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Transkript Geradenscharen – Geraden konstruieren (2)

Hallo, hier folgt also der zweite Teil unserer kleinen Aufgabe. Wir suchen die Gerade, die diese Dreiecksebene im 60° Winkel schneidet. Ich habe ein bisschen Platz gemacht, denn ich habe hier eine Gleichung stehen und die möchte ich auflösen. Nicht mehr und nicht weniger. Und das geht so: Wir haben sin60°, kein Problem, = Betrag des Skalarproduktes aus diesen beiden Vektoren. Skalarprodukt, das Skalarprodukt rechnet man hier so aus 1 × 4 + 1 × 4 + 1 × a. 1 × 4 ist 4, das Ganze zweimal ist also 8. 8 + a kommt heraus. 1 × a ist a, und das kommt hier in den Betrag. Unten habe ich den Betrag des Vektors 1,1,1. Der Betrag eines Vektors ist also die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Die Koordinaten sind hier alle 1, deshalb kann ich schreiben: \sqrt(12 + 12 +12) und so weiter. Und das kommt selbstverständlich auch noch in den Betragsstrich und ich muss noch den Betrag ausrechnen von 4, 4, a. Der Bruchstrich geht hier immer weiter. Also 42, ach ich schreibe es einfach hin, \sqrt(42 + 42 + a2). So, der Betragstrich fehlt noch, bitteschön. Das ist also der Nenner. Das gilt es jetzt aufzulösen. So, und ich glaube da sind wir auch schnell durch, denn wir haben hier also nun sin60° = |8 + a| ×, ja 12 ist 1, 1 + 1 + 1 ist 3, Wurzel davon ist \sqrt3. Betrag der Wurzel 3 ist die Wurzel 3. Das ist erledigt. 42 = 16 + 16 ist 32, das heißt, wir haben hier \sqrt(32 + a2). Und dann, ja das sieht schon viel sympathischer aus, glaube ich. Was ich jetzt machen werde, ist eine Äquivalenzumformung, und zwar werde ich rechnen: × Nenner, × dieser Nenner, und dann werde ich rechnen: die ganze Gleichung hier zum Quadrat. Das kann ich in einem Schritt machen, so kompliziert ist das ja auch nicht. Nicht wahr, du bist ja schon groß und ich auch und das können wir mal eben so machen. Also, wenn hier jetzt mit dem Nenner multipliziert wird, da steht ja hier Wurzel aus 3 auf der anderen Seite, wenn das Ganze dann quadriert wird, steht da eine 3. × \sqrt(32 × a2) wird dann hier auftauchen als Faktor. Wenn man das Ganze quadriert, steht dann auch die Wurzel nicht mehr da, sondern einfach × 32 + a2. Das, was hier steht, muss ich natürlich auch quadrieren: sin2 von 60° und auf der anderen Seite bleibt noch 8 + a. Der Betrag fällt weg, da ich ja quadriert habe. Die Sache ist dann jetzt sowieso positiv, beziehungsweise größer/gleich 0. a könnte hier auch -8 sein, dann ist es 0. Das ist hier meine neue Gleichung. So, und jetzt geht mir das mit dem sin2 von 60 ° aber endgültig auf die Nerven, und ich mache mir Gedanken dazu, wie das denn aussehen könnte. Also du kennst ja, ich mache das hier so als Nebenrechnung, du kennst ja 60° Winkel. 60° Winkel befinden sich in gleichseitigen Dreiecken. Hier ist ein 60° Winkel. Wir wissen, dass die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck, wenn das jetzt hier zum Beispiel die Seite, a möchte ich nicht nehmen, dann ist es die Seite b von mir aus. a ist ja hier schon verbraten. Diese Höhe, diese Höhe hier, die ist folgendermaßen lang, das kriege ich jetzt hier nicht hin. Das ist jetzt egal, sie ist \sqrt3/2 × b, also × Seitenlänge. \sqrt3/2. Wenn ich jetzt also den Sinus ausrechne von 60°, dann teile ich hier diese Höhe geteilt durch diese Seite. \sqrt3/2 × b/b. Da kann ich b kürzen und es bleibt stehen: \sqrt3/2, deshalb ist also das Quadrat davon nicht \sqrt3/2, sondern 3 ÷ 4 oder einfach 3/4, 0,75. So, und das möchte ich jetzt schamlos ausnutzen. Das hier ist also 3/4, das möchte ich also ausnutzen, indem ich hier diese quadratische Gleichung in einen vernünftigen Rahmen bringe. Ich muss hier einmal auf meinen Spickzettel gucken, damit das auch alles ordnungsgemäß vorangeht. Und da stelle ich fest, ich habe schon wieder einen Fehler gemacht, leider, ich habe nämlich quadriert, aber ich habe hier nicht quadriert. Katastrophe. Irgendwie hat mich der Betrag abgelenkt, brauche ich mich nicht zu entschuldigen, ich habe es falsch gemacht. Jetzt mache ich es aber richtig. Wir haben nämlich 8 + a2, 82 ist 64, ich muss das ja mit binomischer Formel machen, + 2 × 8 × a, das ist + 16a + a2. Ja, und wie ich immer zu sagen pflege, es ist nicht schlimm einen Fehler zu machen, man sollte ihn bloß merken, ziemlich schnell. Wenn das gelingt, kein Problem. Wenn ich diese Gleichung jetzt lösen möchte, dann möchte ich hier auf dieser linken Seite die Therme zusammenfassen, die Summanden zusammenfassen, die a2 enthalten. Da muss ich Folgendes multiplizieren, nämlich 3 × 32, nein, das ist kein a2, sondern 3 × a2 × 3/4, das sind 9/4a2. 3 × a2 × 3/4. Und von der anderen Seite kommt auch noch ein a2, nämlich ein -a2, wenn ich das hier auf diese Seite bringe. Dann kümmere ich mich um alle Therme, die ein a enthalten, das ist hier nur 16a. Also kann ich hier -16a hinschreiben. Und dann habe ich noch 3 × 32 × 3/4, da muss ich rechnen, 3 × 3 ist 9, und 32 ÷ 4 ist 8, also steht da + 9 × 8. Vielleicht nützt mir das noch etwas, ich weiß es noch nicht. Ich muss jetzt nicht alles ausrechnen, alle Zwischenergebnisse, vielleicht kann ich hier hinten noch etwas damit machen. Also, 3 × 32 × 3/4 ist 9 × 8 und dann kommt noch die -64 hinzu, dann ist diese rechte Seite leer und also gleich 0. Und jetzt kann ich noch durch 5/4 teilen, oder einfach × 4/5 rechnen, damit ich dann die PQ-Formel anwenden kann. Ja wie macht man so etwas? Wie komme ich auf die 4/5? Ich habe mir gedacht 9/4a2 - 4/4a2 sind ja 5/4a2, und dann muss ich eben × 4/5 rechnen, damit das a2 alleine steht.  Und 4/5 × (-16a) sind -64/5a, und hier steht eine 8 quasi, ich hab ja hier, ich weiß ja das 8 × 8 = 64 ist, hier steht 9 × 8, 9 × 8 - 8 × 8 ist 8, und hier kommt noch 8 × 4/5 hinzu quasi als Rechnung, und das sind + 32/5. So, passt das alles? Ich hoffe ja. Das ist = 0, dann kann ich die PQ-Formel anwenden, und das mache ich dann im nächsten Teil. Bis dahin, viel Spaß. Tschüß!

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