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Transkript Flächeninhalt von Dreiecken – Höhe und Seite verlängern

Hallo, es geht um eine halbwegs offene Aufgabe zu Dreiecken. Die Grundseite und die zugehörige Höhe eines Dreiecks werden jeweils um eine Längeneinheit verlängert. Die Frage ist: "Wie verändert sich dadurch der Flächeninhalt?" Was kann man da machen? Man kann jetzt entweder eine Idee haben und die dann weiter verfolgen. Wenn man jetzt keine hat, und das ist durchaus üblich, dass man nicht sofort eine Idee hat, kann man was ausprobieren. Das ist so gemeint. Man soll was ausprobieren. Was könntest Du ausprobieren? Du könntest einfach ein Dreieck zeichnen. Irgendwie. So zum Beispiel. Keine Ahnung. Dann sagst Du "So, das ist jetzt meine Grundseite und das ist hier die Höhe dazu." Ist ja hier fast rechtwinklig geworden. Macht nichts. Ist jetzt ein Spezialfall. Kann man ruhig mal machen. So, und dann nimmst Du eine neue Grundseite und verlängerst die hier um eine Einheit und die Höhe auch, um eine Einheit. Da zum Beispiel. So ist die alte Höhe, das ist die neue Höhe. Neues Dreieck. Und dann bestimmst Du mal hier den Flächeninhalt und da den Flächeninhalt. Wenn Du die Länge nicht kennst, kannst Du die ja nachmessen, oder Du hast sowieso schon eine bestimmte Länge hier eingezeichnet, die Du Dir vorher überlegt hast. Egal, da kannst Du vorgehen wie Du willst. Und dann kannst Du mal beschreiben, wie jetzt hier der Flächeninhalt größer geworden ist und um wie viel. Dann kannst Du das mit anderen Dreiecken ausprobieren und zum Beispiel eine Vermutung äußern. Das geht immer. Wenn Du das gemacht hast, wenn Du das ausprobiert hast, wenn Du eine Vermutung hast, dann kannst Du mal versuchen, dieses Problem in Formeln zu packen. Es geht ja um eine Grundseite, eine Höhe und es geht um einen Flächeninhalt. Und da darf Dir einfach die Flächenformel im Dreieck einfallen. ½× die Grundseite × Höhe. Das ist die Fläche im Dreieck. Was die Grundseite ist, ist dabei egal, die kann sonst wo liegen. Die Verlängerung der Grundseite und der Höhe um 1, das soll jetzt irgendwie in diese Formel gepackt werden. Nun, was kann man machen? Man schreibt einfach g+1 und das wird × mit h+1. Das sind unsere neuen Größen, mit denen wir rechnen. Und dann ist das, nehme ich mal an, wie die alte Fläche, nur noch mit etwas dazu. Also x+Fläche ist dann diese Fläche. Was habe ich gemacht? Ich habe einfach als gesagt wurde um eine Längeneinheit verlängern, habe ich g+1 geschrieben und das halt eingesetzt. Und hier habe ich mir gesagt, das, was neu dazu kommt, das nenne ich x. Es wird ja das neue Dreieck dann größer sein als das alte, bzw. genauer gesagt eine größere Fläche haben. Deshalb kann ich hier sagen alte Fläche +x. So, und die Idee, die man jetzt noch braucht, ist dass man hier nicht a hinschreibt, sondern das man ½×g×h hinschreibt. Weil man kann sonst hier nicht weiter rechnen. Also haben wir dann hier x+½×g×h=½×g+1×h+1. Und jetzt geht die Sache hier munter los. Was Gleichungsumformungen angeht. Jetzt befinden wir uns völlig auf der formalen Schiene. Wir interessieren uns nicht mehr dafür, ob es sich hierbei um Dreiecke handelt oder so was, sondern einfach nur dafür, dass wir hier was umformen können. Ich fange mal hier, weil ich nicht weiß, wie viel Platz ich brauche, ich fange jetzt einfach mal mit dieser Seite der Gleichung an und × das Ganze mal aus. Das heißt, wir haben hier ½×(g×h+g+h+1). Und vor dem Ganzen steht natürlich noch mal ½. Das ist =x+½×g×h. So, und ich glaube ich muss jetzt nicht erst die Klammer auflösen. Du siehst das, das hier ½×g×h steht. Da steht jetzt auch noch ½×g+½×h+½×1, aber ½×g×h steht da halt auch. Und hier steht auch ½×g×h. Das heißt, ich möchte jetzt auf beiden Seiten -½×g×h rechnen. Dann steht hier also noch ½g, ½h und ½1 alles ÷2=x. Und das ist es, was wir wissen wollten. Um diesen Term verändert sich der Flächeninhalt, wenn die Grundseite und die zugehörige Höhe um jeweils eine Längeneinheit verlängert wird. Wenn Du möchtest, kannst Du gerne von da aus weiter arbeiten. Du kannst Dich zum Beispiel fragen, was passiert, wenn man um 2 Längeneinheiten verlängert? Was passiert, wenn man um irgendeine Variable verlängert? Was passiert, wenn man verkürzt? Was passiert, wenn man nur die Grundseite verlängert? Kann man dann einen einfacheren Term finden, zum Beispiel? Und so weiter. Da darfst Du gerne weiter überlegen. Da ist nach oben alles offen. Das war es von mir aus hier an dieser Stelle. Viel Spaß damit. Tschüss.

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