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Transkript Bruchgleichungen – Aufgabe 3

Hallo, hier habe ich eine kleine Bruchgleichung; sie lautet (1/3)-(4/x)=1. Manche sagen auch "4 xtel". Das ist die Gleichung und als Erstes müssen wir uns darüber Gedanken machen, für welche x diese Gleichung definiert ist. Man könnte auch sagen: "Welche Zahlen kann man für x einsetzen, sodass die Gleichung Sinn ergibt?". Man kann nicht durch 0 teilen, und wenn man für x 0 einsetzen würde, dann würde diese Gleichung keinen Sinn machen. Deshalb muss man das vorher ausschließen, indem man den Definitionsbereich hinschreibt. Der Definitionsbereich ist das D mit dem Doppelstrich, das heißt so. Wir haben die rationalen Zahlen, das soll jetzt hier die Menge sein, aus der wir die Zahlen die wir für x einsetzen nehmen. Man könnte auch die reelen Zahlen nehmen. Meistens wird das in der Schule so behandelt, dass die reelen Zahlen noch nicht dran waren, deshalb man hier Q. Q\, das \ heißt ohne, das { ist eine Mengenklammer, Mengenklammer zu } und in der Menge befindet sich die 0, D=Q{0}. Und die möchten wir hier ausschließen für den Definitionsbereich. Die 0 wollen wir nicht einsetzen, denn dann hätte die Gleichung keinen Sinn, da man ja nicht durch 0 teilen kann. So, was kann man jetzt als Nächstes machen? Wir wissen, wenn wir 2 Brüche addieren oder subtrahieren wollen, dann müssen wir beide Brüche gleichnamig machen. Und die Frage ist jetzt, gleichnamig machen, wie macht man das? Man müsste beide Brüche so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben. Der Nenner, den dann diese beiden Brüche haben, nennt man Hauptnenner und diesen Hauptnenner für die beiden Brüche erreichen wir, indem wir den ersten Bruch hier mit x erweitern. Also den Zähler mit x multiplizieren und den Nenner mit x multiplizieren. Das kann man mit Zahlen machen, das kann man aber auch mit hier mit diesen Variablen machen, mit diesen "Xen", wie man so sagt. Und den Bruch, den muss ich jetzt mit 3 erweitern, damit dann auch im Nenner 3x steht. Im Zähler steht dann 4×3 und im Nenner 3×x. Auf der anderen Seite brauche ich nichts zu machen, denn ich habe ja hier innerhalb der Brüche jeweils umgeformt, ich die Brüche jeweils erweitert, das hat keinen Einfluss auf die anderen Teile der Gleichung. Das was ich hier gemacht habe heißt auch, "auf den Hauptnenner erweitern" oder "den Hauptnenner bilden" und so weiter. Ich habe es jetzt hier für jeden Bruch einzeln gemacht. Ja, oder man sagt auch "man muss erst den Hauptnenner bestimmen". Der Hauptnenner ist hier 3×x, den habe ich ja jetzt auch bestimmt. Ich wollte nur, dass Du die Formulierungen so kennst und dann auch entsprechend benutzen kannst. Jetzt kann ich diese beiden Brüche also subtrahieren. Hier kommt das Äquivalenzzeichen hin. Ja, hier steht ja 1×x, das ist x - 4×3, das ist 12. Ich hoffe ich muss nicht erklären, wie man Brüche subtrahiert, ich glaube das kannst Du so. Und der Hauptnenner oder der gemeinsame Nenner bleibt jetzt einfach so stehen 3x oder 3×x, ich schreib jetzt einfach 3x, das ist so üblich, =1.   Und jetzt, Äquivalenzzeichen, wir machen ja hier Äquivalenzumformungen, möchte ich auf beiden Seiten mit 3x multiplizieren, denn wenn jetzt diese Sache hier so weit erledigt ist, muss ich das x aus dem Nenner befreien. Das ist immer das Wichtige bei Bruchgleichungen, das x muss aus dem Nenner. Ich kann jetzt also mit 3x multiplizieren, ich könnte auch einfach nur mit x multiplizieren, dann hätte ich aber immer noch einen Nenner da. Das möchte ich nicht haben und deshalb multipliziere ich mit 3x. Auf dieser Seite passiert dann Folgendes. 3x und 3x kann man ja kürzen, deshalb steht da nur noch x-12. Und auf der anderen Seite steht dann 1×3x, das ist gleich 3x. Ich hoffe das bringt Dich nicht aus der Ruhe, dass ich den Zwischenschritt, dass hier noch mal ×3x steht, nicht hingeschrieben habe. Das kennst Du aus der Bruchrechnung, dass man so erweitert, also dass man multipliziert und dann kürzen kann. Ich glaube, das muss ich noch mal extra alles aufschreiben. Dann kann ich weiter umformen, nämlich kann ich jetzt z. B. -x rechnen, dann sind alle x auf der rechten Seite, auf der linken Seite steht dann nur noch -12 und auf der rechten Seite steht 2x, denn 3x-1x=2x. Und dann geht es auf grün weiter. Ich möchte jetzt die gesamte Gleichung hier durch 2 teilen. Und das ist dann, -12÷2=-6. Ich wollte erst den Bruch hinschreiben, aber naja, 12÷2=6, das weißt Du so, also -12÷2=-6 und das ist =x. So und dann, wenn wir das jetzt rausgefunden haben, möchte ich auch eben noch die Probe machen. Das ist dann 1/3, ja in die Gleichung muss ich das einsetzen, (1/3)-(4/-6)=1 soll das sein. Ich rechne einfach mal hier weiter und mal gucken was passiert. Also, ich kann hier, minus mal minus gibt plus, erstens mal rechnen und dann habe ich hier +4/6 und 4/6 kann man kürzen, das sind 2/3 und dann siehst Du das auch gleich, (1/3)+(2/3)=(3/3)=1. Damit ist auch die Probe gelungen und diese Aufgabe ist fertig. Ja, wieder eine Bruchgleichung gelöst, herzlichen Glückwunsch, bis bald, tschüss.      

