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Transkript Kathetensatz und Höhensatz

Hallo, mein Name ist Markkus und ich möchte euch im heutigen Video den Kathetensatz und den Höhensatz erklären, beide Sätze sind von dem Satz des Pythagoras abgeleitet. Zunächst gebe ich euch eine kurze Übersicht über den Ablauf des Videos. Zuerst werden wir den Satz des Pythagoras wiederholen, weil dieser für das weitere Verständnis nötig ist. Dann beginnen wir mit dem Kathetensatz und einem anschließenden Beispiel. Am Ende besprechen wir noch den Höhensatz mit einem kombinierten Beispiel aus beiden Sätzen. Der Satz des Pythagoras Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke, wie zum Beispiel dieses hier. Der rechte Winkel befindet sich zwischen den Katheten a und b bzw. gegenüber der Hypotenuse c. Die Hypotenuse kann an der Höhenlinie h in die Abschnitte p und q aufgeteilt werden. Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Das bedeutet, dass die Fläche, die bei der Quadrierung von b entsteht, zusammen mit der Fläche, die bei der Quadrierung von a entsteht, genauso groß ist, wie die Fläche, die entsteht, wenn die Seite c quadriert wird. In einer Formel ausgedrückt: a2+b2=c2. Der Kathetensatz Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat über b flächengleich zum Rechteck mit den Seiten p und c ist. In einer Formel: b2=c×p. Analog dazu ist das Quadrat über a flächengleich zum Rechteck mit den Seiten c und q. In einer Formel: a2=c×q. Nun setzen wir unsere neuen Erkenntnisse um und rechnen ein Beispiel zum Kathetensatz. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, die Seiten c und a sind bekannt mit c=10 cm und a=6 cm. Gesucht wird die Länge des Hypotenusenabschnittes p. Der Kathetensatz besagt: b2=c×p. Diese Gleichung wird nach der gesuchten Größe p umgestellt, sodass sich ergibt: p=b2/c. [1] Nun benötigen wir noch die Größe b bzw. b2. Der Satz des Pythagoras besagt: a2+b2=c2. Nach b2 umgestellt, ergibt sich: b2=c2-a2. [2] Jetzt können wir die Gleichung 2 in die Gleichung 1 einsetzen und dadurch erhalten wir p. p=(c2-a2)/c. Nachdem wir unsere Werte für c und a eingesetzt haben, erhalten wir unser Ergebnis: p=6,4 cm. Der Höhensatz Der Höhensatz besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über h flächengleich dem Rechteck mit den Seiten p und q ist. Denn diese Seite ist genauso lang wie diese. In einer Formel ausgedrückt: h2=p×q.  Nun folgt ein Anwendungsbeispiel zum Höhensatz. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, die Seiten c und a sind bekannt mit c=9 cm und a=6 cm. Gesucht wird die Höhe h des Dreiecks. Der Höhensatz sagt uns: h2=p×q. [1] Um diese Aufgabe lösen zu können, benötigen wir noch die Größen p und q. Die Größe p erhalten wir aus dem Kathetensatz: a2=c×p. Diese Formel nach p umgestellt, ergibt: p=a2/c. [2] Und da die Summe aus p und q gleich c ist, folgt: q=c-p. [3] Nun setzen wir die 2. Gleichung in die 3. Gleichung ein und erhalten: q=c-(a2/c). [4] Jetzt müssen wir nur noch die 2. und die 4. Gleichung in die 1. Gleichung einsetzen und wir erhalten: h2=(a2/c)×(c-(a2/c)). Als Letztes ziehen wir die Wurzel und setzen unsere Werte für a und c ein. Damit erhalten wir unser Ergebnis: h=4,47 cm. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit. Auf Wiedersehen, Markkus.

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18 Kommentare
  1. Felix

    @Annelen: Vielen Dank für deinen Hinweis. Mit der Bezeichnung im Dreieck muss a^2=c*q gelten. Wir haben das jetzt korrigiert.

    Von Martin Buettner, vor 3 Monaten
  2. Default

    Bei der Übung ist in Aufgabe 1 a^2=c*p richtig und in Aufgabe 5 ist es falsch. Da ist dann a^=c*q richtig was auch logischer ist, weil es ja heißt das die Katheten mit den benachbarten hypotenusenabschnitten in Beziehung gesetzt werden. Stimmt das oder hab ich etwas übersehen?

