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Transkript Bedingte Wahrscheinlichkeit – Erklärung (2)

Hallo Um die bedingte Wahrscheinlichkeit erklären zu können, habe ich hier mal einen etwas überschaubaren Zufallsversuch vorbereitet. Hier sind mehrere Zettel in einem Behälter. Man zieht einmal zufällig einen Zettel. Und das ist der Zufallsversuch. Einmaliges Ziehen eines Zettels aus einem Behälter. Um das mal genauer darstellen zu können, möchte ich diese Zettel mal hier anordnen. Wir haben Zettel dabei, die sind nicht rot und die sind rund. Hier sind schon mal drei, da sind noch mehr drinn. Wir haben Zettel, die sind rot und nicht rund, 4 Stück. Wir haben Zettel, die sind nicht rot und nicht rund, 3. Und wir haben Zettel, die sind rot und rund, das sind 4. Und hier sind noch 3 Zettel, die nicht rot und rund sind. Wir können diesen Zufallsversuch mit einem Baumdiagramm darstellen. Und zwar können wir uns das folgendermaßen vorstellen: Wir haben das Ereignis A, das bedeutet rot und wir haben das Ereignis nicht A, das bedeutet nicht rot. Und zwar können wir uns das folgendermaßen vorstellen: Da muss ich noch zu erklären, dass Du wahrscheinlich, vermutlich, Baumdiagramme bisher so kennengelernt hast, dass sie in jeder Stufe einen Zufallsversuch darstellen. Also wenn man ein mehrstufiges Baumdiagramm hat, hat man auch mehrere Zufallsversuche, und macht mehrmals etwas. Bei uns, hier in diesem Fall ist das anders. Der Zufallsversuch ist das einmalige ziehen eines Zettels, es wird nicht 2 mal gezogen. Trotzdem können wir diesen Zufallsversuch mit einem solchen 2 stufigen Baumdiagramm darstellen, denn wir können ja einen Zettel ziehen, der rot ist, oder nicht rot, und dieser Zettel kann außerdem rund, oder nicht rund sein. Das wollte ich umgekehrt haben. Anders wäre es natürlich auch kein Problem gewesen. Hier muss jetzt eine Wahrscheinlichkeit hin. Und zwar die Wahrscheinlichkeit, P von A. Wie groß ist die, das können wir gleich hinschreiben. Trotzdem können wir diesen Zufallsversuch mit einem solchen 2 stufigen Baumdiagramm darstellen, denn wir können ja einen Zettel ziehen, der rot ist, oder nicht rot, und dieser Zettel kann außerdem rund, oder nicht rund sein. Und da ist sie dann auch 9/18. Mal rein von der Bedeutung her, mal rein gefühlsmäßig, was muss da für eine Wahrscheinlichkeit hin? Das muss nicht so sein. So, was muss denn hier hin für eine Wahrscheinlichkeit? Mal rein von der Bedeutung her, mal rein gefühlsmäßig, was muss da für eine Wahrscheinlichkeit hin? Da muss die Wahrscheinlichkeit hin, dass ein roter Zettel rund ist. Und das ist schon die bedingte Wahrscheinlichkeit. Ja so sagt man das. Das ist die Wahrscheinlichkeit, von B, unter der Bedingung A und so schreibt man das auf. Also das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis mit der Eigenschaft A, auch die Eigenschaft B hat. Und dazu möchte ich mal ein paar Worte zeigen. So definiert man das nämlich, die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A oder auch die Wahrscheinlichkeit B unter der Bedingung A, das kann man auch so aufschreiben. