Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Bernoulli-Versuche und Bernoulli-Ketten

Hallo, Bernoulli Ketten, bauen auf Bernoulli-Versuchen auf. Und ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsversuch mit genau 2 Ergebnissen. Genau 2 heißt, nicht mehr und nicht weniger als 2 Ergebnisse. Diese beiden Ergebnisse können e1 und e2 heißen. Sie können aber auch Erfolg und Misserfolg heißen, oder auch Treffer und Niete oder auch 1 und 0. 1 und 0 ist immer ganz praktisch, wenn man das verwendet, um noch mehr darauf aufzubauen. Die Wahrscheinlichkeit für e1 bezeichnet man normalerweise mit p. Die Wahrscheinlichkeit für e2 bezeichnet man entweder mit 1-p oder mit q. Einen Bernoulli-Versuch kannst du dir so verstellen, wenn du zum Beispiel einen Ball hast, an dem 2 unterschiedliche Seiten abgeschnitten sind, dann kann der entweder auf der 1 landen oder auf der 0 landen, wenn man ihn wirft. Jetzt landet er auf der 1 und jetzt wieder auf der 1 und jetzt ist er auf der 0 gelandet. Das ist also ein Bernoulli-Versuch. Andere Beispiele sind Münzwurf zum Beispiel, oder du kannst auch das Werfen eines Würfels als Bernoulli-Versuch auffassen. Und war, wenn du nur unterscheiden möchtest zwischen Zahlen ? 3 und Zahl <3. Dann hast du nur 2 verschiedene Ausgänge. Wenn man mehrere Bernoulli-Versuche hintereinander ausführt, erhält man eine Bernoulli-Kette. Und eine solche Bernoulli-Kette kann man an so einem Baumdiagramm graphisch zugänglich machen. Wir können uns das so vorstellen: dieses Ding hier mit der 1 und der 0 wir 1 Mal geworfen, dann kann also eine 1 oder eine 0 auftreten. Die Wahrscheinlichkeiten p und 1-p stehen jeweils dadran. Danach wird noch mal geworfen. Wenn beim ersten Mal eine 1 erschienen ist, kann beim 2. Mal wieder eine 1 oder eine 0 auftreten. Und hier ist dann die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Misserfolgswahrscheinlichkeit 1-p, oder die Trefferwahrscheinlichkeit p und die Nietenwahrscheinlichkeit 1-p eingezeichnet. Hier habe ich das nicht mehr gemacht. Bei der 3. Stufe, beim 3. Versuch. Wieder kann jeweils 1 und 0 auftauchen. Und hier wäre das jetzt so klein gewesen, wenn ich hier p und 1-p hingeschrieben hätte, dass du es nicht mehr hättest erkennen können. Man kann nun Wahrscheinlichkeiten zuordnen, und zwar der Situation, dass erst eine 1 fällt, dann eine 0 und beim 3. versuch wieder eine 1. Und das macht man, indem man die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Also: p×(1-p)×p. Warum man das multipliziert, dazu sage ich am Ende des Filmes noch etwas. In der Begründung. Hier soll es erst mal reichen, dass wir multiplizieren. Ich möchte das ein bisschen plastischer machen, und zwar, wenn wir uns vorstellen, dass die Wahrscheinlichkeit für 1 0,3 ist. Die Wahrscheinlichkeit für 0 soll dann entsprechend 0,7 sein. Und die Wahrscheinlichkeit für 1, das muss dann hier wieder ist, ist dann 0,3. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für erst 1, dann 0, dann wieder eine 1 = 0,3×0,7×0,3=0,063. Wir können hier einer anderen Situation und ich spreche hier bewusst von Situation und nicht von Ereignis, da brauchen wir formal noch ein bisschen mehr. Wir können also dieser Situation, dass zwei 1en oben liegen, bei dreimaligem Ausführen dieses Versuchs, auch eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Und zwar können wir das machen, wie wir das von den Baumdiagrammen gewohnt sind, mit der Pfadmultiplikationsregel und der Pfadadditionsregel. Das erst eine 1 fällt, dann eine 0, dann eine 1, das haben wir hier ausgerechnet, indem wir einfach die Pfadmultiplikationsregel angewendet haben. Wenn wir wissen wollen, wir groß ist die Chance überhaupt zwei 1en zu werfen, dann müssen wir alle Pfade, in denen zwei 1en vorkommen, ausfindig machen, und die Wahrscheinlichkeiten aller dieser Pfade addieren. In dem Fall ist das der Pfad: 1-1-0, 1-0-1, ist der zweite Pfad und der Dritte ist 0-1-1. Diese Pfade haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, weil jeweils zwei Mal mit p multipliziert wird und jeweils einmal mit 1-p. Und das habe ich hier allgemein hingeschrieben. Wir haben dann also: 3×p2×(1-p). Und in dem konkreten Fall