Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette

Hallo. Ich erzähle euch jetzt mal, was ein Bernoulli-Experiment ist, und was eine Bernoulli-Kette ist. Das ist Herr Jakob Bernoulli, der lebte im 17. Jahrhundert und hat sich ganz viele Gedanken über Wahrscheinlichkeitsrechnung gemacht. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das nur 2 mögliche Ausgänge hat: Erfolg und Misserfolg. Das Würfeln eines Würfels kann man zum Beispiel zu einem Bernoulli-Experiment machen, wenn man sagt, dass eine gewürfelte 6 ein Erfolg sein soll und alles andere Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, ist 1/6. Das wäre dann die Erfolgswahrscheinlichkeit p unseres Bernoulli-Experiments. Ein anderes Beispiel ist der Wurf mit einer Münze. Kopf soll hierbei als Erfolg gedeutet werden und Zahl als Misserfolg. Hier sind Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeit sogar gleich groß. Eigentlich könnte man dieses Experiment doch auch öfters nacheinander durchführen. Jedes mal könnte man sich notieren, ob man Erfolg hatte, oder Misserfolg. Jedenfalls ist die Erfolgswahrscheinlichkeit immer gleich, egal was vorher passiert ist. Und das heißt dann Bernoulli-Kette. Eine Bernoulli-Kette ist also ein mehrmals hintereinander ausgeführtes Bernoulli-Experiment. Die Anzahl der Versuche heißt Länge der Bernoulli-Kette. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p muss in jedem Schritt die gleiche sein. Das nennt man dann Bernoulli-Kette der Länge n zum Parameter p. Wenn man 3 mal würfelt und die 6 als Erfolg bezeichnet, ist das also eine Bernoulli-Kette der Länge 3 zum Parameter 1/6. Hierzu zeichnen wir mal das Baumdiagramm und bestimmen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir in den 3 Versuchen genau 2 Sechsen bekommen. Auf jedem der zu berechnenden Pfade steht 2 mal 1/6, also die Erfolgswahrscheinlichkeit, und 1 mal 5/6, die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Wir haben also 3×1/6×1/6×5/6 und das ergibt dann 15/216. Die Misserfolgswahrscheinlichkeit schreibt man meistens als 1-p. Die allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit von k Erfolgen in einer Bernoulli-Kette der Länge n zum Parameter p sieht so aus: (Binomialkoeffizient n über k) × p^k×(1-p)^(n-k). Man sieht hier, dass k mal die Erfolgswahrscheinlichkeit multipliziert wird und die restlichen Male, also n-k mal die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Nehmen wir unser Beispiel mit dem Würfel und der 6. Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Erfolge ist: 3 über 2 (wir haben 3 Versuche und wollen 2 Erfolge) × (1/6)^2×(5/6)^1. Heraus kommt wieder 15/216. Bei einem 50-fachen Münzwurf, wo Kopf Erfolg heißen soll, wollen wir wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass genau 20 mal Kopf kommt. 50 Versuche, 20 Erfolge, Wahrscheinlichkeit ½. Eingesetzt in die Formel ergibt sich dann ungefähr 0,04. Zum Schluss betrachten wir noch diese Urne. Es soll 4 mal gezogen werden, ohne Zurücklegen. Erfolg sei rot. Ist das dann eine Bernoulli-Kette? Nein, denn die Erfolgswahrscheinlichkeit ändert sich. Ist sie im ersten Zug noch 3/8, so ist sie im Zweiten schon 3/7 ode 2/7, je nachdem, was im Ersten gezogen wurde. Aber beide dieser Zahlen sind nicht gleich 3/8. Ich hoffe, dieser Clip war eine Bernoulli-Kette der Länge 1 mit Lernerfolgswahrscheinlichkeit 1.