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Transkript Gleichungsumformungen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

In diesem Video möchte ich erklären, wie man Bruchgleichungen umformt und Gleichungen in denen Potenzen, Wurzeln und Logarithmen vorkommen. Das heißt, die elementaren Umformungen die sollte man schon können. Als 1. möchte ich noch mal dran erinnern, wie die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in X aussieht. Diese hat keine Lösung, falls p² ¼-q Der nächste Schritt ist das multiplizieren mit dem Hauptnenner. Da wir den Definitionsbereich schon notiert haben, sind wir auch sicher, dass wir hier nicht mit 0 multiplizieren. Es entsteht dann jeweils das Produkt des Zählers mit den beiden Nennern der anderen Brüche. Dann werden die Klammern aufgelöst und gleiche X-Potenzen zusammengefasst. Durch elementare Gleichungsumformungen kommt man dann auf eine gewöhnliche, quadratische Gleichung, die man mit der pq-Formel lösen kann und die beiden Lösungen sind auch wirklich im Definitionsbereich. Ok, dann schauen wir uns jetzt 3 Beispiele zur Bestimmung des Hauptnenners an. Hier ist der Hauptnenner x+3²×x, den dieser Term steck in diesem schon drin. Nächstes Beispiel. Hier ist der Hauptnenner x²-1, da dies bereits das Produkt der beiden anderen Nenner ist. Oh, und natürlich müssen wir noch die Definitionsbereiche notieren. Und das nächste Beispiel. Hier lohnt es sich auszuklammern, denn die Nenner sind jeweils nur vielfache des gleichen Terms, also ist der Hauptnenner das Produkt aus diesem Term mit 3, 5 und 2. Und natürlich darf x nicht -2a sein. Manchmal kommt man auch viel schneller ans Ziel, wenn man einfach den Kehrwert bildet. In dieser Gleichung dürfen x, a und b nicht 0 sein, und man kann die rechte Seite als einen Bruch schreiben. Dann bildet man den Kehrwert und erhält x. Und a darf natürlich nicht -b sein. Fassen wir noch mal die Vorgehensweise zusammen. Man bestimmt den Definitionsbereich, findet den Hauptnenner und multipliziert mit diesem. Dann vereinfacht man, ordnet nach X-Potenzen und muss eventuell noch die pq-Formel anwenden. Und man sollte sich vergewissern, dass die Lösung die man hat, auch wirklich im Definitionsbereich liegt. Manchmal bringt einen Kehrwertbildung schneller ans Ziel. In Physik gibt's häufig Formeln in denen viele unbekannte Größen miteinander multipliziert und dividiert werden, lasst Euch davon nicht durcheinanderbringen, da kann ganz normal multipliziert und dividiert werden, bei den Umformungen als währen das Zahlen. Diese Rechnungen könnt Ihr zu Hause ja mal nachvollziehen. Als Letztes stellen wir die Formel noch nach n² um. Um das Hoch 2 wegzubekommen, müssen wir die \sqrt ziehen, denn die Wurzel ist die Umkehrfunktion der Quadratfunktion. Damit wären wir auch schon beim nächsten Thema. Die folgende Gleichung sieht so aus: \sqrt aus x5=3y². x muss größer gleich 0 sein, weil die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist. Auf der x-Seite ist die äußerste Funktion eine Wurzel, um die rückgängig zu machen, müssen wir quadrieren. Quadrieren ergibt x5=9y4. Links wird x5 genommen, also müssen wir die 5. Wurzel ziehen. Ja, und die Lösung ist: 5te Wurzel aus 9x4. Im nächsten Beispiel muss y größer gleich 0 sein. Hier steht zwar keine Wurzel, aber da links keine Wurzel steht, kann die ganze Gleichung nur einen Wert haben, der größer gleich 0 ist. Im letzten Schritt müssen wir die dran denken, dass das eine quadratische Gleichung ist und diese 2 Lösungen hat, also x=+ oder - \sqrt 7y³. Das kann man auch mit dem Betrag ausdrücken. Gut und dann gibt's da ja auch noch Exponential- und Logarithmusgleichungen. Wie diese hier: e³xy=a÷x.  Hier muss x ungleich 0 sein und a÷5 >0, denn das Ergebnis der Exponentialfunktion ist niemals 0 oder negativ. Wir wollen nach y auflösen, müssen also irgendwie an den Exponenten rankommen. Das schaffen wir mit logarithmieren, denn logarithmieren ist die Umkehrfunktion zum exponentieren. Links bleibt also die Bruchzahl übrig und rechts wird alles in den ln reingesteckt. Der Rest geht nun schon im Schlaf. In der nächsten Gleichung wollen wir wieder an die Hochzahlen rankommen. Da wir aber verschiedene Basen haben, können wir nicht einfach logarithmieren. Wir behelfen uns deswegen erst mal mit Potenzgesetzen. Die rechte Seite können wir schreiben als 4a×4² also 4a×16. Wir teilen nun durch b und 4a, wobei b nicht 0 sein darf, wenden noch mal die Potenzgesetze an und dürfen dann endlich logarithmieren. Die Lösung ist also a=log16/b zur Basis ¾. Und jetzt noch eine Gleichung, in der wir das x aus dem Logarithmus rausholen müssen. Die Basis ist 2, also wird zur Umkehrung 2 Hoch die ganze Gleichung genommen. Links fällt der Logarithmus weg und rechts steht 2a. Ahja, und das x muss > 0, sonst ist ja der Logarithmus nicht definiert. Wir ziehen also noch die 5te Wurzel und dann sind wir fertig. Noch mal zur Vorgehensweise bei Potenzen. Möchte man an die Basis einer Potenz kommen, muss man die entsprechende Wurzel ziehen. Steht das x unter der Wurzel, muss man entsprechend potenzieren. Möchte man an den Exponenten kommen, muss man mit der entsprechenden Basis logarithmieren. Und möchte man an die Zahl im Logarithmus kommen, nimmt man die Basis hoch den ganzen Logarithmus. Ok ich hoffe mal ich konnte jetzt etwas Licht ins Dunkel der Logarithmen und Exponentielle bringen.