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis, welches die Eigenschaft A hat, also hier liegt, auch die Eigenschaft B hat. Das kann man auch noch anders ausdrücken, und zwar ist die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A der Wahrscheinlichkeitsanteil von B in A. Es gibt noch eine Formulierung dazu. Ja die sind alle gleichwertig, das ist alles kein Problem. Du kannst Dir da eine aussuchen, was für Dich am Besten passt. Hier steht auch gleich, wie man es am besten ausrechnet. Nämlich P von A, geschnitten B, geteilt durch P von A. Und das ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten A geschnitten B zu A. Da komme ich gleich noch zu, warum man das so ausrechnet. Das können wir uns gleich am Baumdiagramm angucken. Eine Anmerkung noch zu der Formulierung, die Wahrscheinlichkeit von B under der Bedingung A, da assoziiert man immer so ein bisschen, dass da eine Folge von Ereignissen existiert, dass da zuerst etwas eintritt, zuerst tritt A ein, und dann tritt danach B ein, also 2 mal passiert irgendetwas, also man zieht zum Beispiel 2 mal etwas, macht 2 Zufallsversuche. Das muss nicht der Fall sein, man kann natürlich auch 2-stufige Zufallsversuche definieren, und da auch eine bedingte Wahrscheinlichkeit definieren. Das muss aber nicht so sein. Deshalb habe ich hier auch extra einen Zufallsversuch gewählt, in dem nur 1 mal etwas passiert. So, das bin ich jetzt losgeworden. Wir können uns hier noch mal ein paar Wahrscheinlichkeiten überlegen. Also die Wahrscheinlichkeit, dass ein roter Zettel rund ist, ist bei uns 4/9, denn wir haben 9 rote Zettel, und 4 davon sind rund. Wir können uns auch noch überlegen, was dieser Pfad hier beschreibt, welches Ereignis durch diesen Pfad beschreiben wird, und das ist das Ereignis A geschnitten B. Das hat auch eine Wahrscheinlichkeit, die wir hier dann an dem Model tatsächlich direkt ablesen können. A geschnitten B bedeutet also, rot und rund. Die Wahrscheinlichkeit für rot und rund ist 4/18, weil wir ja 4 rote und runde haben, unter den 18 Zetteln. Jetzt sieht man, wenn man 9/18 mal 4/9 rechnet, dann kommt 4/18 heraus, und dann sagen viele Leute gleich, ja das ist ja die Pfadmultiplikationsregel. Auch dazu muss ich noch einen kleinen Kommentar abgeben, denn wenn Du Baumdiagramme bisher nur in dem Zusammenhang besprochen hast, dass da 2 Zufallsversuche stattfinden, auf 2 Stufen, nicht wahr, und dafür die Pfadmultiplikationsregel bewiesen hast, da kann man sie hier nicht unbedingt übertragen. Hier haben wir ja keine 2 Zufallsversuche, ich sage es noch mal. Wir haben nur einen Einzigen und deshalb kann man nicht einfach sagen, das ist die Pfadmultiplikationsregel, die gilt ja dann hier. Sie gilt aber, und zwar kann man sich das so überlegen, dass eine Wahrscheinlichkeit von 1, also die Gesamtwahrscheinlichkeit des gesamten Versuchs, hier einmal aufgeteilt wird, zu 9/18 auf A und zu 9/18 auf nicht A. Und hier wird die Wahrscheinlichkeit, die bei A angekommen ist, noch mal aufgeteilt, und zwar zu 4/9 auf B und dann entsprechend zu 5/9 auf nicht B. Sie gilt aber, und zwar kann man sich das so überlegen, dass eine Wahrscheinlichkeit von 1, also die Gesamtwahrscheinlichkeit des gesamten Versuchs, hier einmal aufgeteilt wird, zu 9/18 auf A und zu 9/18 auf nicht A. Ja und das kennst Du aus der Bruchrechnung. 4/9 von 9/18 rechnet man so, 9/18 mal 4/9 und dann haben wir wieder unsere gute alte Pfadmultiplikationsregel. Und wenn man sich jetzt noch vorstellt, dass man sich um diese Wahrscheinlichkeit für A geschnitten B zu bekommen, rechnen muss, P von A, mal P von B unter der Bedingung A, dann kann man ja auch diese Gleichung dann, also P von A mal P von B unter der Bedingung A, gleich P von A geschnitten B, diese Gleichung kann man dann durch P von A teilen. Dann hat man hier P von B, unter der Bedingung A ist gleich P von A geschnitten B, geteilt durch P von A, und das ist wieder diese Verhältnisdefinition, das ist der Term, mit dem man bedingte Wahrscheinlichkeiten ausrechnet. Das hatten wir hier schon mal. Und man sieht hier, dass also alles zusammenpasst, unsere Pfadmultiplikationsregel, unsere bedingte