bedeutet das, wir haben: 3×0,32×0,7. Wir können unsere Situation hier grundsätzlich in zwei Richtungen erweitern. Wir können einmal noch mehrere Stufen hier anhängen, mehrere Äste, dann wird der Baum größer, die Rechnung wird länger, grundsätzlich ändert sich an der Rechnung aber nichts. Wir können aber auch formal noch eine Schippe drauf packen und diese drei Versuche, zu einem Versuch zusammenfassen. Das braucht man, wenn man dann noch Zufallsvariablen definieren möchte und wenn man das ganze als Vorstufe der Binomialverteilung sehen möchte. Also diese drei Versuche zusammenfassen bedeutet, wir müssen uns zunächst mal überlegen, was sind dann die Ergebnisse. Was sind die neuen Ergebnisse und was ist die Grundmenge. Die Ergebnisse können das Tripel sein, das sind also Folgen von Zahlen, in der drei Folgeglieder sind. Kann man sich so vorstellen. Also hier sind jeweils 1en und 0en drin, in diesen Tripeln. Wenn man 4 Stufen hat, dann nennt sich das Quadrupel und wenn man nur zwei Stufen hat,  heißt das Paare. Hier sind es also Tripel, da kommen 0en und 1en vor und alle Tripel, die sich so ergeben - das ist unsere neue Grundmenge, das ist die Ergebnismenge, die meistens ? heißt oder auch G oder auch S, ist ja egal. Wir können diesen Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zuordnen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der zugrunde liegenden Bernoulli-Versuche multiplizieren. Ich begründe das jetzt nicht, kommt am Ende des Films noch eine Begründung dazu. Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 1 erscheint ist, p, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 0 erscheint ist (1-p) und hier wird das halt alles multipliziert. Wir können nun auch vernünftig Ereignisse bilden, das ist jetzt erst möglich, vorher war es nicht möglich. Da hab ich ja hier gesagt, das ist eine Situation, zwei 1en nicht wahr. Jetzt können wir wirkliche Ereignisse bilden und einfach mehrere Ergebnisse zu einem Ereignis zusammenfassen. Zum Beispiel könnte jetzt das Ereignis zwei 1en definiert werden, indem wir sagen, es gehört dieses Tripel dazu zu den beiden 1sen am Anfang, diesen Tripel mit den beiden 1en am Ende und dieses Tripel, indem die 0 in der Mitte ist. Diesem Ereignis kann man jetzt auch eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Und zwar, indem man die Wahrscheinlichkeiten, der Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören, einfach addiert. Wenn wir noch höher hinauswollen, müssen wir formal noch mehr investieren. Und zwar können wir eine Zufallsgröße definieren, die jedem Tripel eine Zahl zuordnet. Das Tripel soll jetzt hier einfach mal t1, t2 und t3 heißen. Und die Zahl, die zugeordnet werden soll, ist die Summe aller Einträge in diesem Tripel. Da unsere Tripel hier aus 0en und 1en bestehen, ist diese Zahl einfach die Anzahl der 1en in diesem Tripel. Wir können nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, das x, also die Zufallsgröße, den Wert 2 annimmt. Wie gewohnt bei solchen Zufallsgrößen, müssen wir dann die Wahrscheinlichkeiten aller der Ergebnisse addieren, die die zwei zugeordnet bekommen, durch diese Zufallsgröße. Das ist das, was wir uns schon überlegt haben. Das sind 3 Ergebnisse bei uns, deshalb hier die 3 Ergebnisse: 1-1-0, 1-0-1 und 0-1-1. Diese haben jeweils die Wahrscheinlichkeit p×p×1-p. Das steht hier. Natürlich auch hier in anderer Reihenfolge, aber das ist ja das Gleiche. Ja, und so kommen wir dann zu dem Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für x=2 ausrechnen kann. Wenn wir das etwas verallgemeinern, dann kommen wir zur Binomialverteilung. Aber das kommt dann im nächsten Film. Jetzt erst noch mal was zu der Begründung. So und nun noch etwas zur Begründung dieser ganzen Sache. Ich habe hier Wahrscheinlichkeiten multipliziert und da habe ich es auch gemacht.Und die Frage ist, warum ist das richtig, hierbei Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren. Ich sage erst was man begründen kann tatsächlich. Man kann 1. sagen: ok, wir nehmen die Pfadmultiplikationsregel und haben so eine intuitive Begründung im Kopf, dass wir die Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 auf immer mehr