Textversion des Videos

Transkript Mengenlehre – Überblick

Hallo, hier ist wieder der Thomas und ich möchte Euch heute eine Einführung in eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik geben: die Mengenlehre. Ihr werdet lernen, welche Schreibweisen es gibt, welche Beziehungen zwischen Mengen möglich sind und welche Operationen auf Mengen anwendbar sind. Und für den Schluss des Videos habe ich dann noch ein paar Übungen vorbereitet. Zunächst möchte ich Euch aber das Elementzeichen vorstellen. Damit wird in der Mathematik die Zugehörigkeit eines Elementes zu einer Menge ausgedrückt. Möchte man z. B. schreiben das X in der Menge M vorkommt, dann sähe das so aus: Gesprochen wird es einfach X Element M. Hier ein Beispiel mit echten Werten: ½ Element Q. Q ist die Menge der rationalen Zahlen und wir haben damit ausgedrückt, dass ½ in der Menge der rationalen Zahlen vorkommt. Kommt ein Element nicht in einer Menge vor, dann verwendet man auch das Elementzeichen, allerdings vertikal durchgestrichen. Ein Beispiel hierfür: ½ ist nicht Element Z, also der ganzen Zahl. So, nun ist nun schon oft der Begriff Menge gefallen, und Ihr fragt Euch sicherlich inzwischen, was kann ich mir darunter vorstellen und wie schreibe ich so was überhaupt auf. Am einfachsten ist es, Ihr stellt Euch unter einer Menge einen Sack vor. Ich bin künstlerisch leider nicht so begabt, aber ich hoffe es ist erkennbar, das das ein Sack ist. Wenn dieser Sack leer ist, die Menge also keine Elemente beinhaltet, dann spricht man von einer leeren Menge. Ausgeschrieben sieht das so aus: eine öffnende geschweifte Klammer und eine schließende für das Ende. Fügen wir jetzt der Menge einfach mal die Elemente a, b, c, d, e hinzu. Das heißt, es liegt also keine leere Menge mehr. Aber wie schreibt man das auf? Eine mögliche Schreibweise wäre das Aufzählen der einzelnen Elemente, durch Komma getrennt innerhalb der geschweiften Klammern. Hierbei sei noch anzumerken, dass die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt. Durch Abzählen sehen wir, das die Menge, nennen wir sie mal kreativerweise M, 5 verschiedene Elemente enthält. In der Mathematik spricht man hierbei auch von der Kardinalität bzw. Mächtigkeit einer Menge. Auch hierfür gibt es eine spezielle Schreibweise: card von M ist in diesem Falle = 5. Ok, füllen wir mal den Sack mit Zahlen von 1 bis 100. Ich spare mir an dieser Stelle, alle einzeln aufzuschreiben und kürze die Aufzählung mit den sogenannten Auslassungspunkten ab. Bei der Definition einer Menge ist diese Schreibweise auch möglich und nennt sich elliptische Schreibweise. Für die Zahlen von 1 bis 100 könnte das so aussehen: 1,2,3 ... 99, 100. Natürlich muss auch hier eindeutig sein, was sich hinter den Auslassungspunkten verbirgt. Die Kardinalität dieser Menge ist 100, da alle Zahlen voneinander verschieden sind. Eine andere Variante, diese Menge abzubilden, ist es sie über die Elementeeigenschaften zu beschreiben. In unserem Zahlenbeispiel hat jedes Element die Eigenschaft, dass es zu den natürlichen Zahlen gehört und kleiner gleich 100 ist. An der Kardinalität ändert sich natürlich nichts, diese bleibt wie gehabt 100. Kurz Luft geholt und nun kommen wir zu den zwischenmenglichen Beziehungen, ich meine möglichen Beziehungen zwischen Mengen. Angenommen, wir haben die Menge M, symbolisiert durch diesen Kreis, die eingeschlossen ist von der Menge N. Das heißt also, die Menge M ist eine Teilmenge der Menge N, da jedes Element aus M auch in N liegt. Mathematisch ausgedrückt könnte man auch sagen: Aus der Zugehörigkeit von x der Menge M folgt , dass x auch Element von N.  