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Transkript Integration durch Partialbruchzerlegung – Integration von a/(x² + px + q) und (ax + b)/(x² + px + q)

Hallo, in diesem Video geht es noch mal um Partialbruchzerlegung, und zwar wie man dann letztendlich Terme integriert, die so aussehen wie die beiden, die ich hier unten hingeschrieben habe. Dabei ist der Nenner also vom Grad 2 und der soll keine Nullstellen mehr haben. Wenn man also seine Partialbruchzerlegung gemacht hat, hat man seine Partialbrüche und der schlimmste Fall, der sozusagen eintreten kann, ist, dass im Nenner noch ein quadratischer Term ist, der auch keine Nullstellen weiter hat, und der erste Fall wäre eben, dass im Zähler nur einer Zahl steht. Den behandeln wir jetzt. Diese Zahl, die im Zähler steht, können wir eigentlich aus dem Integral herausziehen, d. h., wir können uns auf den Fall beschränken, in dem oben eine 1 steht. Die Idee ist jetzt, den Arcustangens auszunutzen, denn die Ableitung von Arcustangens x ist 1/(x²+1), was ja auch ein quadratischer Term ist, aber noch nicht ganz so aussieht wie der, den wir haben. Aber mit ein paar kleinen Veränderungen an dem Argument des Arcustangens kann man sich das dann noch zurechtbiegen. Als Erstes macht man mal eine quadratische Ergänzung. Hier wäre das also (x-1)²+2. Dann ist man nämlich schon mal den x-Term in der Mitte losgeworden. Jetzt stand bei der Ableitung vom Arcustangens an dieser Stelle eine 1, d. h., wir müssen die 2 irgendwie wegkriegen, also müssen wir die ausklammern. Ich schreibe hier mal "Absolutglied ausklammern". Das sieht dann so aus: 1/(2((x-1)²/2+1) und da haben wir hinten dann schon einmal die 1. Der Faktor, der dadurch entstanden ist, den ziehen wir gleich ganz aus der Funktion heraus. Und jetzt müssen wir den Teiler der quadratischen Klammer in die Klammer mit reinbringen. Okay, ich zeige das mal, wie ich das meine. Ich kann ja hier unten auch (\sqrt2)² schreiben. Und dann habe ich also Zähler² durch Nenner², also kann ich auch gleich insgesamt (Zähler/Nenner)² schreiben. Das sieht dann also so aus. Und jetzt schreibe ich einfach das Paket, was unten in dem Quadrat steht, in den Arcustangens rein. Und den Faktor davor muss ich natürlich auch noch mitschreiben. So, jetzt machen wir mal die Probe und leiten ab. Die Ableitung ist 1/(das, was da in der Klammer steht)² (okay, das stimmt) +1 × (die innere Ableitung, also ×1/\sqrt2). Um das zu neutralisieren, muss ich also ×\sqrt2 rechnen, also schreibe ich vor die Stammfunktion noch ×\sqrt2. Also der Teiler, des x-Terms, der mit in dem Quadrat steht, muss als zusätzlicher Faktor vor den Arcustangens. Ja, und dann hat man es geschafft. Sieht ein bisschen kompliziert aus, aber man muss es einfach nur ein paar Mal machen. Okay, jetzt kommen wir noch zu dem Fall, bei dem wir im Zähler einen linearen Term haben, und zwar nehmen wir das Beispiel aus dem anderen Video. Da hatten wir noch als Einziges übrig (-3x+1)/(x²-2x+3). Wie geht man hier ran? Also die Idee ist folgende: Wenn man mal den ln vom Nenner nimmt und den ableitet, dann kriegt man ja (1/(den Term, der im ln steht, also den Nenner))×(die innere Ableitung). Und die versucht man jetzt irgendwie zu -3x+1 hinzubiegen. Also der entscheidende Gedanke ist, dass die Ableitung vom Nenner im Zähler stehen muss. Dann ist die Stammfunktion nämlich der ln vom Nenner. So, der Nenner ist x²-2x+3, dann ist die Ableitung also 2x-2. Und das schreiben wir uns jetzt mal so hin, als hätten wir das schon. Wenn ich jetzt aus der 2 eine (-3) machen will, wie sie da oben steht, muss ich also alles mit (-3/2) multiplizieren. Dann kriege ich also beim Ausklammern vorne wirklich die (-3x) und hinten kriege ich +3. Da steht aber +1, d.h. ich muss noch 2 abziehen, damit die Funktion so bleibt, wie sie war. Ich addiere also den Bruch (-2/(den bekannten Nenner)). Noch mal nachrechnen: (-3/2)×2x ist -3x, (-3/2)×(-2) ist 3, -2 ist 1, passt. So, den Faktor hier vorne schreiben wir vor den ganzen Bruch, und wenn ich dann eben jetzt das Integral berechnen möchte, habe ich vorne (-3/2)×ln(des Nenners) als Stammfunktion und hinten habe ich noch das Integral von (-2/(x²-2x+3)). Und das muss ich dann wiederum so lösen, wie wir das eben gesehen haben, mit der quadratischen Ergänzung und Arcustangens. Ja, ich weiß, das ist alles ganz schön ekelig, aber die Terme, die man so auf der Straße trifft, lassen sich ja meistens einfacher integrieren. Also nicht verzagen, sondern probieren.

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