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Transkript Gleichschenklige Dreiecke und der Basiswinkelsatz

Hallo! In diesem Video möchte ich erzählen, was gleichschenklige Dreiecke sind und dann möchte ich noch den Basiswinkelsatz behandeln und den auch beweisen. Was ist also ein gleichschenkliges Dreieck? Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn es mindestens 2 gleich lange Seiten hat. So könnte das also zum Beispiel aussehen. Die übrige Seite nennt man dann Basis und die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel des Dreiecks. Die beiden Winkel zwischen Schenkel und Basis sind die Basiswinkel. Hier sehen wir also, dass die Schenkel gleich lang sind. So, und ich habe hier eigentlich einen kleinen Fehler gemacht, denn ich habe schon suggeriert, dass die beiden Basiswinkel gleich groß sind, das ist aber von vornherein gar nicht klar. Man müsste also einen der beiden Winkel erst mal β nennen. Und dass die dann wirklich gleich groß sind, das besagt erst der Basiswinkelsatz. Und den möchte ich jetzt mal zitieren. Hat ein Dreieck zwei gleich lange Seiten, so sind die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel, also die Basiswinkel, gleich groß. Und warum das so ist, das wollen wir uns jetzt mal anschauen. Zuerst mal müssen wir den rechten Winkel hier in β umbenennen, denn gehen ja erst mal davon aus, dass wir drei beliebig große Winkel haben. Jetzt nehmen wir uns von der Strecke AB den Mittelpunkt, den nennen wir D und den verbinden wir dann mit dem Punkt C. Und jetzt vergleichen wir mal das linke Dreieck ADC mit dem rechten, DBC, und schauen was wir da schon aussagen können. Die Strecke DC gehört zu beiden Dreiecken. Die beiden Dreiecke haben also jeweils schon mal eine Seite, die gleich lang ist. Außerdem sind die beiden Strecken hier unten gleich lang, weil D ja die Mitte von AB sein soll. Dann ist also die Strecke AD genau so lang wie die Strecke DB. Und diese beiden Seiten sind die Schenkel. Die sind also nach Voraussetzung gleich lang. Also CA ist genau so lang wie BC, denn das sind die Schenkel. Die Dreiecke stimmen also in drei Seiten überein. Da ein Dreieck aber durch die Angabe von drei Seiten eindeutig bestimmt ist, müssen die beiden Dreiecke kongruent sein. Dann muss aber auch der Winkel zwischen Schenkel und halber Basis, also CAD, gleich dem Winkel zwischen Schenkel und halber Basis auf der anderen Seite, also DBC, sein. Also α ist gleich β, und das wollten wir beweisen. Durch diese Tatsache wird in einem gleichschenkligen Dreieck die Berechnung aller Winkel aus einem einzigen möglich. Hat man zum Beispiel gegeben, das α gleich 30 Grad ist, dann muss auch der andere Basiswinkel, also β, gleich 30 Grad sein. Und dann muss also γ gleich 180 Grad minus 2 mal 30 Grad, also 120 Grad sein. Hier haben wir benutzt, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck 180 Grad ist. Ist der Winkel γ gegeben, beispielsweise mit 50 Grad, dann muss die Summe der  restlichen Winkel, also α plus β gleich 180 Grad minus 50 Grad, also 130 Grad sein. Da α und β aber gleich groß sind, müssen beide also 65 Grad sein. Die Höhe auf der Basis ist übrigens die Symmetrieachse des gleichschenkligen Dreiecks. Sie ist außerdem die Mittelsenkrechte der Basis und die Winkelhalbierende von γ. Jetzt möchte ich auch noch auf die Umkehrung des Basiswinkelsatzes eingehen: Hat ein Dreieck zwei gleich große Winkel, so sind die den Winkeln gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Jetzt können wir also den zweiten Winkel wirklich wieder α nennen und die Strecke DC soll diesmal nicht die Mittelsenkrechte, sondern die Höhe auf AB sein. Wir wissen also, dass wir hier jeweils einen rechten Winkel haben. Wir wissen aber nicht, ob die Strecken AD und DB gleich lang sind. So, dann ist also der Winkel CAD gleich dem Winkel DBC, nach Voraussetzung, das sind die beiden Winkel α. Und der Winkel ADC ist gleich dem Winkel CDB, das sind die beiden 90-Grad-Winkel. Dann muss aber auch der Winkel DCA gleich dem Winkel BCD sein, denn das sind jeweils die restlichen Winkel, und die Innenwinkelsumme ist ja immer 180 Grad. Außerdem ist die Länge der Strecke DC gleich der Länge der Strecke CD. Diese Strecke gehört nämlich beiden Dreiecken an. Durch die Angabe von Winkel-eingeschlossener Seite-Winkel ist aber ein Dreieck eindeutig bestimmt. Und da unsere beiden Dreiecke in genau diesen Größen übereinstimmen, müssen sie also kongruent sein. Das heißt, auch die Strecken CA und BC müssen als die Seite, die den rechten Winkeln gegenüberliegen, gleich lang sein. Und das wollten wir beweisen.    