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10 Kommentare
  1. Default

    Hallo Steve T.!
    Anhand Deiner Videos ist sonnenscheins klar, dass es möglich ist mit Mathe easy umzugehen. Das gibt absolut Hoffnung!!!
    (Allein das ist schon super) und es wäre prima wenn Du wieder Filme machen könntest mit genau dem Stoff den Du Dir eh schon geschnappt hast. Danke!

    Von S Kohler Dibl, vor mehr als 2 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Samuel,

    vielen Dank für die Kritik und die Hinweise. Du hast recht, ich selbst würde Vieles heute anders machen, anders präsentieren, leider kann ich momentan die Videos nicht ändern. Ich hoffe, dass trotzdem viele Nutzer damit arbeiten können und es ihnen hilft. Wenn du Genaueres wissen willst, schreib mich bitte persönlich an.

    Viele Grüße, Steve

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    ich finde deine videos haben zu viel input. deine erklärungen sind nicht ausführlich genug. eine kurze erläuterung zu definitionen sollte gegeben sein um das thema besser aufgreifen zu können. oder ein linkhinweis in welchem video das ausführlich formuliert ist. Ebenfalls sprichst du während des Schreibens. Ein Thema sollte mündlich anhand der Aufschriebe erklärt werden. Bei dir kann ich der Stimme nicht folgen da die Schrift nicht hinterherkommt bzw die Schrift rattert runter und nebenher erklärst du. Danach ist man genauso schlau wie davor oder noch verwirrter. Dies zieht sich lieder durch all deine videos. dies ist ein präsentationsproblem, kein inhaltlliches. ist nur ein tipp, ich weiß dass in so videos viel arbeit steckt, dennoch wäre es für den kunden besser, vor allem wenn es keine alternativvideos dazu gibt.

    Von Samuel Efferl, vor mehr als 2 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Issam,

    Giuliano hat bereits alles gut erklärt.
    Du hast insofern recht, dass ich am Anfang relativ schnell sage "Man muss sich anschauen, für welche Werte von x die Gleichung definiert ist." Das hätte man genauer und besser verständlich sagen können.
    Bei Buchtermen (in Gleichungen oder Funktionen) darf der Nenner nie 0 werden. Daran musst du immer denken.

    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  5. Giuliano test

    Hallo Issam,
    Der Definitionsbereich, (d.h. dass was ich für x einsetzen darf) ist hier eingeschränkt, da der Nenner bei einem Bruch nie 0 sein darf. Das bedeutet in dem Beispiel, dass die drei Nenner x+1, x^2-4 und x nicht 0 sein dürfen. Das bedeutet also, dass x=-1, x=2, x=-2 und x=0 nicht eingesetzt werden dürfen, da sonst einer der drei Nenner 0 ist.
    Also darf ich diese Zahlen erst gar nicht in
    die Gleichung einsetzen. Das spielt für die Lösung eine große Rolle. Falls also beim Lösen der Gleichung eine der vier Zahlen als Lösung rauskommen sollte, sind diese keine Lösung der Gleichung, da sie ja erst gar nicht eingesetzt werden dürfen.
    Bei 2:17 gilt das Gleiche. Der Nenner der Brüche darf nie!!!! 0 sein. Deswegen kommen die Zahlen zustande.
    Ich hoffe ich konnte dir weiter helfen.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 3 Jahren
  1. Default

    hab alles so mit ach und krach verstanden, ich finde ehrlich es ist zu wenig erklärt und man muss das schon gehabt haben um es aufs erste mal zu verstehen oder ein Genie sein, aber ich hätte da mal eine frage zu den Definitionsbereichen, von weiß man die? z.B.: bei 1:12 ok wir haben dort die definitionsbereiche -2 -1 0 2 und nun was bringt das, die lösung verändert sich nicht, und bei 2:17 die definitionsbereiche sind die vom himmel gefallen oder haben die auch einen ursprung?

    Von Issam Stayler, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Ich finde es ist nicht auswendig erklärt. Denn ich weiß es immer noch nicht wie man die difinitionsmenge und Hauptnener auslösen. :(

    Von Pally, vor etwa 4 Jahren
  3. Default

    keine Begrüßung ?! :O

    Von Maxi Mü, vor mehr als 4 Jahren
  4. Stephan1

    Ähem, ich meinte natürlich allgemeinere Gleichungen, nicht lineare und quadratische :)

    Von Stephan Bayer, vor mehr als 7 Jahren
  5. Stephan1

    Ein super Video, weil gerade Wurzel, Potenz und Logarithmus immer wieder beim Umformen von Gleichungen, egal, ob es lineare oder quadratische Gleichungen sind, Probleme machen. Das ging mir so in der Schule, bei der Abiturprüfung und im Studium (ich musste es im Analysis-Teil der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler noch einmal lernen). Super zum Lernen!

    Von Stephan Bayer, vor mehr als 7 Jahren
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