also noch eine 2. Ableitung oder meistens zumindest braucht man noch eine 2. Ableitung. Und da ist also sinnvoll, wenn man noch mehrere Ableitungen machen möchte, dass man hier das Distributivgesetz anwendet. Das heißt also, ex ausklammert, in dem Fall, man könnte auch mehr ausklammern, aber ex ausklammern ist hier ganz sinnvoll. Denn, wenn du diesen Funktionsterm ableiten möchtest, also die 2. Ableitung dieser Funktion bestimmen möchtest, dann musst du auf diesen Summanden und diesen Summanden jeweils die Produktregel anwenden. Das bedeutet, du bekommst hier 2 Summanden wieder und hier auch noch mal 2 Summanden. Dann hast du schon 4 Summanden, und wenn du die 3. Ableitung auch noch brauchst, dann hast du schon 8 Summanden, wenn du das nicht weiter zusammenfasst und weil das dann immer länger wird und immer unübersichtlicher, versucht man hier, was auszuklammern und das geht natürlich auch mit dem ex. Wenn du das nämlich jetzt weiter ableitest hier, dann hast du nur 1 Produkt und bekommst jetzt wieder 2 Summanden und dann wird das alles viel einfacher. Lange Rede, kurzer Sinn: Ich habe das auch mal vorbereitet. 2. Ableitung dieser Funktion funktioniert jetzt so, deshalb habe ich den Stift in der Hand, weil ich das schon befürchtet habe, dass das hier nicht mehr schön aussieht, naja. Also, 2. Ableitung hiervon: Wir wenden wieder die Produktregel an: ex abgeleitet ist ex, 2. Faktor abschreiben, da steht er, +1. Faktor × Ableitung des 2. Faktors  und wenn wir jetzt hier x10+10x9 ableiten, machen wir das einmal nach Summenregel. Hier Potenzregel, Faktorregel und Potenzregel glaube ich, sind alte Kamellen für dich mittlerweile, und wir haben dann hier als Ableitung 10x9+90x8 und das kann man natürlich wieder zusammenfassen. Jetzt erhalten wir hier in der Klammer 3 Summanden. Also, wir haben einmal x10, wir haben 20x9 und 90x8 und ex kann man wieder ausklammern, das steht vor der Klammer und dann ist es doch, glaub ich, erträglich auch zum schreiben. Auch die 3. Ableitung wäre dann nicht so schlimm. Das ufert nicht aus, wenn man das immer schön ordentlich hier ausklammert. Ja, aber ansonsten passiert da nicht viel im Zusammenhang mit den e-Funktionen. Das ist die Message dieses Films. Viel Spaß damit, tschüss.

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