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Transkript Gleichungen mit Sinus, Cosinus und Tangens mit einem Winkelfunktionsterm

Hallo! Heute soll es um trigonometrische Gleichungen gehen. Was sind trigonometrische Gleichungen eigentlich? Sie enthalten immer mindestens eine trigonometrische Funktion - wie sin(x), cos(x) und tan(x). Die Schwierigkeit ist hier, dass die Variable im Argument der trigonometrischen Funktion vorkommt. In diesem Video möchte ich dir an einfachen Beispielen zeigen, wie du Gleichungen mit einer Winkelfunktion löst.

Beispiel einer einfachen goniometrischen Gleichung mit Sinus + Lösungsweg

Der einfachste Fall einer trigonometrischen Gleichung liegt beispielsweise bei einer Gleichung wie sinus x gleich 0,5 vor - also einer Gleichung, bei der zu einem gegebenen Wert nur der Winkel x zu bestimmen ist.

Um eine solche Gleichung zu lösen musst Du nur Sinus hoch -1 von 0,5 in den Taschenrechner eingeben. Dann erhälst Du den Winkel x gleich 30 Grad, wenn der Modus des Taschenrechners auf “degree” eingestellt ist. Die Schreibweise “hoch minus 1” hat hier eine andre Bedeutung als in der Potenzrechnung: Die Rechenvorschrift dazu lautet: arcus sinus von 0,5 gleich x.

Was hast Du hier eigentlich berechnet? Sinus x ist Term einer trigonometrischen Funktion mit der Funktionsgleichung f von x gleich Sinus x. Statt f von x steht hier der Funktionswert 0,5. Gesucht sind also alle Argumente x, deren Funktionswert 0,5 ist. Sinus x ist aber eine periodische Funktion. Es muss also mehrere Argumente geben die zu dem Funktionswert 0,5 führen.

Wenn man beim Argument 0 startet, steigt die Funktion bis zu einem Maximalwert, in diesem Fall 1 und fällt danach wieder und erreicht die x-Achse bei einem Winkel von 180 Grad. Sowohl beim Steigen, als auch beim Fallen erreicht sie irgendwann den Funktionswert 0,5. Es gib also im Intervall von 0 Grad bis 180 Grad zwei Winkel, die zu dem Funktionswert 0,5 führen.

Im Tafelwerk finden wir dazu dan entsprechender Stelle die Gleichung sinus x gleich sinus 180 Grad minus x. Man hat also innerhalb einer Periode zwei Lösungen, die zum Funktionswert 0,5 führen. Man errechnet den zweiten Winkel, indem man von 180 Grad den zuerst errechneten Winkel von 30 Grad abzieht. Der zweite Winkel ist in diesem Fall 150 Grad.

Jetzt hat man alle Winkel innerhalb einer Periode, die zum Funktionswert 0,5 gehören. Die Funktion ist periodisch und hat alle 360 Grad wieder einen Winkel, der zum gleichen Funktionswert führt. Das drückt man aus, indem man zu den bestimmten Winkeln in der ersten Periode ganzzahlige Vielfache von 360 Grad addiert oder subtrahiert. k kann also positiv und negativ sein, gehört also zum Zahlenbereich der ganzen Zahlen. Setzt man für k 0 ein, erhält man die ursprünglich berechneten Winkel.

Beispiel einer goniometrischen Gleichung mit Kosinus + Lösungsweg

Um das, was Du bisher gelernt hast zu vertiefen, wählen wir jetzt eine andere trigonometrische Funktion. Wählen wir den gleichen Funktionswert, aber diesmal soll der Kosinus von x gleich 0,5 sein. Das Verfahren ist das selbe, wir müssen aber hier unser Wissen über die Kosinusfunktion mit einbringen.

Unsere Gleichung lautet: Kosinus x gleich 0,5. Wir beginnen genauso wie bei der ersten Aufgabe und geben Kosinus hoch -1 von 0,5 in den Taschenrechner ein. Wir erhalten als Lösung den Winkel 60 Grad. Die Rechenvorschrift heißt hier: arcus Kosinus von 0,5 gleich x und die Lösung: x gleich 60 Grad.

Um den zweiten Winkel bestimmen zu können, bei dem die Kosinusfunktion den y-Wert 0,5 annimmt, schauen wir wieder ins Tafelwerk. Wir erfahren, dass der cosinus von x auch der cosinus von minus x ist. Der zweite Winkel liegt also bei minus 60 Grad. Da die Kosinusfunktion eine Periodenlänge von 360 Grad hat, nimmt sie den Wert 0,5 in jeder Periode alle 360 Grad an. Nämlich einerseits x gleich 60 Grad plus k mal 360 Grad und andererseits x gleich -60 Grad plus k mal 360 Grad. Auch hier ist k Element der ganzen Zahlen.

Beispiel einer goniometrischen Gleichung mit Tangens + Lösungsweg

Zum Schluss wollen wir noch eine Gleichung mit der Tangensfunktion lösen. Wir wählen wieder den gleichen Y-Wert und suchen alle Winkel, die zu diesem Wert führen. Die Tangensfunktion ist auch periodisch und symmetrisch zum Ursprung, hat aber - wie du siehst - eine ganz andere Form als die Sinus- oder Kosinusfunktion.

Die Gleichung lautet: Tangens x gleich 0,5. Wir berechnen arcus Tangens von 0.5, indem wir wieder Tangens hoch -1 von 0,5 in den Taschenrechner eingeben und erhalten gerundet den Winkel 26,57 Grad für x.

Innerhalb einer Periode wird bei der Tangensfunktion jeder Wert nur einmal angenommen. Wir können also gleich nach der allgemeingültigen Vorschrift für die anderen Winkel in Abhängigkeit von k suchen. Bei der Tangensfunktion wiederholen sich die Y-Werte alle 180 Grad. Tangens x ist also hier gleich Tangens x plus k mal 180 Grad. k ist natürlich wieder Element der ganzen Zahlen. Wir finden also alle Winkel, indem wir zum errechneten Argument x gleich 26,57 Grad ganzzahlige Vielfache von 180 Grad addieren.

Zusammenfassung

Du hast heute gelernt, wie man einfache trigonometrische Gleichungen löst. Es war doch gar nicht so schwer, oder? Was musstest Du zum Lösen tun?

Du hast die erste Lösung mit dem Taschenrechner bestimmt. Dann hast Du Dein Wissen über trigonometrische Funktionen angewendet. Bei der Sinus- und Kosinusfunktion gibt es immer zwei Lösungen pro Periode. Nun kannst Du das ein wenig üben und weitere Gleichungen dieser Art lösen. Viel Spaß und auf Wiedersehen.

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