Wie es bereits aus dem Bild zu erkennen ist, gilt diese Beziehung aber nicht umgekehrt. Das heißt, es kann durchaus Elemente aus N geben, die nicht in M liegen. Ok, dann jetzt mal angenommen, M und N sind gleich. In diesem Fall kann man einfach das bekannte Gleichheitssymbol verwenden. Interessant ist aber, was Gleichheit im Mengenkontext noch bedeutet. Nämlich das die eine Menge jeweils Teilmenge der anderen ist. Mathematisch gesehen heißt das also: x ist genau dann ein Element der Menge M, wenn es auch ein Element der Menge N ist. Ich kann mir vorstellen, das Ihr jetzt vom Begriff der Teilmenge, ein wenig verwirrt seid. Eine Menge ist also auch Teilmenge einer anderen Menge, selbst wenn beide gleich sind. Soweit richtig. Wie aber kann man dann eindeutig ausdrücken, dass eine Menge wirklich nur einen Teil der anderen ausmacht. Eine solche Teilmenge bezeichnet man in der Sprache der Mathematik als echte Teilmenge. In dem Bild sieht man das auch recht gut. M ist eine echte Teilmenge von N, da M zwar eine Teilmenge von N ist, aber M nicht gleich N ist. Und noch ein wichtiger Hinweis für die Notation, für das Symbol der echten Teilmenge wird manchmal nur die nach rechts geöffnete Ellipse verwendet. Im Zweifelsfall fragt also lieber Euren Mathetutor. Zum Abschluss dieses Parts schauen wir uns die Beziehungen der verschiedenen Zahlenbereiche an, die den Begriff der echten Teilmenge noch einmal verdeutlichen. Die Menge der natürlichen Zahlen und der natürlichen Zahlen mit 0 sind eine echte Teilmenge, der Menge ganzen Zahlen, die wiederum eine echte Teilmenge der Menge der rationalen Zahlen sind, die wiederum eine echte Teilmenge der Menge der reellen Zahlen sind, die wiederum eine echte Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen sind. Mengen kann man nicht nur miteinander in Beziehung setzen, sondern auch mit ihnen rechnen. Wir werden daher jetzt mögliche Operationen mit Mengen kennenlernen. Beginnen wir mit dem sogenannten Durchschnitt zweier Mengen. Wenn zwei Mengen geschnitten werden, dann ist das Ergebnis eine Menge, die Elemente enthält, die in beiden Mengen vorkommen. Der Operator hierfür ist ein nach unten geöffneter Halbkreis. Formal aufgeschrieben heißt das: M geschnitten N ergibt eine Ergebnismenge, in der jedes Element x von M und Element von N ist. Eine andere Operation mit Mengen ist die Vereinigung. Dabei entsteht eine Menge, die alle Elemente der vereinigten Mengen enthält. Formal aufgeschrieben heißt das: M vereinigt N und ergibt eine Menge, in der jedes Element x die Eigenschaft hat, Element von M oder von N zu sein. Und natürlich kann es auch Element von beiden Mengen sein. Als Operator für die Vereinigung wird ein nach oben geöffneter Halbkreis verwendet. Als Nächstes betrachten wir die Differenz zweier Mengen. Im Unterschied zum Durchschnitt und zur Vereinigung ist die hierbei die Position der Mengen neben dem Operator wichtig. Von der links stehenden Menge werden für die Ergebnismenge alle Elemente entfernt, die auch in der rechts vom Operator stehenden Menge vorkommen. Formal geschrieben heißt das: M ohne N erzeugt eine Menge, in der jedes Element x die Eigenschaft hat, Element von N zu sein aber gleichzeitig nicht Element von N ist. Kommen wir  als Letztes zum Kreuzprodukt. Im Ergebnis dieser Operation entsteht eine Produktmenge, deren Elemente sogenannte geordnete Paare sind. Das heißt, jedes Element hat zwei Komponenten. Eines aus der ersten Ausgangsmenge und eines aus der zweiten. Genauso kennt Ihr das bereits mit Koordinaten eines zweidimensionalen Koordinatensystems. Diese haben eine x- und eine y-Komponente. Formal definiert heißt das: In M Kreuz N hatte jedes Paar, klein m, klein n, die Eigenschaft klein m Element M und klein n Element N. Zum Abschluss dieses Videos habe ich noch ein paar einfache Beispielaufgaben vorbereitet, mit denen Ihr das gelernte festigen könnt. Gegeben ist die Menge A mit den Elementen 1,2,3 und die Menge B mit den Elementen 2,3,4 und die Menge C mit den Zahlen von 0 bis 100. Gesucht sind die Mengen A geschnitten B, A ohne B und B ohne C. An dieser Stelle schlage ich vor, Ihr stoppt das Video und versucht zunächst selbst die Aufgaben zu lösen. Ok, hier nun die Lösungen. A geschnitten B ergibt die Menge mit den Elementen 2 und 3, da diese in beiden Mengen vorkommen. A ohne B ergibt die Menge mit dem Element 1, da dies die einzige Zahl ist, die nicht in B vorkommt. B ohne C ist natürlich die leere Menge, da alle Elemente aus B auch in C vorkommen. Nun sind wir am Ende dieses Videos angelangt, ich hoffe, ich konnte Euch helfen eine Einführung in das Thema Mengenlehre zu bekommen und würde mich über Kritik in den Kommentaren freuen. Bis bald, euer Thomas.    

