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Transkript Bruchgleichungen lösen – Übung

Hallo! Im folgenden Video geht es um das Umstellen von Gleichungen. Es wir davon ausgegangen, dass schon klar ist, was Äquivalenzumformungen sind. Diese wollen wir nun anhand etwas komplizierterer Gleichungen üben. Und da geht es auch schon los. Es geht um die Gleichung fges=(f1×f2)/(f1+f2-a). Wir wollen die Gleichung nach f1 umstellen. Dazu überlegen wir uns zunächst einmal, wo f1 sich überhaupt befindet und da sehen wir ganz klar, dass wir f1 auf der rechten Seite, also innerhalb des Quotienten, finden. Und damit ist auch schon ein ganz wichtiges Wort gefallen, denn die Struktur des Terms auf der rechten Seite ist die eines Quotienten. Daher ergeben sich als Rechenanweisung nun üblicherweise die Umkehroperation, quasi die Multiplikation. Die Idee ist, das wir mittels Multiplikation von f1+f2-a auf der rechten Seite keinen Bruch mehr haben. Die Rechenoperation wird auf beiden Seiten der Gleichung angewandt, sodass wir auf der linken Seite fges×(f1+f2-a) erhalten, und auf der rechten Seite wird der Quotient multipliziert mit genau dem gleichen Ausdruck, also f1+f2-a. Den Schritt haben wir genau deshalb gemacht, dass sozusagen der Nenner der 1. Gleichung, in Anführungsstrichen, verschwindet. Mathematisch ausgedrückt bedeutet es nichts anderes, als dass sich in dem rechten Ausdruck f1+f2-a wegkürzt. Der nächste Schritt besteht nicht unbedingt in der Äquivalenzumformung, sondern in einer besseren Darstellung der linken Seite. Dazu wenden wir das Distributivgesetz an. Man kann auch sagen, dass wir auf der linken Seite sozusagen ausmultiplizieren. Wir erhalten fges×f1+fges×f2-fges×a, man beachte hier das Minus, weil innerhalb der Klammer steht ein -a, ist gleich f1×f2. Auf der rechten Seite ändert sich sozusagen nichts. Und da wir auf der rechten Seite f1 vorfinden und auf der linken Seite, überlegen wir uns den kürzesten Schritt um nun sämtliche Ausdrücke mit f1 auf eine Seite zu bringen. Ich habe mich hier entschieden, auf beiden Seiten fges×f1 zu subtrahieren. Wenn wir das wieder ausführlich hinschreiben, dann steht auf der linken Seite: fges×f1+fges×f2-fges×a-fges×f1=f1×f2-fges×f1 Das haben wir genau deshalb gemacht, damit auf der linken Seite fges×f1 verschwindet. Mathematisch ausgedrückt ergeben sich die beiden Summanden zu 0. Nun wenden wir erneut das Distributivgesetz an, aber diesmal in umgekehrter Richtung. Wir multiplizieren nicht aus, sondern wir klammern aus. Auf der linken Seite erhalten wir dann fges×(f2-a)=, und auf der rechten Seite, f1×(f2-fges). Das schöne an dieser Darstellung ist, dass wir jetzt auf der rechten Seite ein Produkt haben aus f1 und f2-fges, so dass wir, um f1 allein auf einer Seite übrig zu haben, nur noch durch f2-fges teilen müssen. Im Endeffekt entsteht dann ein etwas kompliziert ausschauender Quotient, der da lautet (fges×(f2-a))/(f2-fges)=f1. Damit ist sozusagen das Ziel eigentlich schon erreicht, wir haben die Gleichung aus der 1. Zeile nach f1 erfolgreich umgestellt. Es gilt jedoch noch zu beachten, dass wir es hier mit einem Quotienten zu tun haben. Die Lösungsvorschrift für f1 ist daher nur für f2?fges zulässig, ansonsten würden wir durch 0 teilen, was nicht definiert ist. Eine kleine Übung für euch sollte nun darin bestehen, die gleiche Gleichung nicht nach f1, sondern mal nach f2 umzustellen. Wir variieren nun die Aufgabenstellung etwas und fragen uns, wie wir die Gleichung, die wir eben schon betrachtet haben, nun nach a umstellen können. Als erstes überlegen wir uns dazu wieder, wo wir a finden. a befindet sich nur im Unterschied zur vorherigen Übung, im Nenner. Eine gute Idee besteht nun darin, den Bruch auf der rechten Seite einfach mal umzudrehen, weil sich mit Variablen im Zähler einfach leichter rechnen lässt. Das Gleiche müssen wir aber auch auf der linken Seite machen, so dass wir als Rechenanweisung einfach nur notieren Kw für Kehrwert. Auf der linken Seite erhalten wir dann 1/fges=, und auf der rechten Seite quasi den Kehrwert des obigen Bruches, also (f1+f2-a)/(f1×f2). Auf der rechten Seite haben wir es nun wieder mit der Struktur eines Quotienten zu tun, so dass wir als Rechenanweisung mit dem Nenner multiplizieren. Also, wir multiplizieren mit f1×f2. Auf der linken Seite erhalten wir dann letztlich den Quotienten (f1×f2)/fges= und auf der rechten Seite bleibt wieder nur der Zähler des vorherigen Quotienten übrig, also f1+f2-a. Der Rest ist eine einfache Übung. Wir haben es auf der rechten Seite strukturell mit einer Summe zu tun, so dass wir -a dadurch isolieren können, dass wir f1+f2 auf beiden Seiten subtrahieren. Links erhalten wir dann (f1×f2)/fges-(f1+f2). Auf der rechten Seite