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27 Kommentare
  1. Default

    Hi

    Von Laurence Stuckenberger, vor 3 Monaten
  2. Default

    Hallo,
    Steve Taube

    Von Smakulla, vor 3 Monaten
  3. Default

    Danke!
    Hat mir weitergeholfen.

    Von Sewa75, vor 6 Monaten
  4. Default

    hammer

    Von Celikbatuhan, vor 7 Monaten
  5. Default

    gut

    Von Unknown U., vor 7 Monaten
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Miriam,
    genau, den kann man auch "Winkel an der Spitze" nennen.
    Danke für dein Lob!
    Viel Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor 9 Monaten
  2. Desktop backgrounds wallpapers hd 3

    meine Lehrerin in Mathe kann so schlecht wie nur möglich erklären aber sie können das wirklich am besten. Und das Video ist auch super. Zu dem Winkel zwischen den Schenkeln... meine Lehrerin meinte der hat einen speziellen Namen sie sagt auch immer ,,Winkel an der Spitze"

    Von Miriam W., vor 9 Monaten
  3. Default

    :D

    Von Mmalaika13, vor 10 Monaten
  4. Bewerbungsfoto

    Soweit ich weiß, hat der keinen speziellen Namen. Man könnte ihn "Winkel an der Spitze" nennen.

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Wenn die unteren Winkel die Basiswinkel sind,was ist denn dann der Winkel zwischen denn Schenkel?

    Von Avukatsahin, vor fast 2 Jahren
  6. Default

    Super Video!!! :)
    Besser als meine Lehrerin! :D

    Von Zoebelein, vor fast 2 Jahren
  7. Default

    Du bit der beste !!!
    Du hast des so geil beschrieben!!!
    Hundertmal besser wie mein Lehrer!!!!!

    Von Noah Z., vor fast 2 Jahren
  8. Default

    :D

    Von Ibrahimmurat, vor etwa 2 Jahren
  9. Bewerbungsfoto

    Hallo Soniagill2001,

    die Innenwinkel eines Dreiecks sind die drei Winkel, die innerhalb des Dreiecks entstehen. Ein Viereck hat 4 Innenwinkel usw. Außenwinkel dagegen sind die Winkel, die man außen an einer Figur messen kann. Eine bestimmte Größe müssen sie nicht haben.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
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    ich find das video gut aber unser lehrer hat uns net genau erklärt wie viel grad ein innenwinkel hat oder ehergesagt was ein innenwinkel ist...hilfe bitte ?

    Von Soniagill2001, vor mehr als 2 Jahren
  11. Default

    THX, war wichtig, hab nehmlich den Basiswinkelsatz nicht verstanden. Danke nochmal.

    -- xXWulfXx

    Von Der, Der Lehrnt, vor mehr als 2 Jahren
  12. Default

    He he hey ! Echt cooles video ! Hat mir bei der arbeit echt geholfen:-)

    Von Mauricio Carvalho, vor fast 3 Jahren
  13. Default

    Thx

    Von J/Kearney, vor fast 3 Jahren
  14. Default

    hat mir gút geholfen:)

    Von Jockip, vor mehr als 3 Jahren
  15. Default

    Danke

    Von Schmid Schmitten, vor fast 4 Jahren
  16. Img 0088

    vielen dank, das Video ist echt sehr gut!

    Von Ruben P., vor fast 4 Jahren
  17. Default

    Ist gut zu verstehen :)

    Von Anna*, vor mehr als 4 Jahren
  18. Default

    jetz blick ich alleeeeees :)

    Von Gymnasium1998, vor fast 5 Jahren
  19. Default

    jetz blick ich alleeeeees :)

    Von Gymnasium1998, vor fast 5 Jahren
  20. Default

    vielen dank, das video is echt gut =)

    Von Sean077077, vor fast 5 Jahren
  21. Default

    stimmt mir auch

    Von Luma, vor fast 7 Jahren
  22. 1b

    Sehr gut erklärt ;) Hat mir geholfen :]

    Von Becker, vor etwa 7 Jahren
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