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Transkript Halbe Ellipse als Graph einer Funktion

Willkommen zu diesem Video. Es geht um reelle Funktionen. Wir schauen uns mal ein interessantes Beispiel an. Was ich hier zeichnen möchte, ist eine Ellipse. Ziehen wir hier mal Achsen rein. Das Ganze soll die Ebene beschreiben. Den R2. Also all die Punkte die sich in der Ebene, die sich durch die Angabe einer x und einer y-Koordinate beschreiben lassen. Und diese Punkte, die Punkte, die auf dieser Ellipse liegen. Die kann man beschreiben über folgende Formel. Das ist die Menge aller Punktepaare im R2 mit der Eigenschaft, dass die Summe dieser Quadrate =1 ist. Wenn man das alles nachrechnet, wird man feststellen, diese Punkte, die diese Gleichung erfüllen liegen auf einer Linie die eine Ellipse beschreibt. So, und zwar ist hier der Punkt a, die positive Zahl a, und hier oben und unten sind die beiden anderen Halbachsen. Das wäre eine Ellipse beschrieben durch diese Gleichung. a und b sind positive Zahlen. Die Frage, die wir uns jetzt stellen ist, beschreibt diese Linie, also diese Ellipse, den Graphen einer Funktion? Und wenn ja, welcher Funktion? Wenn wir uns das Mal genauer anschauen, stellen wir fest, es ist nicht der Fall. Wenn man zum Beispiel hier diesen Punkt, nennen wir ihn x1, nehmen, auf der x-Achse. Diesen Punkt können wir nicht eindeutig hier einem Punkt auf der senkrechten Achse zuordnen. Nämlich es gibt hier 2. Ein y1 und ein y2. 2 Punkte, die wir diesem x1 zuordnen können. Insofern beschreibt unsere Ellipse nicht den Graphen einer Funktion. Heißt es kann keine Funktion sein. Nehmen wir allerdings eine Hälfte weg und betrachten nur die obere Hälfte dieser Linie, der Ellipse. Dann können wir uns jetzt fragen, ob zumindest die obere Linie allein für sich genommen, den Graphen einer Funktion darstellen kann. Und die Antwort ist ja. Und die Funktion finden wir auch gleich. Indem wir diese Gleichung nehmen und nach y umstellen. Dann können wir zu jedem x das y finden. Und haben die Funktionsvorschrift für die Funktion die hier, deren Graph das hier ist. Also wir nehmen uns die Gleichung her und stellen die um. Zunächst einmal stellen wir sie um nach y÷b2. Was ist das 1- ziehen wir das was hier das x2÷a ist, durch a2. Dieses ziehen wir auf die andere Seite. Ergibt das. Und jetzt können wir die Wurzel aus beiden Seiten ziehen. Und das bleibt übrig. Es bleibt übrig dieser Term. Und was man beachten muss beim Wurzelziehen. Das es zwei Möglichkeiten gibt. Wenn wir jetzt beide Seiten wieder quadrieren. Wird ein - Zeichen hebt sich weg. Und wir hätten wieder diese Gleichung. Beim Wurzelziehen muss man also immer diese beiden Möglichkeiten in Betracht ziehen. Wir suchen jetzt aber die y-Werte die positiv sind für das hier oben, für den Graphen. Und deswegen bleibt also nur die + Variante übrig. Für die untere Hälfte. Wir können die untere Hälfte der Ellipse auch als Graphen betrachten. Als Graphen einer anderen Funktion. Beschreiben wir die beiden, wie nennen wir die Funktion. Nennen wie sie ε Index+. Soll einem x wie folgt ein y zuordnen. Über, wir müssten das b noch auf die andere Seite machen, jetzt hier, über diese Formel. Würde also einem x eindeutig ein ε+ von x. Also ein y zugeordnet werden. Und das wären die Punkte hier oben. Und für ε- hätten wir dann die negative Variante. Das diese Funktion ε Index -, ist das, was der untere Teil der Ellipse hier beschreibt. Also eine weitere Funktion. Wir schauen uns jetzt mal die Eigenschaften dieser beiden Funktionen an. Was wäre für den oberen Ellipsenast. Was wäre das, welche Eigenschaften hätte diese Funktion. Hat ε+ denn eine Symmetrie? Die Antwort ist ja. ε+ hat eine Symmetrie. Genauso wie ε-. Beide Funktionen sind gerade. Warum? Zu jeder der Zahlen hier, gibts natürlich auch die Gegenzahl. Die genauso im Definitionsbereich ist. Und der Funktionswert ist dann der gleiche. Das kann man hier sehr gut sehen. Wenn wir hier eine Zahl einsetzen für das x. Dann hebt sich das Vorzeichen weg. Also für die Frage, welchen Wert dieses Quadrat hat. Ist das Vorzeichen von x nicht entscheidend. Insofern haben beide Funktionen für ein, beide Funktionen schreibe ich mal als Doppelindex, beide Funktionen haben diese Symmetrieeigenschaft. Dass sie bei -x denselben Wert annehmen wie bei +x. Und der Definitionsbereich dieser beiden Funktionen. Nennen wir ihn A. Das wäre also die Menge aller Zahlen, die zwischen -a und a liegt. Wie schreibt man das? Als Intervall kann man das schreiben. Also der Definitionsbereich würde also zwischen -a und a liegen. Und wohin wird die Funktion wohl abbilden. Beide Funktionen bilden ab nach R. Und etwas genauer. Was ist der Wertebereich von ε+? Von dieser unteren Funktion +. Diese Funktion bildet ab und nimmt Funktionswerte an von 0 bis b. Also wäre es das Intervall von 0 bis b, geschlossene Intervall. Was ist denn der Wertebereich der Funktion ε-? ε- bildet ab zwischen 0 und -b. Also der ist das Intervall -b bis 0. Letzte Frage, die wir uns stellen ist, ob diese beiden Funktionen Nullstellen haben. Und die Antwort ist ja bei a und bei -a. Also Nullstellen haben beide. Beide Funktionen bei -a und a. Denn wenn wir, sehen wir erst mal am Graphen. Außerdem können wir das auch sehr schnell überprüfen. Wir werten die Funktion bei a aus. Stellen fest a÷a=1. 1-12=0 und so verhält sich das hier auch. Das Vorzeichen spielt keine Rolle. Und deswegen sind das also, haben die Funktionen auch Nullstellen. Ja, dann bedanke ich mich fürs Zuhören.

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