bleibt, deshalb war es ja so angedacht, -a übrig. Unser Ziel besteht jedoch darin, die Gleichung nach a aufzulösen. Wir multiplizieren also noch mit -1, um auf beiden Seiten der Gleichung, also insbesondere auf der rechten Seite der Gleichung, das Vorzeichen zu ändern. Wir müssen aber darauf achten, dass wir das auch auf der linken Seite tun. Hierzu reicht es nicht, nur das Vorzeichen vor dem Quotienten zu ändern, sondern wir müssen auch das Vorzeichen vor (f1+f2) ändern. Letztendlich lautet unsere Gleichung also a=-((f1×f2)/fges)+(f1+f2). Wir müssen wieder darauf achten, dass fges?0 ist. Ansonsten könnte man denken, dass diese Lösungsvorschrift für sämtliche Werte von fges gilt, was aber nicht richtig ist. Gut, das sollte es zunächst gewesen sein für das 1. Beispiel. O. k., kommen wir nun zu unserem 2. Beispiel. Unsere Ausgangsgleichung lautet 1/f=(n-1)×((1/r1)-(1/r2)). Der 1. Teil der Übung besteht darin, diese Gleichung nach r1 aufzulösen. r1 befindet sich auf dem rechten Teil der Gleichung, der von der Struktur her ein Produkt ist. Eine gute Idee besteht zunächst mal darin, n-1 sozusagen auf die linke Seite zu bringen. Dies tun wir, indem wir die entgegengesetzte Operation des Produktes anwenden, also durch n-1 teilen. Auf der linken Seite erhalten wir dann 1/f×(n-1). Man beachte, dass wir hier immer noch über Variablen f und n reden und nicht etwa über eine Funktion f(n-1) oder so etwas Ähnliches, obwohl die Symbolik da ähnlich sein könnte. Und auf der rechten Seite erhalten wir (1/r1-1/r2). Wir sind an r1 nach wie vor interessiert und isolieren diese auf der rechten Seite, indem wir nun die Summe rechts auflösen und mit 1/r2 addieren. Dann erhalten wir auf der linken Seite (1/f×(n-1))+1/r2, das war ja gerade der Plan. Auf der rechten Seite bleibt dann übrig 1/r1. Die nächste Operation haben wir schon einmal angewendet, und zwar würden wir gerne die Kehrwerte bilden, da wir dann auf der rechten Seite schon r1 übrig hätten. Bei dem Kehrwert werden ja einfach nur Zähler und Nenner miteinander vertauscht. Dies würde auf der linken Seite dann aber auch erfolgen müssen. Wir hätten dann aber einen relativ komplizierten Ausdruck, denn links stünde dann ja 1/ und dann die Summe, die wir jetzt links zu stehen haben. Wir machen daher einen Zwischenschritt und bilden auf der linken Seite zunächst einmal den Hauptnenner. Dazu multiplizieren wir die beiden Nenner miteinander und erhalten als Hauptnenner f×(n-1)×r2. Dementsprechend müssen wir die Zähler auch noch richtig erweitern. Die erweitern sich zu r2+f×(n-1). Nun können wir den Kehrwert ganz einfach anwenden und erhalten (f×(n-1)×r2)/(r2+f×(n-1))=r1. Unser Ziel ist damit erreicht, wir haben die obige Gleichung nach r1 umgestellt. Wir müssen aber noch darauf achten, dass diese Gleichung nicht für sämtliche Werte gilt, sondern nur für die Fälle, in denen gilt, dass r2+f×(n-1), also gerade der Nenner innerhalb des Bruches, ungleich 0 ist. Eure Aufgabe besteht nun wieder analog dazu, die obige Gleichung nicht nach r1, sondern einmal nach r2 umzustellen. O. k., kommen wir nun zum letzten Teil der Übung. Wir wollen die Gleichung 1/f=(n-1)×((1/r1)-(1/r2)) nach n umstellen. n befindet sich wieder auf der rechten Seite der Gleichung, die rechte Seite der Gleichung ist strukturell gesehen ein Produkt aus den beiden Faktoren n-1 und den restlichen Faktor. Nun könnte man denken, dann teilen wir halt durch ((1/r1)-(1/r2)). Dadurch würden wir uns das Leben aber ganz schön erschweren, denn auf der linken Seite befindet sich ja auch ein Quotient 1/f, sodass wir zunächst einen Zwischenschritt vollziehen. Und zwar bilden wir hier zunächst den Hauptnenner. Der Hauptnenner ist gerade r1×r2, wenn wir entsprechend richtig erweitern, ergibt sich der gesamte Bruch also zu (r2-r1)/(r1×r2). Jetzt können wir, wenn wir durch diesen Bruch jetzt teilen, und das tun wir, indem wir mit dem Reziprok multiplizieren, dann können wir 1/f und den fraglichen Bruch leicht miteinander multiplizieren, nach den Regeln für die Multiplikation mit Brüchen. Auf der linken Seite erhalten wir also 1/f×((r1×r2)/(r2-r1))=n-1. Nun brauchen wir nur noch die rechte Seite der Gleichung aufzulösen, indem wir 1 addieren, und erhalten ((r1×r2)/(f×(r2-r1))+1=n. Damit haben wir auch diese Gleichung erfolgreich umgestellt, müssen aber darauf achten, dass der Nenner ungleich 0 bleibt, dies notieren wir noch, und dann sind wir schon fertig. Das war´s von mir soweit. Ich hoffe, ihr habt gesehen, dass man auch kompliziertere Gleichungen, und damit meine ich insbesondere Gleichungen, die nicht nur aus den bekannten x- und y-Variablen bestehen, nach gewünschten Variablen umstellen kann, und wünsche euch noch viel Spaß mit weiteren Lehrvideos. Tschüss!

