Bruchgleichungen - Aufgabe 5

Hallo,
hier haben wir eine Bruchgleichung, die ich jetzt gerne lösen möchte. Sie lautet:
2/3x-4/x=5
Und bevor wir lösen, müssen wir uns überlegen, welche Zahlen kann man für x einsetzen und welche kann man nicht einsetzen. In dem Fall, also hier, steht das x allein im Nenner, der Nenner soll nicht 0 sein, das heißt also x darf auch nicht 0 sein. Hier steht 3×x, aber 3×x ist auch nur dann 0, wenn x=0 ist, deshalb müssen wir also die 0 ausschließen, die dürfen wir nicht einsetzen, denn sonst entsteht ein sinnloser Ausdruck. Also wird die hier ausgeschlossen, wir können ansonsten alle, hier zum Beispiel, rationale Zahlen einsetzen, auch reelle Zahlen, aber falls du das noch nicht gehabt hast, hier wir sind beim Q, also von Quotient, steht für rationale Zahlen und das ist der Definitionsbereich, das sind alle Zahlen, die man hier einsetzen kann.
Dann möchte ich ein paar Äquivalenzumformungen machen, damit hier die Gleichung gelöst werden kann. Und was kann man da machen mit dieser Gleichung? Es gibt verschiedene Methoden, verschiedene Ansätze, die man hier benutzen kann. Ich möchte einfach den benutzen: Wenn ich hier diese gesamte Gleichung mit 3x multipliziere, dann sind alle Brüche weg und das x ist auch nicht mehr im Nenner. Ja klar, ich habe ja auch keine Brüche mehr hinterher, dann ist das x sowieso nicht mehr im Nenner. Wenn keine Brüche da sind, dann ist auch kein Nenner mehr da. Also mache ich mir die Sache einfach, ich möchte die gesamte Gleichung mit 3x multiplizieren, und wenn ich keine Brüche mehr habe, ist die Sache bestimmt einfach hinterher. Das werden wir jetzt gleich sehen.
Also, wenn ich hier jetzt hier 2/3x mit 3x multipliziere, dann kann ich diese 3x in den Zähler schreiben, da sind sie. Und hier steht -4/x und -4/x wird mit 3x multipliziert. Die rechte Seite, die nur aus der 5 besteht, die wird auch mit 3x multipliziert, also steht hier ×3x. Und jetzt kommt eine Termumformung, deshalb steht hier das "T" und die geht so:
Hier kann ich ja mit 3x kürzen, es bleibt also die 2 übrig, hier kann ich das x kürzen, -4×3 bleibt übrig, 4×3=12, also steht hier -12 und 5×3x das sind 15x. Und jetzt möchte ich wieder eine Termumformung machen, nämlich die hier, also 2-12, das ist -10 und -10=15x und jetzt kann man noch durch 15 teilen und dann ist die Sache hier perfekt. Dann steht da: -10/15=x und das kann man natürlich noch kürzen. Das Minuszeichen wird meistens vor den Bruchstrich geschrieben, das mache ich jetzt auch, wäre aber anders auch richtig. Hier kann ich noch mit 5 kürzen, also steht hier 2/3, also -2/3 ist es, das ist gleich x. So sieht die Äquivalenzumformung aus und ob das stimmt, werden wir dann jetzt gleich sehen, jetzt kommt nämlich die Probe.
Ich möchte in diese Anfangsgleichung hier für x -2/3 einsetzen, dann steht hier 2/(3(-2/3))-4/(-2/3)=5. So, Doppelbrüche und so weiter hier, ein Produkt im Nenner, sollte Dich alles nicht aus der Ruhe bringen, ganz normale Zahlen. Wir beschränken uns jetzt einfach hier auf den Nenner und kucken mal, was da so passiert.
Wir haben also 3×(-2/3), ein Produkt ist das und das ganze Produkt ist negativ, denn Plus mal Minus ergibt Minus und dann möchte ich dieses Minuszeichen, das ja dann hier im Nenner steht, direkt vor den Bruch schreiben. Also, hier ist schon mal das Minuszeichen. Wenn wir jetzt hier rechnen 3×(2/3), dann können wir ja die 3 kürzen und die 2 bleibt im Nenner übrig, dann darf ich hier noch die 2 aus dem Zähler hinschreiben und die 2 aus dem Nenner steht da. Na, das sieht doch schon viel einfacher aus, nicht? Hier haben wir Minus geteilt durch Minus, das ist im Ganzen dann Plus. Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert, das bedeutet hier also 4×(3/2) und das soll gleich 5 sein. -2/2=-1. Hier kann ich die 4 kürzen mit der 2, es bleibt hier eine 2 übrig und dann muss ich noch rechnen: 2×3. 2×3=6 und -1+6=5 und damit können wir überzeugt sein, dass wir richtig gerechnet haben. 5 ist im Definitionsbereich, das ist also auch kein Problem, die dürfen wir einsetzen. Und damit ist die Gleichung gelöst.
Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss!