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Transkript Gewinnfunktion, Gewinnzone und gewinnmaximale Ausbringungsmenge

Also, wir haben die zweite Aufgabenstellung hier in dem Zusammenhang; wir können die Aufgabe vielleicht nochmal so einblenden kurz, für Leute, die die nicht gelesen haben. So, so muss reichen. Es ist als nächstes gesucht die Gewinnfunktion, die Gewinnzone, GZ genannt, und die gewinnmaximale Ausbringungsmenge, also das x, für das die Gewinnfunktion maximal wird. Also, die Gewinnfunktion haben wir immer dann, wenn Erlös - Kosten positiv ist. Also Erlös ist E(x) - Kosten, das ist K(x); das ist dann die Gewinnfunktion. In der Aufgabe a hatten wir schon die Kostenfunktion bestimmt, die können wir hier sehen, und die Erlösfunktion ergibt sich eigentlich aus der Aufgabenstellung, da da steht: Ein Betrieb setzt seine Produkte zu einem Preis von 9,25 GE/ME ab. Somit wissen wir, dass dieser Wert für uns entscheidend ist, und zwar haben wir da 9,25x als Erlösfunktion. Genau, der Erlös ergibt sich dann aus der Anzahl der verkauften Stücke, die man multiplizieren muss mit dem Preis eines Stückes. Also, 9,25x, alles klar, ist der Erlös, -, und dann haben wir es da oben ja schon stehen. Und das wird dann zu +, hallo! Und das wieder zu -. Ja, gut, dass du das gemacht hast, damit das jeder weiß. Hallo, man muss da wirklich drauf achten, wichtige Sache! Alles klar. Ja, schön, ne? Das ist G(x), und das kann man noch umformen, machst du? Mach ich. Okay, wir haben einmal... Ich ordne das mal der Reihe nach, ja? Einmal größer, bitte. Größer... So, dann haben wir -, dann haben wir 3, ne, wenn ich mich jetzt hier nicht irre, ,25, ne? Ja, aber das ist dann +, ne? Ach ja. Ja, weil wir 9,26-6 rechnen, einfach, ist 3,25. -12,5, und das ist dann =G(x). Genau, damit ist das schon mal erledigt. Gewinnfunktionen haben wir, brauchen wir die Gewinnzone. Gewinnzone ermitteln wir indem wir... Wir haben ja hier die Gewinnfunktion jetzt, und wir rechnen jetzt die Nullstellen davon aus. Wollte eben die Funktion andeuten, die wird ungefähr so verlaufen, ja, und von der Nullstelle bis zu der Nullstelle, da wo die Funktionswerte zwischen diesen beiden Nullstellen positiv sind, von da bis da ist dann die Gewinnzone. Die Nullstelle werden wir auch noch finden, aber die brauchen wir nicht, weil man ja nicht weniger als gar nichts produzieren kann, also zumindest gehen wir jetzt mal davon aus. Gut, und jetzt tausche ich die Tafeln, da ich Rechtshänder bin und ich das einfacher finde. So, ganz klar =0 setzen, damit wir auch die Nullstellen ermitteln können. So, jetzt kommt unsere schöne Polynomdivision, da wir eine Funktion dritten Grades haben... Entschuldigung, aber das habe ich vergessen, da seh' ich's gerade. Da wir eine Funktion dritten Grades haben, müssen wir eben die Polynomdivision machen, damit wir nachher überhaupt Nullstellen bestimmen können, weil, so erst mal können wir's nicht. Die du vorbereitet hast? Das heißt, wir brauchen eine Nullstelle, und dann können wir durch x-Nullstelle teilen. Wie kommen wir zu dieser Nullstelle? Man muss schon auch den Aufgabentext angucken. Ja, wir haben die Nullstelle, da... Bei diesem Punkt sind die Kosten dann vollständig gedeckt. Das heißt, man hat in dem Moment zwar noch keinen Gewinn, aber ab da, alles darüber hinaus, fängt dann somit der Gewinn auch an. Ja, da ist der Gewinn 0, und das wollten wir haben, das ist die Nullstelle. Also kann man (brauchst du jetzt nicht aufschreiben) diese Funktion, oder diesen Term hier, erst mal durch x-2 teilen. So, und da kommt jetzt eine Sache zum Tragen, die vielleicht ein bisschen komisch