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Transkript Kombinatorik – Übungsaufgabe (1)

Hallo, hier ist eine Tabelle. Diese Tabelle gibt an, wie viele Möglichkeiten es bei bestimmten Zufallsversuchen gibt. Diese Tabelle ist schon besprochen worden. Ich möchte jetzt hier die erste Übung zur Aufgabe zu dieser Tabelle zeigen. Also nehmen wir einmal an, es gibt 6 Läufer, die die klangvollen Namen A, B, C, D, E, F haben und die laufen um die Wette, und wir haben keine Ahnung, welcher dieser Läufer besser als der andere ist, möchten aber trotzdem darauf tippen, wer als Erstes ins Ziel kommt. Dann ergibt sich die Frage, wie wahrscheinlich ist es, dass wir den Ersten richtig vorhersagen durch rein zufälliges Tippen. Man könnte noch eine weitere Frage stellen, eben die: Wie wahrscheinlich ist es, die gesamte Reihefolge im Ziel aller Läufer richtig vorherzusagen, ohne Informationen über die Läufer zu haben. Dritte Frage ist: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die ersten 3 richtig vorauszusagen? Ich möchte das kurz behandeln, wie man das macht, und anschließend noch eine kleine philosophische Anmerkung zu dem Thema machen, weil es öfter da ein Problem gibt, mache ich aber am Ende des Films. Also, zur ersten Frage, die können wir schnell abhandeln. Es war ja die Frage, wie wahrscheinlich ist es, dass wir den Ersten im Ziel richtig vorhersagen. Da würde ich sagen, ich nehme überhaupt nicht diese Tabelle, das könnte man natürlich auch machen, aber ich möchte es hier einfach mal aus dem Stegreif machen. Und damit hat jeder dieser Läufer die Wahrscheinlichkeit 1/6, von uns auserwählt zu werden. Für uns sind alle diese 6 Möglichkeiten, auf den Ersten zu tippen, gleich wahrscheinlich. Dies ist ein Laplaceversuch. Und damit hat jeder dieser Läufer die Wahrscheinlichkeit 1/6, von uns auserwählt zu werden. Und somit ist die Wahrscheinlichkeit, den Richtigen vorherzusagen 1/6. Etwas schwieriger wird es, wenn wir uns fragen: Wie wahrscheinlich ist es denn, wenn wir den gesamten Zieleinlauf richtig vorhersagen. Und dazu müssen wir uns überlegen, was ist jetzt eigentlich genau der Zufallsversuch. Also, wir können uns das so vorstellen, dass wir eine Liste haben, in denn alle möglichen Reihenfolgen im Ziel aufgeschrieben sind, und wir können jetzt rein buchstäblich auf einer dieser Reihenfolgen tippen. Da wir keine Ahnung haben, auf welche wir tippen sollten, sind für uns alle diese Reihenfolgen gleich wahrscheinlich, das heißt, es ist wieder ein Laplaceversuch. Und wenn wir wissen, es gibt ja nur einen einzigen Zieleinlauf, der dann der Richtige ist, dann müssen wir, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, diesen richtig vorauszusagen, nur noch wissen, wie viele Möglichkeiten gibt es denn überhaupt, dass die Läufer in einer bestimmten Reihenfolge ins Ziel kommen. Dann rechnen wir einfach 1 geteilt durch die Anzahl dieser Möglichkeiten und haben die Wahrscheinlichkeit dafür, den Zieleinlauf, die Reihenfolge im Ziel richtig vorherzusagen. Da kommt jetzt die Tabelle ins Spiel. Wir müssen bestimmen, wie viele Ergebnisse es in diesem Zufallsversuch gibt, und können uns jetzt fragen, ist der Zufallsversuch, den wir behandeln, kann man den simulieren durch das Ziehen mit Zurücklegen und Reihenfolge oder das Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge oder das Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge oder kann man es simulieren durch das Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge. Wenn wir durch Ziehen von Läufern, sage ich mal, aus einem Behälter, solche Reihenfolgen erzeugen wollen, dann sie es natürlich Ziehen mit Reihenfolge, das eins von diesen oberen Möglichkeiten ist richtig. Da aber kein Läufer zweimal ins Ziel kommen kann, bleibt nur noch die Möglichkeit Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge. Man kann sich das also ganz konkret vorstellen. Wie können wir solche Reihenfolgen von 6 Buchstaben erzeugen? Wir können diese 6 Buchstaben in einen Behälter legen und einfach irgendwie den ersten Buchstaben herausziehen, ihn auf Position 1 legen, den zweiten an Position 2, den dritten an Position 3. Wir legen die natürlich nicht wieder zurück. Wie gesagt kann ja kein Läufer zweimal ins Ziel kommen, also kann auch keiner zweimal gezogen werden. Und so erhalten wir dann eine Reihenfolge von 6 Buchstaben und die Anzahl der Ergebnisse, die man so erzeugen kann, ist die Anzahl aller Reihenfolgen mit 6 Buchstaben. Ja, das heißt, dass müssen wir jetzt noch ausrechnen. Also, wir haben 6!, wir haben ja 6 Buchstaben, n steht für die Anzahl der Dinge, die gezogen werden können, k ist die Anzahl, wie oft wir ziehen, das ist 6, denn alle 6 Läufer kommen ins Ziel. Das bedeutet, wir haben 6!/0!, ja, und da darf ich noch einmal darauf hinweisen, 0!=1. Letzten Endes ist es also 6! 0! hat man so festgelegt, dass es gleich 1 ist, damit man hier vernünftig rechnen kann. Und 6! kann ich eben ausrechnen, auch das mache ich mit dem Taschenrechner. Oh Wunder, ich finde jetzt das Fakultätszeichen nicht. Ich rechne das eben so, kein Problem, 720. So kommen wir jetzt zur dritten Frage. Wenn wir jetzt wissen, wie wahrscheinlich ist es, dass wir die ersten 3 richtig voraussagen. Dann können wir uns überlegen, das ist jetzt ein Ereignis, ein bestimmtes Ereignis. Angenommen, die Reihenfolge im Ziel wird sein D, A, F. Das ist also schon fest, beziehungsweise, das ist der Zieleinlauf. Und jetzt haben noch 3 andere Buchstaben, nämlich B, C und E, die jetzt auf die letzten 3 Plätze verteilt werden können. Und die Frage ist jetzt: Wie viele Reihenfolgen von 6 Buchstaben gehören zu dem Ereignis, die ersten 3 sind die Läufer D, A, F. Nun, das D, A, F festliegt, ist es nur noch interessant zu wissen, wie viele Möglichkeiten gibt es denn, die Buchstaben B, C, E auf die verbleibenden 3 Plätze zu verteilen. Und das ist ein Fall, den wir eigentlich gerade schon einmal behandelt haben. Wir haben 3 Positionen, müssen 3 Buchstaben verteilen, das ist also wieder Ziehen ohne Zurücklegen, denn kein Buchstabe kann zweimal vorkommen, und mit Reihenfolge, denn es geht ja hier um die Reihenfolge. Das bedeutet also, hier ergeben sich 3! Möglichkeiten. Man könnte auch schreiben, man könnte auch diese Formel nehmen, das ist dann 3!/(3-3)!. Denn es gibt 3 Buchstaben zu ziehen und wir ziehen auch dreimal. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit dafür, die ersten 3 richtig zu tippen, ist dann 3!/6!. Ja, es ist ja nach wie vor ein Laplaceversuch und wir haben uns überlegt, wie viele Ergebnisse zu dem Ereignis gehören, die ersten 3 Läufer heißen D, A und F. Das sind also 3! Möglichkeiten. Und nach wie vor gibt es 6! Möglichkeiten der Läufer, überhaupt irgendwie ins Ziel zu kommen. Ja, und dazu muss man jetzt einfach da ausrechnen, da das ist also 6/720, und da kann ich mit 6 kürzen und komme auf 1/120. Ja, ist das richtig? 600 geteilt durch 6 ist 100 und 120 durch 6 ist 20, also 120 insgesamt. Ja, damit ist die Aufgabe jetzt innerhalb der Schulmathematik erledigt. Es kommt aber häufiger vor, dass Schüler sich fragen. Ist as überhaupt ein Zufallsversuch. Das liegt auch daran, dass die Aufgabe oft so gestellt wird, dass der Lauf selber der Zufallsversuch sein soll. Und da fragt man sich natürlich, ja, so ein Wettlauf, hängt der denn nur vom Zufall ab? Da wird in der Aufgabenstellung oft gesagt, alle Läufer sind gleich stark, und da kann man sich natürlich fragen, geht das überhaupt, dass alle exakt gleich stark sind, gleich schnell laufen können. Wenn das so wäre, müssten sie ja alle gleichzeitig ins Ziel kommen. Also, da kann man erhebliche Zweifel haben. Nun, um die Sache kurz zu machen aus Sicht der Mathematik. Man kann da sicher sehr vieles darüber philosophieren und das ist auch sehr sinnvoll, sich dazu Gedanken zu machen. Aber nur aus Sicht der Mathematik kann man Folgendes sagen. Die Mathematik selber macht keine Aussagen darüber, ob ein Wettlauf ein Zufallsversuch ist oder nicht. Was wir mathematisch tun können, ist unsere Denkweise, unsere Theorie, unseren Formalismus, den wir von der Wahrscheinlichkeitsrechnung her kennen, den können wir anwenden auf zum Beispiel einen Wettlauf. Ob das sinnvoll ist, sagt die Mathematik selber nicht. Die Mathematik selber sagt auch nichts darüber aus, ob eben ein Wettlauf tatsächlich ein Zufallsversuch sein kann oder ist. Das ist nicht Aufgabe der Mathematik, das sind andere Bereiche. Wir können unsere Theorie anwenden, wenn wir wollen. Wir müssen als Menschen beurteilen, ist das sinnvoll. Frage ist dann, wenn wir das auf so einen Lauf anwenden, wie können wir feststellen, ob das sinnvoll ist, welche Konsequenzen müssten sich ergeben und so weiter. Kann man alles sich überlegen. Rein mathematisch kann man dazu aber nichts sagen. Ja, das war es, erste Aufgabe dazu. Viel Spaß damit, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Ich habe eine Frage zu der Übung: Die Lösung ist ja "Ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge*.
    Ich verstehe nicht, wieso es mit Zurücklegen ist, da ich es mir so vorgestellt habe, dass die 5 Kugeln in einer Urne liegen und ich diese auf 10 verschiedene Boxen verteile (z.B. sind die Boxen durchnummeriert von 1 - 10). Dabei nehme ich eine Kugel aus der Urne, lege sie in eine Box von 1-10 und habe nicht nochmal die Chance die selbe Kugel zu verteilen, also ohne Zurücklegen. Die Reihenfolge spielt dabei eine Rolle, da ich ja ein 10er-Tupel als Ergebnis aufstellen würde.
    Wieso ist es jetzt nicht "Ziehen ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge"?

    Von Annapetrov93, vor 12 Monaten