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Transkript Gauß-Verfahren – Beispiel mit drei Unbekannten

Der Gauß-Algorithmus Ein Zahlenbeispiel Wir haben folgendes lineares Gleichungssystem gegeben: 4x+4y+7z=4 2x+3y+5z=3 8x+10y+17z=9 Zuerst übertragen wir das Gleichungssystem in unser Gauß-Schema: Rechte Seite, x, y, z: 4 4 7 4 2 3 5 3 8 10 17 9 Als erstes möchten wir an dieser und an dieser Stelle eine 0 generieren. Wie wir sehen, ist es da leichter, von der 2 auszugehen, da wir die 2 besser mit etwas multiplizieren können und damit die 8 und die 4 zu einer 0 machen können. Deshalb vertauschen wir die erste und zweite Zeile. Dies ist ein äquivalenter Umformungsschritt. Also: 2 3 5 3 4 4 7 4 8 10 17 9 ist unser äquivalentes Gleichungssystem. Im nächsten Schritt wollen wir an dieser Stelle eine 0 generieren. Dazu müssen wir 2(-2) rechnen, und 2(-2) ergibt -4. 4-4=0. Da wir die erste Zeile unverändert lassen, schreiben wir sie einfach ab, also: 2 3 5 3. Wir addieren das -2fache der ersten Zeile zur alten zweiten Zeile und erhalten so die neue zweite Zeile. Also wieder das erste Element, 4+2(-2)=0 4+3(-2)=4-6=-2 7+5(-2)=7-10=-3 und 4+3(-2)=4-6=-2 Nun wollen wir noch an dieser Stelle eine 0 generieren. 2(-4)=-8, und 8-8=0. Also müssen wir das -4fache der ersten Zeile zur alten dritten Zeile hinzuaddieren und erhalten so die neue dritte Zeile: 10+3(-4)=10-12=-2 17+5(-4)=17-20=-3 und 9+3(-4)=9-12=-3 Um die Dreiecksgestalt zu erzeugen, müssen wir noch an dieser Stelle eine 0 generieren. Indem wir die zweite Zeile mit -1 malnehmen, können wir an dieser Stelle eine 0 generieren. Da wir nur die dritte Zeile äquivalent umformen wollen, lassen wir die ersten beiden Zeilen stehen. (-2)+(-2)(-1)=(-2)+2=0 (-3)+(-3)(-1)=(-3)+3=0 und (-3)+(-2)(-1)=(-3)+2=-1 Wir sehen, dass sich in der dritten Zeile ein Widerspruch ergibt, da 0 ungleich -1. Daraus folgt: Der Gauss-Algorithmus führt zu einem Widerspruch. Daraus folgt: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung. Das heißt: Die Lösungsmenge ist leer.

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