ist: Ich habe nämlich hier eine andere Funktion stehen, einen anderen Term stehen als den hier. Warum? Zu dem Term bin ich gekommen, indem ich mit -4 multipliziert habe. Warum geht das? Wenn ich mir diese Funktion angucke hier, dann kann ich diese Funktion mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren, sodass die Nullstellen gleich bleiben. Die Nullstellen bleiben ja immer gleich, auch, wenn ich mit 1000 multipliziere, hat die neue Funktion dann die gleichen Nullstellen wie die hier. Und ich habe jetzt mit -4 multipliziert, damit ich hier ganz nette Zahlen habe. Das heißt also, man bestimmt jetzt die Nullstellen einer anderen Funktion, die aber die Eigenschaft hat, die Nullstellen an derselben Stelle wie die Funktion zu haben. Da habe ich das schon mal zusammengefasst. Also, was man hier natürlich macht, ist erst mal x3 durch x teilen, das ist x2. Dann rechnet man x2 mal diese gesamte Klammer, schreibt das Ergebnis hier hin und rechnet dann diesen Term - dieses Ergebnis. Das kommt dann dabei heraus, also -6x2 kommt dabei heraus, und dann nimmt man den nächsten Summanden dazu, und dann geht das Ganze von vorne los. Die Polynomdivision geht natürlich auf, denn wenn man durch x-Nullstelle teilt, geht es immer auf. Also, man bekommt den Rest 0. Das ist unsere freundliche 0, die wir da auch haben wollen, schön. Und mit diesem Term, der dabei herausgekommen ist, ist dann sogesagt unser Term, mit dem wir dann auch die Nullstelle bestimmen können, mithilfe der PQ-Formel. Manche machen es auch mit der quadratischen Ergänzung, je nachdem, wie man Laune hat. Die PQ-Formel... Ich kann sie ja noch mal aufschreiben. Also, p/2 heißt es, zum Quadrat, und diese Klammer braucht man nicht. Ich schreib' sie trotzdem immer vorsorglich gerne auf. Das ist nicht gut! Wenn man etwas nicht braucht, dann schreibt man das in der Mathematik auch nicht hin, und das eine Wurzel, ne? Ja, so sieht meine Wurzel aus. Genau, das ist sie. Damit kannst du einsetzen. Genau. Jetzt haben wir hier den Sonderfall direkt: -. - und- wird +, also +, falls jemand das jetzt nicht so mitbekommen hat. Ja, hier wieder, ne... Ja, ne? Da muss man immer drauf achten, ne? Das ist eine Wurzel, ok... Ich habe extra einen schönen Haken gemacht. Kein Problem. Ich sag' eben die Werte, die da herauskommen: Wir haben ja jetzt hier 32, was dann 9 ist, nicht wahr; dann haben wir 34 in der Wurzel stehen. Die Wurzel aus 34 ist ein bisschen weniger als 6, weil ja die Wurzel aus 36 6 ist. Hier steht ja eine 3, quasi weil 6/2 3 ist. Wir brauchen 3- fast 6 nicht auszurechnen, weil das negativ wird, und negative Werte können wir hier nicht gebrauchen, weil die nicht im ökonomischen Definitionsbereich liegen. Habe ich denn schon mal im Vorgriff gesagt, schreibe ich gleich nochmal auf. Deshalb brauchen wir einfach nur zu rechnen: 3+ die Wurzel, und das ist 3+5,83 ungefähr, also 8,83 ist dann das Ergebnis, was uns hier interessiert. Und wenn man jetzt sagen will, dass die andere Sache hier nicht ausgerechnet wird, dann kann man sagen, dass x(2) nicht Element des ökonomischen Definitionsbereiches ist, also nicht Element D(ök). Finde ich süß, irgendwie. So, das ist unsere nächste Nullstelle; das bedeutet: Wir haben zwei Nullstellen. Von 2 bis 8,83 geht dann die Gewinnzone. Die Gewinnzone, darf ich eben noch aufschreiben, ist dann... Gewinnzone, so schreibt man das auf: Das offene Intervall von 2 bis 8,83 ungefähr; deshalb ist hier auch ein Semikolon, weil wir hier ja noch ein Komma haben, und die beiden Grenzen gehören nicht zur Gewinnzone dazu. Deshalb ist es das offene Intervall. Ok, was brauchten wir noch? Gewinnzone