Geometrische Reihen

Geometrische Reihen – Erklärung

Eine geometrische Reihe ist eine mathematische Reihe mit der allgemeinen Form:

Was ist eine mathematische Reihe?

Was ist eine geometrische Reihe?

Bei einer geometrischen Reihe ist jeder Summand das Produkt des vorangegangenen Summanden einem konstanten Faktor $q$. $q$ ist also der Quotient bzw. das Verhältnis zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen der Reihe. Es gilt:

$s_k = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} a \cdot q^{k}=a+aq+aq^{2}+aq^{3}+...$

$a$ ist hier also der erste Term und $q$ der konstante Faktor, der zu jedem folgenden Summanden multipliziert wird.

Beachte, dass geometrische Reihen, sich von geometrischen Folgen unterscheiden. Eine Reihe entspricht der Aufsummierung aller Folgenglieder einer gegebenen Folge $a_k$.

Divergente und konvergente geometrische Reihen

Da eine Reihe aus allen Folgengliedern einer Folge und somit aus unendlich vielen Summanden besteht, könnte man davon ausgehen, dass eine entsprechende Summe immer unendlich groß wird. Das ist aber tatsächlich nicht so. Eine geometrische Reihe kann divergent (d. h. ihr Wert ist unendlich bzw. strebt nicht gegen einen Grenzwert) oder konvergent (d. h. ihr Wert ist endlich bzw. strebt gegen einen Grenzwert) sein, abhängig davon, ob ein Grenzwert existiert.

Ein Grenzwert ($\lim$) ist ein Zahlenwert, dem z. B. eine geometrische Reihe für beliebig große $k$ entgegen streben kann.

Was ist eine divergente geometrische Reihe?

Bei einer divergenten geometrischen Reihe gilt für $q$:

$|q| \geq 1$

Der Betrag von $q$ ist also $1$ oder größer als $1$.

Ein Beispiel für eine divergente geometrische Reihe ist:

$q = 2$, $a=1$

$s_k = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}2^{k}$

Es gilt: $|2| \geq 1$

Daher wissen wir, dass kein Grenzwert existiert. Das wird auch deutlich, wenn uns die Werte der ersten Partialsummen (also die Summen bis zu einem bestimmten $k$) anschauen:

Es wird ersichtlich, dass bereits die einzelnen Folgenglieder beliebig groß werden. Das macht anschaulich deutlich, dass der Wert der entsprechenden geometrischen Reihe nicht endlich ist und divergiert.

Was ist eine konvergente geometrische Reihe?

Bei einer konvergenten geometrischen Reihe gilt für $q$:

$|q| < 1$

Der Betrag von $q$ ist also kleiner als $1$.

Ein Beispiel für eine konvergente geometrische Reihe ist:

$q = \frac{1}{4}$, $a=1$

$s_k = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k}$

Es gilt: $|\frac{1}{4}| < 1$

Es existiert also ein Grenzwert gegen den diese Reihe konvergiert. Wie wir diesen berechnen können, wird im Folgenden erläutert.

Geometrische Reihen – Grenzwert berechnen

Beispiel

Den Grenzwert der unendlichen geometrische Reihe

$s_k = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} 1 \cdot (\dfrac{1}{4})^{k}$

kannst du daher mit der gegebenen Formel

$\sum\limits_{k = 0}^{\infty}a \cdot q^{k} = \dfrac{a}{1 - q}$

berechnen (es gilt $|q| < 1$).

Setze zunächst $\frac{1}{4}$ für $q$ und $1$ für $a$ ein.

$s_k = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} 1 \cdot (\dfrac{1}{4})^{k} = \dfrac{1}{ 1 - \frac{1}{4}}$

Fasse anschließend zusammen und löse den Bruch auf.

$\dfrac{1}{ 1 - \frac{1}{4}} = \dfrac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}= 1{,}\overline{3}$

Der Grenzwert der geometrischen Reihe ist $1{,}\overline{3}$. Auch das können wir uns ansatzweise veranschaulichen, wenn wir uns die ersten Partialsummen der Reihe anschauen:

Man kann erkennen, dass die Folgenglieder der zugrundeliegenden geometrischen Folge beliebig klein werden (man sprich auch von einer Nullfolge) und sich die Summe dieser Folgenglieder einem bestimmen Wert annähern. Durch die Berechnung weiterer Partialsummen wird ersichtlich: Dieser liegt bei $1{,}\overline{3}$.

Geometrische Reihen – Zusammenfassung