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Transkript Kostenfunktion bestimmen

Also, wir haben eine freundliche Aufgabe zu ökonomischen Funktionen in der Form, wie sie dann auch in der Schule besprochen werden. Die Aufgabe lautet: Ein Betrieb setzt seine Produkte zu einem Preis von 9,25 Geldeinheiten pro Mengeneinheit ab. Bei einer Produktionsmenge von 2 Mengeneinheiten sind die Kosten vollständig gedeckt. Die Gesamtkosten K(x) verlaufen wie eine Funktion der Form k(x)=a3x³+a2x²+a1x+a0, das ist also eine ganz rationale Funktion 3. Grades. Dann kommt die 1. Aufgabenstellung dazu. Es ist eine Funktion gesucht, und zwar die Kostenfunktion. Wir haben die Angaben, dass die fixen Gesamtkosten bei 12,5 Geldeinheiten liegen, das Grenzkostenminimum liegt bei 8/3 Mengeneinheiten. Die Grenzkosten bei 1 sind 2,75 Geldeinheiten und die durchschnittlichen Gesamtkosten betragen 61/12 Geldeinheiten bei einer produzierten Menge von 6 Einheiten. Das ist eine typische Steckbriefaufgabe, man sagt auch Parameteraufgabe dazu. Als Erstes machen wir die Abgleichung der Kostenfunktion, die wir eben gesehen haben, in der allgemeinen Form. Wir hatten als Erstes die fixen Gesamtkosten. Die Fixkosten fallen ja an, bevor irgendwas produziert wird. Das ist der Funktionswert bei 0. Wenn man überall für x 0 einsetzt, dann bleibt a0 übrig. Wir wissen jetzt sofort, dass 12,5=a0 ist. Wir können das bei den weiteren Gleichungen immer direkt einsetzen, man braucht das dann nicht mit 4 Gleichungen machen. In dem Fall ist die 2. Ableitung der Kostenfunktion gleich 0. Die Grenzkostenfunktion ist die Ableitung der Kostenfunktion. Zumindest praktisch gesehen ist es das Gleiche. Wir gehen jetzt nicht weiter darauf ein, wo der Unterschied zwischen Kostenfunktion und der Grenzkostenfunktion ist. Wenn die Grenzkostenfunktion ein Minimum hat, dann gilt laut notwendiger Bedingung, dass dann die Ableitung der Grenzkostenfunktion gleich 0 ist an dieser Stelle. Da die Grenzkostenfunktion die Ableitung  der Kostenfunktion ist, ist die Ableitung der Grenzkostenfunktion die 2. Ableitung der Kostenfunktion. Das heißt für unseren Steckbrief, dass K'' (8/3)=6a3×8/3+2a2=0. Diesen Teil der Gleichung brauchen wir. Jetzt zur nächsten Bedingung. Die Grenzkosten bei 1 sind 2,75 Geldeinheiten. Die Grenzkostenfunktion ist ja die Ableitung der Kostenfunktion, das heißt, die Ableitung der Kostenfunktion hat bei 1 den Wert 2,75. Das heißt, dass K' (1)=3a3×1+2a2×a1=2,75. Das ist wieder die interessante Gleichung, die wir hier brauchen. Die durchschnittlichen Gesamtkosten sind die durchschnittlichen Stückkosten. Die Stückkosten erhält man, indem man die Kostenfunktion durch x teilt, durch die Anzahl der Stücke, die produziert werden. Das ist k(x). Wenn man jetzt die allgemeine Kostenfunktion durch x teilt, dann haben wir hier a3x²+a2x+a1+12,5/x. Man darf hier nicht vergessen, durch x zu teilen. In diese Funktion k(x) kann man jetzt die entsprechenden Zahlen einsetzen. Das soll die Gesamtmenge darstellen nachher - das ost der Funktionswert - und deshalb müssen wir hier 6 einsetzen. Das soll dann 61/12 sein. Ganz genau, das sind unsere Gleichungen. Das ist die 3. Gleichung, die wir haben. Das bedeutet, wir müssen jetzt a1 bis a3 rausfinden. Wir haben 3 Gleichungen mit 3 Variablen, das können wir mit dem Gleichungssystem machen. Möglicherweise würde man das in einen Taschenrechner eingeben, ich zeige aber mal eben, wie man das rechnen würde. Dann kann man Folgendes machen: Man kann die 3. Gleichung minus der 2. Gleichung rechnen, dann erhält man diese Gleichung hier.   Jetzt ist ja in der Gleichung a1 weggefallen. Wenn man sich die 1. und diese Gleichung hier anguckt, dann hat man 2 Gleichungen mit 2 Variablen.Man kann jetzt diese Gleichung nehmen und das 2-fache er Ersten abziehen. Dann verschwindet in den beiden hier quasi a2, man hat a3 und das steht dann direkt da. Wenn man das einsetzt in die 1. Gleichung, also das, was man hier herausgefunden hat, dann kann man a2 ausrechnen und wenn man den Wert für a3 und a2 in die 3. Gleichung einsetzt, kann man a1 ausrechnen. Das ist dann =6. Könntest du jetzt noch die Kostenfunktion hinschreiben? Für a3 haben wir ja ausgerechnet, das ist = 0,25x3, a2 ist =-2 x2 und dann haben wir noch 6x. Und dann a0 nicht vergessen, das brauchen wir auch noch, das ist dann 12,5. Also insgesamt:  K(x)=0,25x³-2x²+6x+12,5. Das ist die Funktionsgleichung, die wir gesucht haben. Die anderen Teile der Aufgabe kommen im Anschluss.

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