haben wir jetzt; die gewinnmaximale Ausbringungsmenge brauchen wir jetzt noch. Genau. Hier wieder unsere Gewinnfunktion, die wir ausgerechnet haben. Davon müssen wir jetzt im Grunde die erste Ableitung bilden, um eben nachher mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung zu beweisen, dass da ein Hochpunkt beziehungsweise ein, vielleicht auch, Minimum liegen könnte. Machst Du? Ja, mache ich. Gut, G(x)... G'(x)! Zumindest ist die Ableitung dieses Summanden =0. Ja, somit fällt es weg. Okay, wieder gleich Null setzen. Rein zufällig habe ich das schon mal hier vorbereitet... Das freut mich doch! ...weil die Zahlen jetzt hier ein bisschen doof sind. Also, man setzt natürlich diese erste Ableitung =0, dann kann man durch -0,75 teilen. Das kommt heraus; dann kann man hier die entsprechenden Zahlen in die PQ-Formel einsetzen: p ist ja bei uns jetzt 16/3, und -p/2 ist dann 8/3 und so weiter, da haben wir schon alles gezeigt. Das ist der umgeformte Term, wenn man das hier berücksichtigt. Ich habe hier diese 13/3 direkt auf 39/9 gebracht, damit ich hier mit den Neunteln weiterrechnen kann. Und wenn man hier 8/3+ diese Wurzel rechnet, kommt ungefähr 6,05 heraus, 8/3- die Wurzel brauchen wir nicht zu rechnen. Warum? Kann man sich gleich vorstellen: 103/3 sind ja ungefähr 34, und was die Wurzel aus 34 ist, hatten wir gerade eben schon, genau. Das waren 5,83, kann ich mich erinnern. Da hatten wir hier die 3 dazu addiert und sind eben auf die 8,83 gekommen. Also, 8/3 sind ja 2 Periode 6; wenn ich 2 Periode 6 -5 irgendwas rechne, kommt etwas negatives heraus; deshalb ist die zweite Lösung dieser Gleichung negativ, und die brauchen wir dann wieder nicht. Wir müssen das mit der zweiten Ableitung jetzt verifizieren. Das heißt, wir haben eine mögliche Nullstelle der ersten Ableitung, nicht wahr, und müssen jetzt gucken, ob der Funktionswert der zweiten Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist; denn wenn das der Fall ist, wissen wir, dass sich dort ein Extremum befindet. Nach der hinreichenden Bedingung. Ja. Dann setzen wir ein: G... G''(x), nur die Ruhe... So, darf ich das eben vormachen? Und da muss man sich nicht weiter etwas überlegen... Das wird eh negativ. Genau. Wir haben 6 und noch einmal die Hälfte von 6 dazu, ist ungefähr 9; -9+4 ist negativ. Damit ist die Sache erledigt. Ich sage das deshalb so, weil viele Leute da auch wieder zum Taschenrechner greifen; finde ich zumindest unnötig. Wenn man sich ein bisschen jetzt mal die Zahlen anguckt, und so viel Zahlenverständnis darf ruhig sein, dass man das sieht, dass diese Sache hier negativ ist. Daher können wir natürlich dazusagen, wenn etwas Ob das dann das Gegenteil ist, mag dahingestellt sein, aber wir empfinden das so, ja. Genau, die Schüler empfinden das so. Ja, auf jeden Fall liegt dann somit ein Hochpunkt vor, und somit haben wir dann die Aufgabe auch erfüllt, da wir bewiesen haben, dass die Gewinnfunktion ein Maximum hat, und zwar bei ungefähr 6,05 ist die gewinnmaximale Ausbringungsmenge; Aufgabe ist hier erledigt. Nach dem Gewinn an der Stelle war nicht gefragt. Dann machen wir's auch nicht! Nein. Genau, das war's!

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2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Flowrnr:
    Welche Stelle des Videos meinst du genau? Ich kann den Fehler nicht erkennen. Bei der Gewinnfunktion wird 9,25x-6x gerechnet und nicht 9,25-(-6). Kannst du die genaue Stelle im Video mit Minute und Sekunde angeben?

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    aber es iss doch 9,25 -(-6) also 15,25

    Von Flowrnr, vor mehr als einem Jahr