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Transkript Kombinatorik – Variation ohne Wiederholung

Hallo, es geht weiter um diese Tafel hier. Wir haben den Fall schon besprochen. Hier steht, was man rechnen muss, um die Anzahl der Ergebnisse herauszubekommen, wenn der Zufallsversuch lautet: k-mal ziehen aus einer Menge mit n Objekten, und zwar mit Wiederholung und mit Reihenfolge, also die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung. Hier steht, wie man die Anzahl der Ergebnisse eines bestimmten Zufallsversuchs oder einer bestimmten Klasse von Zufallsversuchen errechnen kann. Hier geht es um das Ziehen mit Reihenfolge, aber ohne Zurücklegen: Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung. Und was das ist, möchte ich kurz demonstrieren. Und zwar habe ich hier eine Menge von 5 Kugeln (das ist rot, das ist orange - falls das nicht gut unterscheidbar ist, aber ich glaube es geht) und ich möchte jetzt dreimal ziehen ohne Zurücklegen, aber unter der Beachtung der Reihenfolge. Bedeutet Folgendes: Ziehen ist erst mal klar, ich muss hier durchmischen und dann eine Kugel ziehen, die kommt hier hin, hier habe ich 3 Plätze vorbereitet, nicht wahr. Dann ziehe ich noch mal, ich gucke vorher nicht hin. Es ist orange, und noch mal... es ist grün. Also: Ich hatte hier auf der ersten Position 5 Möglichkeiten. Für die zweite Position hier hatte ich noch 4 Möglichkeiten, denn 4 Kugeln waren noch drin. Für die dritte Position hatte ich noch 3 Möglichkeiten, denn ich habe aus 3 Kugeln zufällig eine gezogen. "Mit Reihenfolge" bedeutet hier: Das wäre ein anderes Ergebnis als das hier, also auch Ergebnisse, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden, die sollen halt unterschiedliche Ergebnisse sein. Wir werden hier den Fall kennenlernen, wo das nicht interessant ist, wo man einfach sagt: Es ist eine Menge aus 3 Kugeln, und wie die liegen, ist jetzt uns völlig egal. Wobei kann man diese Sache hier anwenden? Da geht es zum Beispiel darum, wenn man jetzt so eine Pferdewette macht oder wenn man wettet, wer wann ins Ziel kommt. Angenommen, wir haben hier 5 Läufer und wir haben keine Ahnung, wie gut die sind oder wie schlecht die sind und wir tippen einfach mal, wer als Erstes, Zweites, Drittes ins Ziel kommen könnte, dann muss man diesen Fall hier anwenden. Dann weiß man gleich, wie viele Ergebnisse es für einen solchen Zieleinlauf gibt, wie viele Möglichkeiten es gibt und man kann dann schnell bestimmen, wie groß die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Zieleinlaufs ist, da es sich ja hierbei um einen Laplaceversuch handelt. Jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, aufzutreten und wenn man dann weiß, wie viele Ergebnisse es gibt, dann muss man einfach nur 1 geteilt durch die Anzahl dieser Ergebnisse rechnen und hat die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses. Dann muss ich kurz noch sagen, warum das hier so steht, wie es da steht, also mit den Fakultäten und so. Ich zeige das mal hier an dem Beispiel, das ich vorgemacht habe. Wir hatten hier 5 Kugeln. Das n steht wieder für die Anzahl der Kugeln, also kann ich hier hinschreiben: 5!/(5-3)! Das bedeutet: 5! schreibe ich noch mal eben aus, 5×4×3×2×1, und (5-3)! bedeutet 5-3=2, 2! bedeutet 2×1. Und 6! würde dann halt bedeuten 6×5×4 usw., und 7! halt 7×6×5... ich glaube, es ist klar geworden. Das ist also noch mal kurz die Definition der Fakultät und jetzt sieht man ja gleich also hier, das kann ich kürzen. Es bleibt also 5×4×3 übrig, und das war auch das, was ich hier an dem Beispiel sehen konnte. Für die erste Kugel hatte ich hier 5 Möglichkeiten, für die zweite hatte ich noch 4 und dann hatte ich noch 3 Möglichkeiten, also 5×4×3 ist hier die Anzahl der Ergebnisse. Es gibt einen Fall, der hier in diesem Zusammenhang wichtig ist, und zwar wenn n=k ist. Das bedeutet, ich habe zum Beispiel 5 Kugeln und ich ziehe ohne Zurücklegen, aber mit Reihenfolge, und was ich dann erhalte, ist eine Anordnung dieser 5 Kugeln. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Wir können einmal hier elementar überlegen: Für die erste hatte ich 5 Möglichkeiten, dann 4, dann 3, dann 2, dann eine Möglichkeit noch, also 5×4×3×2×1 ist die Anzahl der Möglichkeiten. Das bedeutet, in unserem Fall wäre es einfach nur n!. Was ist mit diesem Nenner, wenn n=k ist? Dann ist n-k=0 und man hat definiert: 0!=1, damit das hier nämlich vernünftig klappt. Das heißt, man teilt durch 1, also letzten Endes steht dann da n!, wenn n=k ist. Das heißt, eine bestimmte Anzahl von Dingen anzuordnen, die Anzahl der Permutationen ist das also. Es kommt schon mal vor, dass gefragt wird: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 Bücher anzuordnen oder so ins Regal zu stellen. 10! wäre dann die Antwort. Das soll für diesen Fall genügen, es geht weiter gleich mit dem hier. Viel Spaß damit, tschüs!

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