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Transkript Lineare Substitution – Beispiel (1)

Hallo! Wir wollen integrieren durch lineare Substitution, bzw. lineare Verkettung. Das hört sich kompliziert an, ist es aber gar nicht. Nein, tatsächlich nicht. Ich zeige das, wie das ganz einfach geht. Wir haben f(x), das ist eine Funktion, und das soll eine verkettete Funktion sein. Die innere Funktion ist eine lineare Funktion, nämlich a×x+b. Und mit diesem Funktionswert wird dann mit Hilfe von u noch irgendwas gemacht. Irgendwohin abgebildet wird er. Das ist jetzt erst mal im Dunkeln weiter, das braucht uns nicht weiter zu interessieren, was das u ist. Wenn wir jetzt eine solche Funktion integrieren wollen, müssen wir einfach eine Stammfunktion von u bilden, das steht hier, das ist groß U, U(a×x+b). Und wir müssen durch a teilen, hier angedeutet, indem wir einfach mit 1/a multiplizieren. Warum ist das der Fall? Na ja, wir brauchen nur dieses Ding hier ableiten, dann rechnen wir nach Kettenregel. Innere Ableitung mal äußere Ableitung. Die innere Ableitung ist hier a, und wenn wir nach Faktorregel vorgehen hier, wenn wir die äußere Funktion ableiten, wissen wir ja, 1/a bleibt einfach stehen. Wir müssen mit der inneren Ableitung noch multiplizieren, dann haben wir hier a/a stehen, und dann ist das schon mal weg. Und dann müssen wir noch groß U ableiten, und das ist klein u nach Definition. So ist das ja gemeint. Und damit haben wir dann schon diese Funktion hier, und die Integration durch lineare Substitution jetzt gerade mal so im Kopf bewiesen. So ungefähr, zumindest. Wie geht das? Wie kann man das konkret machen? Wir brauchen ein Integralzeichen. Das Integral suchen wir, ein Integral, ein unbestimmtes Integral. Und zwar der Funktion (3x-98)dx. Und wir sehen also, das ist eine lineare Verkettung. Die innere Funktion ist hier 3x-9, die äußere Funktion ist Klammer8. Da würde ich sagen, gehen wir einfach mal stumpf vor und setzen mal ein. Wir müssen hier schreiben 1/a, also 1/3. Und dann müssen wir nach Potenzregel integrieren, also Klammer8. Rechnen wir so, indem wir 1/(8+1)×(3x-9)9. Das ist jetzt einfach ganz stumpf Potenzregel der Integration und lineare Substitution angewendet. +c kann ich noch dahinterschreiben, klar. Und das kann ich noch ein bisschen weiter ausrechnen. Hier ist das ja eine 9, zusammen ist es 1/27, 1/27×(3x-9)9+c. Und auch da kann man noch etwas machen. Nämlich, man kann 3 ausklammern, hier. Aber man muss darauf achten, dass man nicht eine 3 ausklammert, denn wenn man hier aus der Klammer eine 3 ausklammert, dann muss man das ja noch mit 9 potenzieren. Das heißt, wir können 9 3en ausklammern. Das ist ganz praktisch, weil ja hier 27 eine Dreierpotenz ist, das ist ja 33, und wenn wir hier 39 noch ausklammern, haben wir hier vorne stehen 39/(33), das ist 36. Und 36 ist 729. Stimmt das? Ja, das stimmt. (x-3)9+c. Das ist also hier eine Stammfunktion von (3x-9)8. Die Stammfunktion, oder eine Stammfunktion, ist 729×(x-3)9. Diese Funktion kannst du noch mal integrieren, mithilfe der linearen Substitution. Hier vor dem x steht eine 1, wollte ich nur sagen. Das heißt, du musst dann ×1/1 rechnen, nur in der Vorstellung, machst du nicht wirklich, weil das ja 1 ist. Aber auch das kommt vor, dass vor dem x eine 1 steht, und dann kann man aber trotzdem das als lineare Verkettung auffassen und mit dieser Formel hier schön integrieren. Viel Spaß damit, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Ist echt bewundernswert, wie schnell du Kopfüber schreiben kannst.

    Von Rimas, vor etwa 4 Jahren