Informationen zum Video
19 Kommentare
  1. Default

    was ist dann die sog. "Wertemenge" ?
    wäre erfreut über hilfreiche Antwort

    Von Heideroskar, vor 2 Monaten
  2. Default

    super Video ich habe es im Unterricht überhaupt nicht verstanden. Aber jetzt ist es alles viel verständlicher.

    Danke dir :))

    Von Sevosch, vor etwa einem Jahr
  3. Default

    Sehr gut, Danke!

    Von Patrick85, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Nun konnte ich das erlernte nochmals festigen.
    Alles super! Gerne wieder :D

    Von Smndaum, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    ;-D gut gemacht! :-)

    Von Pipilottchen, vor fast 2 Jahren
  1. Default

    gut erklärt, aber zu schnell.
    Vielleicht hätte man da auch 2 Videos draus machen können.

    Von Andreradloff1983, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    Meine Lehrerin hat es mir stundenlang versucht zu erklären aber ich habe es nie verstanden. Dank diesem Video habe ich es endlich kapiert. Vielen Dank :)

    Von Wekzym, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    sehr gut erklärt.... Mathe kann so eifach sein!!

    Von M Shihni, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    sehr gut geklärt

    Von Lahib, vor mehr als 3 Jahren
  5. Default

    Das war toll. Danke.

    Anna Lea

    Von Cristina Feindler, vor mehr als 4 Jahren
  6. Default

    Super Video, finde aber auch, dass es viel zu schnell erklärt wurde, danke trotzdem!

    Von Kaddosch, vor mehr als 4 Jahren
  7. Default

    gut erklärt!

    Von Jackx, vor etwa 5 Jahren
  8. Default

    Super Video!!! :)))

    Von David En., vor etwa 5 Jahren
  9. Default

    gut gemacht aber vieeeeeelllll zu schnell erklärt....

    Von Margi, vor mehr als 5 Jahren
  10. Img 0679

    Super gemacht, hat mein Prof mir im ganzen ersten Semester nicht erklären können :-) Dankesehr

    Von Elosch, vor fast 6 Jahren
  11. Default

    sehr anschaulich und interessant dargestellt, sehr gut und verständlich erklärt!

    Von Pppr Ann, vor fast 6 Jahren
  12. Foto0014

    super gemacht!

    Von Jens B., vor etwa 6 Jahren
  13. Default

    Geil!
    Ich hatte jetz eine Woche Univorkurs und einfach nix geschnallt, und jetz seh ich so ein geiles Video und raff's ;) danke

    Von Segelmacher, vor etwa 6 Jahren
  14. Default

    Sehr schönes Video. Weiter so :P

    Von Robin Ms, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare