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Transkript Kombinatorik – Kombination ohne Wiederholung

Hallo! Hier siehst Du wieder unsere freundliche Tafel mit den 4 Möglichkeiten. Das und das haben wir schon, jetzt geht es um diese hier. Und zwar steht hier die Anzahl der Ergebnisse, die man erhält, wenn man k-mal aus einer Menge mit n Elementen zieht, und zwar ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen. Man kann auch sagen, das ist Ziehen mit einem Griff. Wenn ich jetzt einfach hier reingreife und 3 Kugeln rausziehe, dann haben wir ja jetzt hier keine bestimmte Reihenfolge und es kann jede Kugel auch nur einmal vorkommen, deshalb Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen. Wenn ich zurücklegen würde, dann könnte ja grün zum Beispiel öfter vorkommen. Einmal mathematisch müssen wir uns überlegen: Was bedeutet das, was da steht? Das nennt sich übrigens n über k. So, was heißt das? n über k ist definiert als n!/(n-k)!×k! (was Fakultät ist, habe ich im letzten Film gesagt). Das bedeutet n über k. So, und dem geneigten Zuschauer fällt da jetzt auf, dass die beiden hier eine gewisse Ähnlichkeit haben, nur hier wird das Ergebnis noch mal durch k! geteilt. Wenn man hier im Nenner multipliziert, dann heißt es ja, dass noch mal durch k! geteilt wird. Wie kann man das verstehen, dass genau das hier der Term ist, mit dem man die Anzahl der Ergebnisse ausrechnen kann, wenn man aus einer n-elementigen Menge k-mal ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen zieht? Wir hatten hier ein Beispiel mit den 5 Kugeln. Es wird einmal gezogen und zweimal und dreimal und wir haben jetzt gesagt: Diese 3 Kugeln in dieser Reihenfolge, das ist ein Ergebnis. Das ist hier Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen. Wir könnten uns jetzt überlegen: Wie oft kommt diese Kombination hier, diese Menge von diesen 3 Kugeln, hier vor? Mache ich eben vor. Das ist nämlich die Anzahl der Anordnungen. So oft kommt diese Kombination in dieser Rechnung vor, nämlich einmal, zweimal, dreimal, viermal, fünfmal und sechsmal. Und das ist 3!. 3! ist ja 3×2×1, hatten wir gerade im letzten Film schon gesagt, dass die Anzahl der Permutationen, die Anzahl der Anordnungen von k Elementen gleich k! ist. Das heißt also, wenn wir hier die Anzahl der Ergebnisse mit Anordnung, mit Reihenfolge berechnen, dann müssen wir diese Anzahl nur noch durch die Anzahl dieser Reihenfolgen teilen und haben dann die Anzahl der Ergebnisse ohne Reihenfolge. Wo gibt es solche Aufgaben? Zum Beispiel bei der Teambildung, wenn jetzt in einer Klasse zum Beispiel eine Putztruppe gebildet wird. Wir haben 30 Leute und das Team soll aus 3 Personen bestehen zum Beispiel, dann ist die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lara, Tara, Sarah in dem Team sind? Das kann man dann so berechnen: Wir haben 30 Personen n und wir ziehen k-mal ohne Zurücklegen (die Person kann ja nur einmal vorkommen in dem Team, also ist k=3) und dann kann man die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Lotto habe ich, glaube ich, schon gesagt: Beim Lottoziehen wird ja gezogen ohne Zurücklegen, jede Zahl kann nur einmal vorkommen und es ist nicht wichtig, in welcher Reihenfolge man die Kreuze auf dem Lottoschein gemacht hat. Es ist auch nicht wichtig, in welcher Reihenfolge diese Zahlen dann bei der öffentlichen Ziehung gezogen werden, es ist nur wichtig, ob man die Zahlen hat oder nicht und dann gewonnen hat oder nicht. Ich möchte noch eine kleine Veranschaulichung hier zeigen zu dieser Anzahl der Teilmengen einer bestimmten Grundmenge, und zwar deshalb eine Veranschaulichung, weil viele Schüler das so empfinden: Hier ist es klar, wir haben da zum Beispiel Baumdiagramme, wir haben eine ganz klare Struktur, wir haben n-Tupel, Tripel, Quadrupel, Quintupel und wissen genau, wo was steht. Hier eigentlich genauso. Da kommt nur noch dazu, dass sich jetzt bei dem Baumdiagramm von Stufe zu Stufe die Wahrscheinlichkeit ändert, das ist aber nicht so schlimm. Das, was unsere Grundmenge ist letzten Endes, das haben wir ganz klar da. Das können wir aufzählen, kein Problem. Bei den Teilmengen einer Grundmenge, da ist es ganz anders. Wir wissen ja nicht irgendwie, in welcher Reihenfolge sollen wir jetzt hier aufzählen - bzw. man kann das natürlich schon wissen, weil ich das ja jetzt gleich erkläre, und wenn man dann weiß, wie das funktioniert, dann verlieren vielleicht diese Teilmengen auch ihren Schrecken. Also: Ich habe hier Zahlen vorbereitet. Warum? Weil ich jetzt diese Kugeln hier nummerieren möchte. 1, 2, 3, 4 und 5. Wenn ich jetzt einfach so ziehe und zwar mit einem Griff 3 Kugeln, dann kann ich zum Beispiel die Kombination 1, 2, 3 haben. Wer hätte das gedacht? Ich habe nicht hingeguckt. Gucken wir, was jetzt rauskommt... oder die Teilmenge 2, 3, 4 oder auch 2, 3, 4 (gibt's doch gar nicht, 2, 3, 4 ist wieder da). Und Du siehst, ich lese diese Zahlen hier immer in einer bestimmten Reihenfolge vor, nämlich von klein nach groß. Kann ich ja machen. Bleibt mir ja unbenommen sozusagen. Und das ist auch der Schlüssel dazu, wie man sich vorstellen kann, wie viele Teilmengen es gibt, zum Beispiel hier Teilmengen mit 3 Elementen aus einer 5-elementigen Menge. Ich kann zum Beispiel die Teilmenge 1, 2, 3 haben, 1, 2, 4 - 1, 2, 5. 1, 3, 4 - 1, 3, 5 - 1, 4, 5 und dann muss ich hier weitermachen. Also ich glaube, Du siehst das System. Ich möchte es jetzt gar nicht langatmig beschreiben, dieses System und einfach darauf hoffen, dass es sich selbst erschließt. Das ist einfach nur die Möglichkeit, wie man das so durchgehen kann. Habe den Ersten einen weitergerückt, jetzt habe ich 2, 3, 4 - 2, 3, 5. Der geht noch einen weiter: 2, 4, 5 und die letzte Möglichkeit ist 3, 4, 5. Das kann man auch mit beliebig vielen Elementen machen, es ist immer das gleiche System. So kann man sie dann auch hintereinander aufzählen. Das soll's also dazu gewesen sein. Viel Spaß damit. Tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Das ist ihr 2036 Video nicht wahr ? :)

    Von Merlin Tonka, vor fast 3 Jahren