Pfade aufteilen. Das habe ich gezeigt in einem Film mit Bruchstreifen. Zeige ich jetzt hier nicht noch mal alles, oder man kann sich das auch vorstellen, mit Wasser, das durch ein Rohr fließt und immer weiter aufgeteilt wird, in immer kleinere Röhren. Und dann kommt man quasi automatisch zur Pfadmultiplikationsregel. Ist eine intuitive Begründung, also eine gefühlsmäßige Begründung, sag ich mal. Die auf der Anschauung beruht. Was man auch als Begründung hier anführen kann, warum man multipliziert, man kann es ja empirisch nachprüfen. Indem man solche Versuche, mit solchen echten Teilen hier macht und sich dann anguckt, ob die relativen Häufigkeiten in der Nähe, der errechneten Wahrscheinlichkeiten liegen. Das formuliere ich jetzt ganz wage, weil wenn man das jetzt nachweisen wollte, man sich auch genau überlegen muss, wie viele Versuche brauche ich da und wie sind die Ergebnisse jeweils zu interpretieren. Gehe ich jetzt nicht weiter drauf ein. Kann man aber eben über die Empirik, über das konkrete Ausprobieren auch nachweisen. Was man drittens noch nachweisen kann, ist, dass wenn man multipliziert, hier und hier multipliziert, dann erhält man jeweils Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen und man erhält Zahlen, deren Summe 1 ist. Ja, also wenn man jetzt all solchen Ergebnissen Zahlen zuordnet, dann ist die Summe aller zugeordneten Zahlen 1. Und das passt mit dem zusammen, was wir unter Zufallsversuchen verstehen. Ja, Zahlen zuordnen, deren Summe 1 ist. Positive Zahlen zuordnen, deren Summe 1 ist. Auch das kann man begründen. Das ist aber nicht die Begründung dafür, dass man hier unbedingt multiplizieren muss. Sondern man begründet dann, wenn man multipliziert, handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wenn man multipliziert, dann ist es auch ein Zufallsversuch. Das sind die Dinge, die man begründen kann. Was man jetzt tatsächlich nicht begründen kann, ist dass man hier tatsächlich multiplizieren muss. Letzten Endes ist das, was wir hier machen, wir gehen von einer Praxis aus, wir haben solche Dinge hier und die werfen wir und modellieren das mathematisch. Dass das mathematische Modell dem entspricht, was in de r Praxis passiert. Kann man letzten Endes nicht beweisen. Man kann das sehr logisch finden, man kann das auch empirisch nachweisen usw. Aber, dass man das unbedingt so machen muss, kann man nicht beweisen. Und ich sage das deshalb so, weil ich oft nachlesen muss, dass da etwas zurückgeführt wird auf  stochastische Unabhängigkeit zum Beispiel. Dann stellt man fest,  stochastische Unabhängigkeit ist bisher definiert worden für einen einzigen Zufallsversuch, also für zwei Ereignisse eines einzigen Zufallsversuchs. Hier haben wir aber mehrere Zufallsversuche, die hintereinander ausgeführt werden. Das stimmt dann also so nicht, das ist keine Begründung, keine Herleitung. Dann beruft man sich auf die Pfadmultiplikationsregel, kommt auch vor und die, wenn man dann nachguckt, ist vorher begründet worden an Laplace-Versuchen. Das hier ist aber kein Laplace-Versuch. Oder man kann auch feststellen, dass gesagt wird, na ja es handelt sich ja um - wenn man das jetzt als einen Zufallsversuch sieht - um  ein Produktraum und ein Produktmaß und so, na ja wieder Name schon sagt, da multipliziert man im Produktmaß. Es wird also erst definiert, dass man multipliziert und kann dann vielleicht hinterher noch sagen, dass das was wir hier machen, dann dazu passt. Aber das ist keine Begründung dafür, dass man dann hier multiplizieren muss. Ja, das noch als persönliche Anmerkung von mir dazu, Ich hoffe, es ersparrt dir einige Nerven und viel Zeit, wenn du versuchst zu verstehen, warum das gilt und immer wieder falsche Begründungen lesen musst. Viel Spaß trotzdem, tschüs.    

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Felix

    @Leoni 1: Die Gegenwahrscheinlichkeit zu p ist gerade 1-p, denn p und 1-p ergeben in der Summe gerade 1. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor 4 Monaten
  2. Default

    Gutes Video :) aber wieso p-1 ?

    Von Leoni 1, vor 4 Monaten
  3. Default

    Das video bleibt ab 5:33 stehen

    Von Louis Link, vor mehr als einem Jahr