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7 Kommentare
  1. Felix

    @Anja Hache: Ziel beim Gleichung lösen ist es, dass man x umformt. In a) musst du mit 4 und in b) mit 10 auf beiden Seiten multiplizieren. Schaue dir mal das folgende Video an: http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/lineare-gleichungen-loesen-beispiel-7
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor 2 Monaten
  2. Default

    Hallo, wie kann ich folgende Aufgaben lösen? Gleichungen mit Brüchen
    bestimme die Lösungsmenge
    a) x/4 = 1/2
    b) -7/8=x/10

    Von Anja Hache, vor 2 Monaten
  3. Default

    ist ganz gut

    Von Luki Hell, vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    konnte es vorher nicht verstehen
    doch jetzt habe ich es verstanden DANKE!! ;)

    Von Lucaskuhn77, vor etwa 3 Jahren
  5. Kopie von p5080901

    bin in Mathe ganz gut - ich möchte nur mein Level halten.

    Von Johanna H., vor mehr als 3 Jahren
  1. Image

    ich fand das ziemlich schwer zu verstehen :/

    Von Michelle B., vor mehr als 3 Jahren
  2. Kopie von p5080901

    Dieses Video finde ich super
    Kann man öfters ansehen
    Danke

    Von Johanna H., vor fast 4 Jahren
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