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Transkript Ebenengleichungen in Normalenform – Erklärung

Hallo, es gibt grundsätzlich 3 Möglichkeiten Ebenen darzustellen: In Parameterform, in Koordinatenform und Thema dieses Films hier "in Normalenform". Schauen wir uns das ganze mal aus der Nähe an, hier rein formal. Das, was du hier siehst, ist eine Normalenform einer Ebene. Hier ganz allgemein gehalten, ohne konkrete Vektoren n und p. Das hier ist einfach das Symbol für eine Ebene, nämlich das E mit dem Doppelstrich. Der Normalenvektor n ist ein Vektor, der senkrecht zur Ebene ist und der Vektor p ist ein Ortsvektor, so verstehen wir den hier, ein Ortsvektor, dessen Endpunkt ein Punkt der Ebene ist oder man sagt kurz: Vektor p ist Punkt der Ebene. Dann muss man das nicht so lange erklären, dass das ein Ortsvektor ist und das der Anfangspunkt des Vektors im Koordinatenursprung liegt und der Endpunkt des Vektors ein Punkt der Ebene ist. Es gilt für diese x hier genauso, man kann jetzt hier für x irgendwelche Vektoren einsetzen, und immer, wenn ein solches x hier diese Gleichung erfüllt, dann ist der Vektor hier ein Punkt der Ebene. Auch da kann man wieder sagen, wenn der Anfangspunkt des Vektors im Koordinatenursprung liegt, liegt der Endpunkt des Vektors in der Ebene. Es ist also ein Ortsvektor, der zu einem Punkt der Ebene führt. Immer, wenn also x die Gleichung erfüllt, dann erhalten wir einen Punkt einer bestimmten Ebene. Das hier ist das Symbol für das Skalarprodukt. Und man kann hier eben allgemein sagen, dass der Normalenvektor mit der Differenz dieser beiden Vektoren skalar multipliziert wird und da soll immer 0 rauskommen. Das können wir uns konkreter anschauen hier an einer bestimmten Ebene. Ich hab hier irgendwelche Zahlen eingesetzt. Man kann ja fast jeden Vektor - fast in Anführungszeichen natürlich - als Normalenvektor verwenden. Er darf nur nicht die Länge 0 haben, denn dann zeigt er ja nirgends hin. Hier hab ich also einfach irgendwelche Zahlen eingesetzt und da auch, das soll jetzt irgendein Punkt der Ebene sein, also der Punkt mit den Koordinaten (-5|2|-2) soll ein Punkt der Ebene sein, die hier durch diese Normalenform definiert wird und immer, wenn wir einen Vektor finden mit den Koordinaten x1 bis x3, der diese Gleichung erfüllt, dann ist dieser Punkt hier mit den Koordinaten (x1|x2|x3) ein Punkt einer bestimmten Ebene, nämlich der Ebene, die durch diese Normalenform hier definiert wird. Das Skalarprodukt hier habe ich jetzt mal ausgerechnet ohne für x1, x2, x3 etwas einzusetzen. Das sieht dann so aus. Ich glaube, das muss ich nicht weiter erklären, wie das Skalarprodukt gebildet wird, das weißt du, das soll nicht Thema dieses Films sein. Das habe ich jetzt etwas mal ausmultipliziert: 3×x1=3x und so weiter, muss ich auch nicht weiter erklären. Die 25 habe ich hier dadurch zusammengefasst, indem ich gerechnet habe 3×5-4×(-2)+1×2=25 und jetzt kann man sich nämlich auch ganz praktisch vorstellen, was muss man für x1,x2,x3 einsetzen, damit diese Gleichung erfüllt ist. Wenn man diese Gleichung hier sieht, ist das vielleicht ein kleines bisschen schwieriger, wenn man diese Zahlen hier, die dann entstehen, mit 3×(-(-5)) und so weiter, wenn man die nicht zusammengefasst hat, hier zu der 25, ist es etwas schwerer zu sehen. Man kann sich jetzt für x1 und x2 irgendwelche Zahlen ausdenken, das ist nicht immer bei allen Ebenen so, aber bei der ist es so. Ich habe mir ausgesucht: für x1 möchte ich die 0 einsetzen, für x2 möchte ich auch die 0 einsetzen und dann kann man hier ablesen, was man für x3 einsetzen muss, damit die Gleichung richtig