    Von Annelen, vor 4 Monaten
  3. Default

    topp

    Von Tina#10, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    sehr gutes video :)
    habe verstanden :D

    Von Tina#10, vor mehr als einem Jahr
  5. Giuliano test

    @Bers T.:
    Das ist wahrscheinlich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
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    Von Giuliano Murgo, vor mehr als einem Jahr
  1. Dsc07727

    Kein Ton mehr in der Mitte des Videos

    Von Bers T., vor mehr als einem Jahr
  2. Giuliano test

    @Apiacea51.
    Bei dem ersten Beispiel ist p gesucht. Um p zu berechnen, brauchen wir eine Gleichung bzw. Term, bei dem alle Größen bekannt sind. (1) ist in diesem Fall die Gleichung, mit der p ausgerechnet werden kann.
    (1) p=b²/c. c ist durch die Aufgabenstellung schon gegeben. Wir benötigen also noch b² (oder b), um p auszurechnen.
    Dafür wird hier der Satz des Pythagoras verwendet und umgeformt. So erhält man die Gleichung (2):
    (2) b²=c²-a². Jetzt ersetzt man b² für c²-a² in der Gleichung (1). So erhältst du letztlich eine Gleichung mit bekannten Größen. Jetzt kannst du p berechnen.
    Es geht also grundlegend um das Einsetzen von Termen mit bekannten Größen in Gleichungen mit unbekannten Größen.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  3. Default

    Ich habe die Formeln verstanden, jedoch nicht was gemeint wurde mit den 'Gleichungen' oder den Klammern wo ständig (1) oder (2) standen. Irgendetwas mit hinzufügen oder so ähnlich?

    Von Apiacea51, vor fast 2 Jahren
  4. Sarah2

    @Annika Behnke: siehe auch die anderen Kommentare und die Antwort von Jonemi: Grundsätzlich ist es egal, es ist ja nur eine Frage der Benennung. Allerdings achte darauf, dass du dann die Formeln evtl. anpassen musst!

    Von Sarah Kriz, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Das Beispiel zum Höhensatz kann man doch viel einfacher rechnen, oder?
    Ohne so komplizierte Formeln verrechnet man sich weniger und mein Ergebnis stimmt ja auch.

    Ich habe gleich angefangen, hier meine Rechnung:

    h²=p*q

    a²=p*c |:c

    p=a²/c

    p=36cm/9cm=4cm

    c-p=q

    9cm-4cm=5cm

    q=5cm

    h²=p*q

    h²=4cm*5cm

    h²=20cm

    Wurzel aus 20 ist ca. 4,47cm

    h ist also ca. 4,47cm

    Ich hoffe das war verständlich.

    Von Hannah Sitte76, vor etwa 2 Jahren
  6. Default

    ist es egal,ob p oder q der Kathetenabschnitt bei a ist? Also wo p und q liegen?

    Von Annika Behnke, vor etwa 2 Jahren
  7. Giuliano test

    @Achim Nestler:
    Das ist sehr schade. Kannst du vielleicht konkretisieren, was genau du nicht verstanden hast? Wende dich dann mit deiner ausfürhluchen Frage an den Fach-Chat, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht. Den Button findest du rechts oben neben "Mein Sofa". Dort bekommst du dann nochmal individuelle Hilfe von Mathe-Experten.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  8. Default

    Verstehe ich nicht... bis jetzt hab ich hier alles Verstanden aber bei dem Video (weis nicht ob es am Thema liegt ^^) verstehe ich gar nichts. :/ Und nachher schreibe ich eine Arbeit. ._.

    Von Achim Nestler, vor mehr als 2 Jahren
  9. Default

    super

    Von Familiedachs, vor mehr als 2 Jahren
  10. Default

    im Unterricht haben wir das aber i.wie anders gerechnet ;o jetzt bin ich verwirrt !

    Von Andreas Boehme, vor mehr als 3 Jahren
  11. Default

    An Tamibelle und Michelle97:
    Es ist völlig egal ob a²=p*c oder a²=q*c
    Denn: Es hängt von der Bezeichnung des Dreiecks ab.
    Merkt euch einfach: beides (das Quadrat a² (oder b²) und p/q) müssen auf der gleichen Seite, sprich links/rechts des Dreiecks sein. So könnt ihr leicht bestimmen ob die Strecke p zum Quadrat a² oder b² gehört. (selbiges natürlich auch mit q) Die zueinander gehörenden Variablen dann einfach in die Gleichung einbringen. a²=p*c a²=q*c b²=p*c b²=q*c Das sind die verschiedenen Möglichkeiten.
    Ich hoffe ich konnte euch helfen :)
    MfG Jonas

    Von Jonemi, vor mehr als 4 Jahren
  12. Default

    bei mir im Buch sind die Formeln auch umgekehrt:
    a2 = p*c
    b2 = q*c

    Von Deleted User 34524, vor mehr als 4 Jahren
  13. Default

    Wieso ist diese Formel anders wie in meinem Mathebuch ? In meinem Mathebuch steht: b2=q*c

    Von Michelle97, vor fast 5 Jahren
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