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Transkript Logarithmus – Brüche als Basis

Hallo. Jetzt habe ich noch etwas ganz Feines, und zwar Brüche als Basis. Ich möchte einmal Folgendes zeigen: Logarithmus zur Basis ¼ von 16. So sieht das aus. Ich muss vertikal die Ausdehnung hier erhöhen in der Schreibweise. log(Basis¼)16=-2. Da sagt ihr bestimmt: Ja, das kann ich auch hinschreiben, das ist ja nichts Besonderes. Doch ich begründe das auch. Wir haben - ich muss jetzt ein wenig die Reihenfolge einhalten, die ich mir überlegt habe. Wenn das stimmt, was ich hier geschrieben habe, dass der log(Basis¼)16=-2 ist, dann müsste Folgendes passieren: Die Frage ist, mit welcher Zahl muss ich ¼ potenzieren, damit 16 herauskommt. Ich müsste rechnen (¼)^-2=16. Warum wir das als komisch empfinden liegt daran, dass wenn einer sagt, ¼, das ist schon mal klein. Die meisten Leute gehen immer noch davon aus, dass, wenn man etwas potenziert, dann wird das zwar größer, aber wenn man etwas mit Minus potenziert, dann wird das negativ und dann wird das ganz klein. Das ist aber nicht der Fall. Diese Klammer hoch -2 bedeutet 1/(¼)^-2. Jetzt möchte ich einmal ganz langsam vorgehen. Wir wenden die Potenzgesetze an. Da weißt du ja, ein Bruch wird potenziert, indem man den Zähler und den Nenner potenziert. Das bedeutet, im Nenner des gesamten Bruches, also im Zähler des Bruches, der den Nenner bildet, also 12 steht dann hier und 42 muss ich auch noch dazu schreiben. Da ist der Hauptbruchstrich und du siehst, quasi schreibt man jetzt hier 1/(12/42). Einfach Potenzgesetze und jetzt kommt die Bruchrechnung ins Spiel. Wenn man durch einen Bruch teilt, bedeutet das, mit dem Kehrwert zu multiplizieren. Ich habe hier 1×(42/12), und 12=1, dann darf ich das auch so schreiben: 1×(42/1)=42=16. Das sind vielleicht viele Zwischenschritte, ich wollte es aber einmal ganz genau zeigen. Und gleich folgt noch ein weiteres Beispiel, das mache ich dann ein wenig schneller. Der log(Basis0,111...)3=-½. Warum? Wenn das stimmt, müsste also Folgendes gelten: Wenn man nämlich jetzt 0,111... mit -½ potenziert, dann müsste da 3 rauskommen. Woher weiß ich das? 0,111...=1/9. Ich möchte also 1/9 mit -½ potenzieren. Wenn man mit einer negativen Zahl potenziert, bedeutet das 1/(1/9)^½. Um die Sache jetzt einmal ein bisschen abzukürzen, (1/9)^½ bedeutet die Wurzel aus 1/9. Du hast oft genug Wurzeln gemacht, die Wurzel aus 1/9 ist 1/3, weil 1/3×1/3=1/9 ist. Deshalb steht hier also 1/(1/3). Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. 1/(1/3) ist also 1×3=3. Damit ist das Thema durch. Damit kannst zu also sehen, log(Basis0,111...)3=-½, weil (0,111...)^-½=3 ist. Auch Kommazahlen mit Periode können als Basis vorkommen, auch irrationale Zahlen können als Basis vorkommen. Kein Problem. Du siehst, wenn eine Zahl mit Periode da steht, dann kann man die in einen Bruch verwandeln und dann kannst du auch normalerweise vernünftig rechnen, wenn es sich um Schulaufgaben handelt. Im richtigen Leben ist das dann natürlich etwas anders, aber dazu später mehr. Bis dann. Tschüss.              

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5 Kommentare
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    Vielen Dank, hab das alles längst vergessen, jetzt kann ich es wieder!
    Die Auffrischung hat Spaß gemacht.

    Von Bigisemail, vor fast 2 Jahren
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    danke

    Von Yasmine A., vor etwa 4 Jahren
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    danke .. aber die frage im video 5 hab ich nicht verstanden

    Von Yasmine A., vor etwa 4 Jahren
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    Super erklärt vielen Dank!!!

    Von Janice C., vor etwa 4 Jahren
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    Villeicht wäre es besser gewesen erstmal die Lösungen geheim zu halten. Ich habe das Prinzip jetzt zwar gut verstanden komm jedoch immer wieder auf falsche Ergebnisse ,weil ich nicht weiß wie ich das jetzt rechnen muss. Dazu müssen wir solche aufgaben ohne Taschenrechner tätigen.

    Von Ppenczek, vor fast 5 Jahren