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Transkript Kombinatorik – Beispiel (3)

Hallo, es geht um eine Aufgabe zur Kombinatorik, und zwar das dreifache Würfeln. Hier habe ich 3 Würfel. Man kann einmal mit 3 Würfeln würfeln oder dreimal mit einem, das ist egal. Und die Frage ist, wie viele Möglichkeiten gibt es, mit diesen 3 Würfeln mindestens 2 gleiche Augenzahlen zu erhalten. Und wenn man sich das jetzt mal vor Augen führt, oder versucht das mal aufzuschreiben, wie viele Möglichkeiten das da gibt, da wird man wohl schnell merken, es erschließt sich nicht so einfach. Also die Regelmäßigkeit, wie man zu mindestens 2 gleichen kommt, ist nicht so ganz offensichtlich. Man kann aber auch mit Mengenoperationen arbeiten. Also Komplemente bilden oder Vereinigungen oder Schnittmengen oder was es sonst noch alles da gibt und vielleicht versuchen das Ganze mal so darzustellen. Vielleicht wird es dann einfacher. Zunächst können wir uns dazu mal überlegen, wie viele Möglichkeiten gibt es denn überhaupt, Augenzahlen mit 3 Würfeln zu produzieren? Nun es gibt 6³ Möglichkeiten. Ja, der rote Würfel kann irgendeine Zahl von 1 bis 6 anzeigen. Der grüne Würfel kann eine Zahl von 1 bis 6 anzeigen. Also immer, wenn der irgendeine Zahl zeigt, hat der noch 6 Möglichkeiten eine Zahl anzuzeigen und für jedes Paar, was hier entsteht, hat der schwarze Würfel auch noch mal 6 Möglichkeiten eine Zahl anzuzeigen. Also das ist jetzt die Situation mit Zurücklegen und mit Wiederholung. Das wollen wir aber eigentlich gar nicht wissen, sondern wir wollen wissen, mindestens 2 gleiche. Und da kann man sich mal überlegen, was ist denn das Gegenereignis von mindestens 2 gleiche. Das ist alle unterschiedlich. Und alle unterschiedlich ist schnell gemacht. Das ist einer von unseren 4 Fällen auf der Tafel. Das ist nämlich Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge. Das bedeutet, der erste Würfel hat also 6 Möglichkeiten, eine Zahl anzuzeigen, und der zweite Würfel hat nur noch 5 Möglichkeiten und der dritte hat nur noch 4 Möglichkeiten. Und wenn wir die jetzt voneinander abziehen, dann kriegen wir die Möglichkeiten heraus, für mindestens 2 Gleiche. Das sind ja alle Möglichkeiten minus Anzahl der Möglichkeiten, nur unterschiedliche zu haben, ist im Ganzen die Anzahl der Möglichkeiten, zwei Gleiche zu haben. Ja, das rechne ich eben so aus. Die 6 kann ich ausklammern. Ja auch hier hilft durchaus das Distributivgesetz. Braucht man nicht vergessen unbedingt. Dann ist noch 6×6 ist 36 und 5×4 bleibt noch übrig, das heißt, 5×4 wollte ich jetzt natürlich nicht hinschreiben, sondern, was da raus kommt nämlich 20. Und dann muss ich nur noch rechnen, 36-20 das ist 16. 16×6 naja 6×10 ist 60, 6×6 ist 36 zusammen sind das 96. Ja, 96, ja da muss ich auch nachdenken jetzt, so 96. Ja, das sind alle Möglichkeiten mindestens 2 Gleiche zu haben. Viel Spaß damit, tschüss.

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2 Kommentare
  1. Sarah2

    Fady S.: Hier könntest du dir zunächst überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, genau zwei 6en auf drei Würfe zu verteilen. Danach müsstest du noch überlegen, wie viele Möglichkeiten es jeweils für den dritten Würfel gibt, der keine 6 ist. Wenn du weitere Fragen dazu hast, wende dich bitte an den Fach-Chat, der täglich zwischen 17 und 19 Uhr online ist. Viele Grüße!

    Von Sarah Kriz, vor mehr als einem Jahr
  2. 53857 salehr

    Ich versteh dir Übungsaufgabe dazu nicht ganz, nämlich wie man auf das Ergebnis kommt.

    Von Fady S., vor mehr als einem Jahr