wird, nämlich -25. Habe ich hier auch noch mal in aller Deutlichkeit hingeschrieben, ich glaube, ist ganz elementare Rechnung, muss ich nicht weiter kommentieren. Damit wissen wir also, dass der Vektor (0|0|-25) ein Element der Ebene ist. Das ist hier das Elementzeichen, hier wieder das Ebenenzeichen und das ist ein Element dieser Ebene, die wir hier definiert haben. So und dann kommt noch eine anschauliche Anmerkung dazu. Wie kann man das verstehen, dass da tatsächlich eine Ebene definiert wird. Also, das hier soll ein Teil einer Ebene sein, die Ebene ist ja immer unendlich lang, aber ich glaube, man kann sich das so vorstellen. Einen Punkt der Ebene brauchen wir zunächst. Das ist hier irgendein roter Punkt der Ebene, ich zeig das mal von etwas näher. Also wir haben hier einen Punkt der Ebene, das ist das p beziehungsweise, wenn hier irgendwo der Koordinatenursprung ist, dann führt der Vektor p vom Koordinatenursprung zu diesem Punkt hin. Dann können wir an diesen Punkt den Normalenvektor dransetzen. Den könnte man auch irgendwo anders dransetzen. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der rechtwinklig zur Ebene ist. Immer, wenn man hier den Winkel bildet, da oder da oder da, dann ist das ein rechter Winkel. Das ist der Normalenvektor, also senkrecht zur Ebene. Normalerweise bewegt sich die Ebene natürlich nicht, sie ist eine feste, bestimmte Ebene. Ich zeige das hier nur so, damit du das in der Kamera ein bisschen besser sehen kannst. Wir können uns jetzt vorstellen: Was passiert mit einem weiteren Punkt der Ebene? Also das soll das x sein, ein Vektor x, der vom Ursprung zu einem Punkt der Ebene führt zum Beispiel. Wir bilden den Differenzvektor x-p, das ist der, der von p zu x führt. Der liegt also hier in der Ebene. Und wenn man jetzt den Winkel zwischen Normalenvektor und Differenzvektor bestimmt, dann sieht man, das ist ein rechter Winkel. Deshalb ist das Skalarprodukt 0 und das steht ja so auch in der Ebenengleichung in Normalenform. Wir bilden das Skalarprodukt als Normalenvektor und x-p, das Skalarprodukt ist 0 und das ist nur dann 0, wenn der Winkel zwischen den beiden Vektoren ein rechter Winkel ist. Das gilt auch für alle anderen Punkte der Ebene. Immer, wenn man hier den Winkel bildet, zwischen Normalenvektor und Differenzvektor erhalten wir einen rechten Winkel. Ich kann das jetzt beliebig weitermachen. Immer wird es ein rechter Winkel sein. Das heißt, wir sehen hier das immer, wenn ein Punkt in der Ebene liegt, bildet er mit dem Normalenvektor einen rechten Winkel. Ja, vielleicht kann man es auch so sehen. Anders ist es, wenn der Punkt nicht in der Ebene liegt. Ich halte das mal so hierhin. Dann können wir auch diesen Differenzvektor bilden, aber der würde dann also so aussehen zum Beispiel, wenn dieser Punkt hier nicht in der Ebene ist. Und dann haben wir hier keinen rechten Winkel mehr. Ja, wenn man das vielleicht so mal hält, das ist kein rechter Winkel. Ja, immer, wenn die Punkte woanders sind, nicht in der Ebene liegen, dann haben wir hier keine rechten Winkel, dann sieht der Differenzvektor, hier jetzt durch diese gelbe Bausteinreihe dargestellt, ungefähr so aus. Er kann natürlich auch so aussehen, aber das zeig ich jetzt nicht so genau, aber du siehst hier auch, dass der Winkel zwischen gelb und blau kein rechter Winkel ist. Also, immer wenn ein Punkt nicht in der Ebene liegt, dann ist der Winkel zwischen Differenzvektor und Normalenvektor kein rechter Winkel und dann ist das Skalarprodukt auch nicht 0. Ja, das soll mal reichen zur Anschauung, viel Spaß damit, tschüss.

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