Wahrscheinlichkeit und alles mögliche, also alles wunderbar. Ja und dann sind wir hier mit der Definition fertig. Ich möchte für die Leute, die das ganz genau wissen, wollen noch eine kleine Anmerkung los werden. Die anderen, die nur wissen wollen, was man in die Formel einsetzt, die brauchen jetzt nicht weiter zu gucken. Wir haben hier eine Wahrscheinlichkeit, und wir haben anfangs der Wahrscheinlichkeitsrechnung definiert, was eine Wahrscheinlichkeit ist. Wir haben einen Zufallsversuch, der hat Ergebnisse, den Ergebnissen werden Zahlen derart zugeordnet, dass die Summe aller Zahlen gleich 1 ist. Und es sollen nicht negative Zahlen sein. Das bedeutet also, wenn wir eine Wahrscheinlichkeit haben, müssen wir auch einen Zufallsversuch haben. Wir haben hier ja auch einen ganzen Zufallsversuch, aber nicht hier auf dieser Stufe noch mal einen getrennten Zufallsversuch. Was machen wir jetzt damit? Entweder wir lassen zu, dass wir in einem Zufallsversuch noch einen anderen Zufallsversuch haben, das würde bedeuten, dass wir pro Zufallsversuch meistens dann gleich viele weitere Zufallsversuche bekommen, oder wir müssten die Wahrscheinlichkeit komplett anders definieren. Ja, und wenn man der Sache mal genau nachgeht, stellt man fest, dass diese bedingte Wahrscheinlichkeit eigentlich die grundlegendere und allgemeinere Wahrscheinlichkeit ist. Und man die eigentlich aus logischen Gründen dann an den Anfang der Wahrscheinlichkeitsrechnung stellen sollte, oder könnte zumindest. Und als Spezialfall ergibt sich dann die Wahrscheinlichkeit, die wir so gewohnt sind. Und das hat man auch tatsächlich so gemacht. Und ich möchte das deshalb noch mal so loswerden, hier an der Stelle, weil das auch ein Teil der Faszination der Mathematik ist, dass man hier einen Begriff hat, man denkt über diesen Begriff genauer nach, und stellt fest, hm, da klappt doch irgendetwas nicht, da ist doch was nicht ganz so, wie ich mir das vorstelle, und wenn man dem weiter nachgeht, geht plötzlich eine Tür auf, in ein bis dahin unbetretenes Land, ja in ein Wunderland quasi der Mathematik. Und ich möchte das deshalb noch mal so loswerden, hier an der Stelle, weil das auch ein Teil der Faszination der Mathematik ist, dass man hier einen Begriff hat, man denkt über diesen Begriff genauer nach, und stellt fest, hm, da klappt doch irgendetwas nicht, da ist doch was nicht ganz so, wie ich mir das vorstelle, und wenn man dem weiter nachgeht, geht plötzlich eine Tür auf, in ein bis dahin unbetretenes Land, ja in ein Wunderland quasi der Mathematik. Und das kann an allen möglichen Stellen passieren, eben auch hier in der Schulmathematik, bei einem einfachen Begriff, der bedingten Wahrscheinlichkeit. Auch da kann wieder hinter diesem Begriff wieder eine Tür aufgehen, das ist faszinierend an der Mathematik. Für manche ist es faszinierend, das ist der Grund, warum manche dann gar nicht genug davon kriegen können und zum Beispiel Mathematiker werden. Wollte ich nur mal gesagt haben, weil Schüler oft den Eindruck haben, das ist alles schon vorgefertigt und da braucht man auch gar nicht drüber nachdenken und so. Gerade die Schulmathematik ist ja alles durchgerechnet, da muss man nicht mehr überlegen. Doch auch da kann man überlegen und auch da kann man in ein bisher unbekanntes Reich vorstoßen. So, nun habe ich genug geschwärmt, der Film ist zu Ende, viel Spaß damit, tschüs

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2 Kommentare
  1. Default

    cool danke

    Von Von Boenninghausen, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Danke!!!! Großartiges Video

    Von Kiné, vor fast 3 Jahren