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Transkript Kombinatorik – Variation mit Wiederholung

Hallo. Wenn du Wahrscheinlichkeitsrechnung machst, dann wird dir irgendwann mal diese Tafel über den Weg laufen und da steht drauf, wie viele Ergebnisse bestimmte Zufallsversuche haben. Wir erinnern uns: Es gibt Zufallsversuche und unter den Zufallsversuchen gibt es auch besondere Zufallsversuche nämlich die Laplace Versuche. Laplace Versuche zeichnen sich dadurch aus, dass alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das führt dazu, wenn man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bestimmen will, dann muss man nur wissen, wie viele Ergebnisse dieser Zufallsversuch hat und man kann dann die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses hinschreiben. Ein Beispiel: Wenn ein Zufallsversuch 100 gleich wahrscheinliche  Ergebnisse hat, dann muss die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses 1/100 sein. Es ist bei manchen Zufallsversuchen gar nicht so einfach festzustellen, wie viele Ergebnisse in der Ergebnismenge sind. Deshalb hat man diese Systematik hier aufgestellt. Man führt Laplace Versuche auf eine gewisse Grundsituation zurück. Hier also auf 4 ähnliche Grundsituationen. Das ist hier dargestellt, wie viele Ergebnisse diese Zufallsversuche haben. Ich fange an mit dem hier, dann kommt diese Erklärung, diese und diese (in der Reihenfolge). Hier dreht es sich um einen Zufallsversuch, den man beschreiben kann als ziehen mit zurücklegen und mit Reihenfolge. Damit du dir das vorstellen kannst, mache ich das kurz vor. Hier habe ich 5 verschiedenfarbige Kugeln. Das ist orange und das ist rot. Ich hoffe du kannst das gut genug unterscheiden. Ich könnte jetzt zum Beispiel ohne hinzugucken also zufällig Kugeln ziehen und da hinlegen. Da ich sie wieder zurücklege (es geht ja hier um das Ziehen mit Reihenfolge und mit zurücklegen) kann ich sie hier nicht liegen lassen und muss dann eine Referenzkugel ziehen. Das Ganze läuft also so: Ich ziehe eine Kugel, das ist die grüne. Ich muss hier eine Referenzkugel finden und da hinlegen. Ich könnte mir das Ergebnis auch aufschreiben, mache ich jetzt aber nicht. So, dann lege ich die wieder zurück und ziehe noch mal. D.h. ich könnte jetzt natürlich wieder die grüne Kugel ziehen. Habe ich aber nicht, sondern eine rote. Dann kommt hier also eine rote hin u.s.w. Ich mach das jetzt Mal ohne alles zu kommentieren. Wieder eine grüne und schon wieder die grüne (ja kann ja passieren ich habe jetzt wirklich nicht hingekuckt). Orange und wieder die grüne. Ich habe da hingekuckt, das ist keine Absicht. Aber das ist ja auch mal ganz lustig, das so was passiert. Ja, 4 Mal grün. Wer hätte das gedacht? Die Frage ist wie viele Möglichkeiten gibt es hier diese 6 Kugeln hinzulegen, wenn die dadurch zustande kommen, dass ich hier Kugel ziehe und zurücklege. Für die 1. Position hatte ich 5 Möglichkeiten. Für jeder dieser 5 Möglichkeiten hatte ich auf der 2. Position wieder 5 Möglichkeiten. Ich habe hier ja wieder eine von 5 ziehen können. Auf der 3. Position hatte ich wieder 5 Möglichkeiten u.s..w. Also hatte ich 5×5×5×5×5×5 Möglichkeiten diese Farben in der Anordnung hinzustellen. Das bedeutet, es gab 56 Möglichkeiten und das ist das, was hier dann stehen müsste, wenn wir das auf den konkreten Fall anwenden. 56 damit ist auch klar was n und k bedeutet. N ist die Anzahl der Kugeln, die sich hier drin befinden. K ist die Anzahl, wie oft gezogen wird. Allgemein gibt es also nk Möglichkeiten, wenn man aus n Kugeln k Mal mit zurücklegen und Reihenfolge zieht. Was sind Anwendungen davon? Welche Aufgaben haben wir da? Wir haben z.B. den mehrfachen Münzwurf. Das könnte man dann simulieren mit 2 Kugeln. Wenn das jetzt Kopf ist und das ist Zahl, dann kann ich das ruhig mischen. Dann kann ich einmal Kopf ziehen und dann vielleicht noch mal Kopf und dann noch mal Zahl. Wenn man nun aufschreibt, wie viele Möglichkeiten es gibt in einer bestimmten Reihenfolge Kopf und Zahl zu ziehen, dann hat man jeweils 2 Möglichkeiten auf jeder Position, Wenn man das z.B. 4 Mal macht mit 2 Kugeln, dann hat man 2×2×2×2 (24) Möglichkeiten solche Permutationen mit Wiederholung hinzukriegen.  Letzten Endes ist diese Situation hier die einfachste, weil es sich am klarsten ergibt, wie viele Möglichkeiten hier sind. Damit soll jetzt hier erst mal Schluss sein. Im nächsten Film kommt dann die Erklärung hierfür. Viel Spass damit, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Default

    Sehr gut erklärt! :)

    Von Sjaiboy, vor 3 Monaten
  2. Default

    Super erklärt :)
    Danke!

    Von Msellhorn97, vor etwa 2 Jahren