Ellipse 07:59 min

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Transkript Ellipse

Hallo und herzlich willkommen zu diesem Video über Geometrie. Aus dem Kapitel Kreise beschäftigen wir uns heute mit der Ellipse. Wir lernen heute, was eine Ellipse ist. Welche Eigenschaften sie hat. Und welche Formeln ich für sie kennen sollte. Dann wollen wir mal. Ergibt der Schnitt eines Kegels mit einer Ebene eine geschlossene Kurve, so nennt man dies eine Ellipse. Ihr könnt euch das so vorstellen, wie im Bild rechts. Eine weitere Methode schnell eine Ellipse zu erhalten, ist einfach schräg auf einen Kreis zu schauen. Ich kann euch das wahrscheinlich am schnellsten zeigen, mit meiner Kaffeetasse. Schaut einfach hier. Ich halte sie schräg. Und ich erhalte eine Ellipse. Ellipsen sind auch in der Natur von großer Bedeutung. Zum Beispiel die Planeten unseres Sonnensystems kreisen auf elliptischen Bahnen um die Sonne. Welche Eigenschaften so eine Ellipse nun hat, das heißt, mit welchen Größen ich sie beschreiben kann, das sehen wir uns im nächsten Kapitel an. Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Ellipse zu definieren. 2 hatten wir gerade schon gehört. Eine Ellipse ist also ein Kegelschnitt, der eine geschlossene Kurve ergibt. Oder sie ist die Projektion eines Kreises. Also ein Schrägbild wie man das auch nennt. Eine weitere und deutlich praktischere Definition lernen wir, wenn ich euch zeige, wie man eine Ellipse sehr einfach zeichnen kann. Wir nehmen einfach eine Schnur. Befestigen sie an 2 Punkten, ich mache das mit Tesafilm und benutzen die Schnur dann wie einen Zirkel. So, sehr schön. Ich markiere noch die beiden Punkte mit A und B und dann kann ich mir folgende Definition aufschreiben. Die Schnur ist ja festgemacht. Ich habe also immer die gleiche Länge an Schnur zur Verfügung. Damit ist also für jeden Punkt auf meiner Ellipse die Entfernung von A zum Punkt B gleich. Eine Ellipse ist also auch die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 Punkten A und B gleich ist. A und B nennt man übrigens die Brennpunkte der Ellipse. Als Nächstes ziehen wir eine Gerade durch A und B. Und dann genau in der Hälfte zwischen A und B zeichnen wir eine Mittelsenkrechte. Die Linie, die durch A und B geht, nennt man die Hauptachse. Die die senkrecht dazu steht ist die sogenannte Nebenachse der Ellipse. Passend dazu nennt man die beiden Punkte, an denen die Hauptachse die Ellipse schneidet, die Hauptscheitel. Und die beiden Punkte, an denen die Nebenachse die Ellipse schneidet, die Nebenscheitel. Der Abstand zwischen dem Schnittpunkt der beiden Achsen und den Brennpunkten A und B, denn der ist ja auf beiden Seiten gleich groß, bekommt den Buchstaben e und heißt lineare Exzentrizität der Ellipse. So, wir sind fast am Ende. Jetzt geben wir nur noch der Hälfte der Hauptachse den Buchstaben a. Und der Hälfte der Nebenachse den Buchstaben b. Außerdem merken wir uns noch der Vollständigkeit halber. Der Schnittpunkt unserer beiden Achsen ist natürlich der Mittelpunkt der Ellipse. Im letzten Kapitel wollen wir uns jetzt noch ansehen, mit welchen Formeln ich diese Ellipse beschreiben kann. Wir zeichnen noch mal schnell eine kleine Ellipse und markieren a,b und die Exzentrizität e. Wir haben ja gerade gehört, für alle Punkte auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu A und B gleich. Wir können also schreiben. AP1->+P1B->=AP2->+P2B->=AP3->+P3B->. Wie groß diese Summe nun genau ist, lässt sich leicht herausfinden, wenn man einen der beiden Hauptscheitel betrachtet. Wir laufen von A ganz nach rechts bis an den Rand der Ellipse und dann zurück nach B. Dabei fällt auf, das Stück vom Rand zu B ist doppelt, aber genauso groß wie das Links fehlende Stück vom Rand zu A. Das heißt AP1->+P1B->=AP2->+P2B-> und so weiter =2×a. Die Summe der beiden Abstände ist also immer genauso lang, wie die Hauptachse unserer Ellipse. Die Summe ist also 2a. Das ist natürlich besonders spannend wenn wir das Dreieck zwischen A, P2 und dem Mittelpunkt der Ellipse betrachten. Dieses Dreieck ist rechtwinklig und da AP2-> genauso groß wie P2B-> sein muss, ist es die Hälfte von 2a. Also a. Damit gilt nach Pythagoras. a2=b2+e2. Oder umgestellt nach e, e2=a2-b2. Aus dieser Formel lassen sich einige interessante Sachen ablesen. Wir merken uns aber erst mal nur Folgendes. Je größer die lineare Exzentrizität e ist, desto größer ist der Unterschied zwischen A und B. Den Flächeninhalt der Ellipse können wir mit der schönen, einfachen Formel A=π×a×b berechnen. Eine weitere wichtige Formel zur mathematischen Beschreibung der Ellipse ist die sogenannte Ellipsengleichung. In einem kartesischen Koordinatensystem, der Mittelpunkt der Ellipse muss dabei im Ursprung, also bei 0 0 liegen, kann ich die Ellipse mit folgender Gleichung beschreiben. Die x2÷a2+y2÷b2 muss =1 sein. Zum Schluss wollen wir noch folgende Anmerkung machen. Wenn wir unser Bild betrachten und überlegen was passiert, wenn e=0 ist, dann stellen wir fest. Die beiden Brennpunkte rutschen zu einem zusammen und damit wird a=b=r. Denn damit wird unsere Ellipse zu einem Kreis. Wir können das sicher leicht nachvollziehen, wenn ihr euch überlegt, dass wir vorher die Summe der Abstände eines Punktes zu 2 verschiedenen Punkten und für e=0 die Summe des Abstandes hin und zurück zu nur einem Punkt haben. Und das ist ja genau der Radius eines Kreises. Wir wollen noch mal wiederholen was wir heute gelernt haben. Die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 Punkten A und B gleich ist, heißt Ellipse. Die beiden Punkte A und B heißen Brennpunkte der Ellipse. e, der Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt, ist die lineare Exzentrizität. Die Hauptachse, die die Länge 2a hat, und die Nebenachse mit der Länge 2b, halbieren sich gegenseitig und stehen im rechten Winkel zueinander. Die Fläche der Ellipse A=π×a×b. Außerdem hatten wir gehört, die Exzentrizität zum Quadrat ist a2-b2. Und die Ellipsengleichung für das kartesische Koordinatensystems lautet x2÷a2+y2÷b2=1. So das wars schon wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.

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4 Kommentare
  1. Default

    zu schnell

    Von Birgit 22, vor 3 Monaten
  2. Default

    hat geholfen danke

    Von Elias 2005, vor 10 Monaten
  3. Wp 000233

    Interessant, gehört das zum Lehrplan? (Für welchen Abschluss muss man das wissen?)

    Von Juliane Viola D., vor 12 Monaten
  4. Default

    Ist ser gut erklärt danke hat mir gut geholfen

    Von Physiojavea, vor etwa einem Jahr