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Transkript Gauß-Algorithmus – Anschauliche Anmerkung

Willkommen zu einer anschaulichen Anmerkung zum Gauß-Algorithmus. Anmerkung: Es geht hier nicht um die Durchführung des Gauß-Verfahrens, sondern es wird erläutert, wie man die Vorgänge im Gauß-Verfahren intuitiv verstehen kann. Das Gauß-Verfahren lebt ja von 2 Methoden. Zum einen kann man beide Seiten einer Gleichung mit einer Zahl multiplizieren. Dies kann man anschaulich gut mit einer Wippe im Gleichgewicht darstellen. Verdoppelt man auf der einen Seite, muss auch die andere Seite verdoppelt werden, um das Gleichgewicht weiter zu halten. Desweiteren kann man im Gauß-Verfahren ganze Gleichungen voneinander abziehen und so Variablen verschwinden lassen. Das mag einem ein wenig komisch vorkommen und man mag sich fragen, ob man das ohne Umwege auch sehen kann, was man dort im Gauß-Verfahren macht. Diese Veranschaulichung gibt es und mit dieser wollen wir uns nun befassen. Dafür nehmen wir nun folgendes Gleichungssystem: Betrag von ([x1]+9[x2]=11) Betrag von ([x1]+5[x2]=7)   Dieses Gleichungssystem ist eigentlich viel zu einfach, um darauf ein Gauß-Verfahren anzuwenden, doch für meine Zwecke reicht es gerade aus. Wenn wir also nun auf dieses Gleichungssystem das Gauß-Verfahren anwenden wollen, würden wir die 1. Gleichung minus die 2. Gleichung rechnen. Das hat dann den Vorteil, dass [x1]-[x1]=0 ist und wir somit eine Gleichung erhalten, in der nur noch [x2] vorkommt: 9[x2]-5[x2]=11-7. Dann kann man die zweite Gleichung lösen, das Ergebnis in die erste Gleichung einsetzen, nach [x1] auflösen und fertig! Aber ich hab mir gedacht, irgendwie ist das ja ein wenig merkwürdig! Wir haben irgendwelche zwei Gleichungen, die kommen sonstwo her. Man formt die ein wenig um und kann nun die beiden rechten und die beiden linken Seiten voneinander abziehen und stellt fest, dass die beiden Differenzen gleich sind. Wie kommt das, dass die Differenzen dieser beiden Gleichungsseiten untereinander gleich sind? Dafür nehmen wir nun Papierstreifen. Man hat also die 11 (langer blauer Streifen) auf der einen Seite und die 9[x2]+X1 (langer gelber Streifen) auf der anderen. Wir wissen nun 11 ist größer als 9[x2], diese Größe entspricht dann [x1]. Für 7 (kurzer blauer Streifen) und 5[x2] (kurzer gelber Streifen) verhält es sich genauso (siehe Video). Die Differenzen von 9[x2] zu 11 und 5[x2] zu 7 sind gleich groß, auch wenn wir noch nicht wissen wie groß [x1] ist. Hier kann man nun sagen, dass die Gleichungen nicht mehr unabhängig voneinander sind. Schaut man sich nun den Zusammenhang zwischen den beiden Zeilen an, dann sieht man, dass die Differenz zwischen 9[x2] und 5[x2] genauso groß ist wie die Differenz zwischen 11 und 7. Damit sieht man, dass die Gleichung 9[x2]-5[x2]=11-7 richtig ist. Und um das noch genauer zu verstehen, kann man sich auch mal vorstellen, dass man die 11 auf 12 vergrößert. Der lange blaue Streifen verlängert sich, die Differenz zu 9[x2] vergrößert sich. Gleichzeitig wird der kurze gelbe Streifen damit kürzer, somit vergrößert sich die auch die Differenz zwischen 5[x2] und 7. Der Zusammenhang zwischen den beiden Gleichungen besteht also darin, dass sich die 2. Gleichung ändert, wenn sich die 1. geändert hat. Probiert es einfach selbst einmal anhand von Papierstreifen und entsprechenden Gleichungsbeispielen. Viel Spaß damit!

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1 Kommentar
  1. Uwe3

    Sehr schön.
    Doch, doch Herr Wabnik. Genau das trifft den Geschnack, des Zuschauers (Wenn ich jetzt mal von mir ausgehen darf).
    Gerne mehr davon.
    Denn erst wenn ich intuitiv oder gefühlsmäßig (wie man das auch immer nennen mag) verstehe,
    werde ich mir auch das Verfahren besser merken können.
    Intuitives Verstehen der mathematischen "Werkzeuge" hilft auch beim Finden von Lösungsansätzen
    bei mathematischen Problemen. Sag ich jetzt mal so als Laie.
    Vielen Dank für dieses Anschauungsmodell -Es hat mir sehr geholfen.

    Von Krish Uwe S., vor etwa 6 Jahren