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10 Kommentare
  1. Felix

    @Daniel Gabriel: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Martin B., vor 11 Monaten
  2. Default

    Ach ich schaffe es einfach nicht

    Von Daniel Gabriel, vor 11 Monaten
  3. Default

    Super erklärt!!!! Endlich kapiere ich es

    Von Heidemueller2, vor fast 3 Jahren
  4. Flyer wabnik

    Danke, Green Spirit! Mögest du beüglich der Dankbarkeit recht haben :)
    Weil die Logerithmusgleichungen in NRW in der Schule nicht vorkommen: Auf welcher Schule bzw. Uni hast du denn Mathearbeiten über solche Gleichungen geschrieben?
    Heute lade ich noch einen Film zur Reifeprüfung hoch (in drei Teilen) und dann kommt der erste Film zu den Wurzelgleichungen. Hoffen wir mal, dass dieser dann schnell veröffentlicht wird. Und ich hoffe natürlich auch, deinen Ansprüchen gerecht werden zu können. Dir auch eine schöne Adventszeit!

    Von Martin Wabnik, vor etwa 4 Jahren
  5. Default

    Danke, Maestro Wabnik! Ich bin selbst Mathe-Nachhilfelehrer und möchte mich auch und gerade in diesen Themenbereichen von deiner didaktischen Kunst inspirieren lassen.

    Vor allem aber glaube ich, dass dir viele, viele Schüler DANKBAR für eine Reihe von Videos zu den Themen Wurzelgleichungen, Potenzgleichungen und Logarithmusgleichungen sein werden. Ich weiß noch zu gut, dass diese über Erfolg oder Misserfolg in den Mathearbeiten entscheiden!!!

    Dir schon mal 'nen guten Start in die Adventszeit und DANKE!!!

    Von Green Spirit, vor etwa 4 Jahren
  1. Flyer wabnik

    @Green Spirit Guter Tipp. Ich werde mich darum kümmern :)

    Von Martin Wabnik, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Super, Martin! Aber leider gibt es auf Oberprima kaum Videos zum Thema WURZELGLEICHUNG. Wäre es nicht eine schöne Sache, wenn du zu diesem Thema einige Videos online stellen würdest? Auch Videos zu den Potenz- und Logarithmusgleichungen wären spitze, denn genau diese Themen nehmen ja auch den Löwenanteil in den Arbeiten ein! Rationalmachen des Nenners usw. sind ja nur Arbeitsschritte auf dem Weg :-).

    Danke schon im Voraus!!!

    Von Green Spirit, vor etwa 4 Jahren
  3. Default

    Wow super hat mir richtig gut geholfen!!!

    Von Hannahleashaw, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    Ist echt Super finde ich toll das es sowas gibt.

    Von Eklot, vor mehr als 4 Jahren
  5. Cimg0073

    Sehr, sehr gute Erklärung!!

    Von Marcel S., vor fast 6 Jahren
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