Gleichungsumformungen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

In diesem Video möchte ich erklären, wie man Bruchgleichungen umformt und Gleichungen in denen Potenzen, Wurzeln und Logarithmen vorkommen. Das heißt, die elementaren Umformungen die sollte man schon können.
Als 1. möchte ich noch mal dran erinnern, wie die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in X aussieht. Diese hat keine Lösung, falls p² ¼-q
Der nächste Schritt ist das multiplizieren mit dem Hauptnenner. Da wir den Definitionsbereich schon notiert haben, sind wir auch sicher, dass wir hier nicht mit 0 multiplizieren. Es entsteht dann jeweils das Produkt des Zählers mit den beiden Nennern der anderen Brüche. Dann werden die Klammern aufgelöst und gleiche X-Potenzen zusammengefasst. Durch elementare Gleichungsumformungen kommt man dann auf eine gewöhnliche, quadratische Gleichung, die man mit der pq-Formel lösen kann und die beiden Lösungen sind auch wirklich im Definitionsbereich.
Ok, dann schauen wir uns jetzt 3 Beispiele zur Bestimmung des Hauptnenners an. Hier ist der Hauptnenner x+3²×x, den dieser Term steck in diesem schon drin. Nächstes Beispiel. Hier ist der Hauptnenner x²-1, da dies bereits das Produkt der beiden anderen Nenner ist. Oh, und natürlich müssen wir noch die Definitionsbereiche notieren. Und das nächste Beispiel. Hier lohnt es sich auszuklammern, denn die Nenner sind jeweils nur vielfache des gleichen Terms, also ist der Hauptnenner das Produkt aus diesem Term mit 3, 5 und 2. Und natürlich darf x nicht -2a sein.
Manchmal kommt man auch viel schneller ans Ziel, wenn man einfach den Kehrwert bildet. In dieser Gleichung dürfen x, a und b nicht 0 sein, und man kann die rechte Seite als einen Bruch schreiben. Dann bildet man den Kehrwert und erhält x. Und a darf natürlich nicht -b sein.
Fassen wir noch mal die Vorgehensweise zusammen. Man bestimmt den Definitionsbereich, findet den Hauptnenner und multipliziert mit diesem. Dann vereinfacht man, ordnet nach X-Potenzen und muss eventuell noch die pq-Formel anwenden. Und man sollte sich vergewissern, dass die Lösung die man hat, auch wirklich im Definitionsbereich liegt. Manchmal bringt einen Kehrwertbildung schneller ans Ziel.
In Physik gibt's häufig Formeln in denen viele unbekannte Größen miteinander multipliziert und dividiert werden, lasst Euch davon nicht durcheinanderbringen, da kann ganz normal multipliziert und dividiert werden, bei den Umformungen als währen das Zahlen. Diese Rechnungen könnt Ihr zu Hause ja mal nachvollziehen. Als Letztes stellen wir die Formel noch nach n² um. Um das Hoch 2 wegzubekommen, müssen wir die \sqrt ziehen, denn die Wurzel ist die Umkehrfunktion der Quadratfunktion.
Damit wären wir auch schon beim nächsten Thema. Die folgende Gleichung sieht so aus: \sqrt aus x^5=3y². x muss größer gleich 0 sein, weil die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist. Auf der x-Seite ist die äußerste Funktion eine Wurzel, um die rückgängig zu machen, müssen wir quadrieren. Quadrieren ergibt x^5=9y^4. Links wird x^5 genommen, also müssen wir die 5. Wurzel ziehen. Ja, und die Lösung ist: 5te Wurzel aus 9x^4.
Im nächsten Beispiel muss y größer gleich 0 sein. Hier steht zwar keine Wurzel, aber da links keine Wurzel steht, kann die ganze Gleichung nur einen Wert haben, der größer gleich 0 ist. Im letzten Schritt müssen wir die dran denken, dass das eine quadratische Gleichung ist und diese 2 Lösungen hat, also x=+ oder - \sqrt 7y³. Das kann man auch mit dem Betrag ausdrücken.
Gut und dann gibt's da ja auch noch Exponential- und Logarithmusgleichungen. Wie diese hier: e³xy=a÷x.  Hier muss x ungleich 0 sein und a÷5 >0, denn das Ergebnis der Exponentialfunktion ist niemals 0 oder negativ. Wir wollen nach y auflösen, müssen also irgendwie an den Exponenten rankommen. Das schaffen wir mit logarithmieren, denn logarithmieren ist die Umkehrfunktion zum exponentieren. Links bleibt also die Bruchzahl übrig und rechts wird alles in den ln reingesteckt. Der Rest geht nun schon im Schlaf. In der nächsten Gleichung wollen wir wieder an die Hochzahlen rankommen. Da wir aber verschiedene Basen haben, können wir nicht einfach logarithmieren. Wir behelfen uns deswegen erst mal mit Potenzgesetzen. Die rechte Seite können wir schreiben als 4^a×4² also 4^a×16. Wir teilen nun durch b und 4^a, wobei b nicht 0 sein darf, wenden noch mal die Potenzgesetze an und dürfen dann endlich logarithmieren. Die Lösung ist also a=log16/b zur Basis ¾.
Und jetzt noch eine Gleichung, in der wir das x aus dem Logarithmus rausholen müssen. Die Basis ist 2, also wird zur Umkehrung 2 Hoch die ganze Gleichung genommen. Links fällt der Logarithmus weg und rechts steht 2^a. Ahja, und das x muss > 0, sonst ist ja der Logarithmus nicht definiert. Wir ziehen also noch die 5te Wurzel und dann sind wir fertig.
Noch mal zur Vorgehensweise bei Potenzen. Möchte man an die Basis einer Potenz kommen, muss man die entsprechende Wurzel ziehen. Steht das x unter der Wurzel, muss man entsprechend potenzieren. Möchte man an den Exponenten kommen, muss man mit der entsprechenden Basis logarithmieren. Und möchte man an die Zahl im Logarithmus kommen, nimmt man die Basis hoch den ganzen Logarithmus.
Ok ich hoffe mal ich konnte jetzt etwas Licht ins Dunkel der Logarithmen und Exponentielle bringen.