Ziehen aus einer Urne – Geordnete Stichproben

Name: Ziehen aus einer Urne – Geordnete Stichproben
Uploaded: 2021-11-15T09:16:48.000+01:00
Description: Ziehen aus einer Urne – Geordnete Stichproben inkl. Übungen

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Ziehen aus einer Urne – Geordnete Stichproben

Herzlich willkommen. In diesem Video geht es um ein Thema aus der Kombinatorik, das Ziehen einer geordneten Stichprobe aus einer Urne. Die Urne, aus der Kugeln gezogen werden, ist ein Modell in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, das sehr gerne benutzt wird, um grundlegende Gesetzmäßigkeiten zu studieren, die dann auf andere Situationen übertragen werden können. Die Kombinatorik beschäftigt sich letztendlich mit dem systematischen Abzählen von Ergebnismengen. Im ersten Abschnitt werden wir die vier verschiedenen Abzählverfahren der Kombinatorik kurz kennenlernen. Dann werden wir die sogenannten geordneten Stichproben beim Ziehen aus einer Urne genauer betrachten und zwei Formeln entwickeln, mit denen sich in diesem Fall das Ergebnis des Abzählens berechnen lässt. Zunächst also, was sind kombinatorische Abzählverfahren und welche gibt es? Bei den Laplace-Experimenten und nur um solche geht es hier, sind alle möglichen Ergebnisse gleichberechtigt. Und die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis E ist der Quotient aus der Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Bei kleinen Ergebnismengen kann man die Ergebnisse noch gut in einem Baumdiagramm darstellen, zum Beispiel beim Werfen einer Münze. Doch bei Zufallsexperimenten wie dem Lotto ist klar, dass das nicht mehr geht. Hier kommt die Kombinatorik ins Spiel. Sie liefert für vier verschiedene Situationen bei der Durchführung von Laplace-Experimenten Formeln für das Abzählen von Ergebnissen, damit für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Um solche Anzahlen zu bestimmen, werden in der Kombinatorik oft modellhaft Urnen betrachtet, aus denen nummerierte Kugeln gezogen werden. Das Würfeln mit einem Würfel entspricht zum Beispiel einer Urne, in der sich sechs Kugeln mit den Ziffern eins bis sechs befinden, von denen eine gezogen wird. Beim Werfen einer Münze brauchen wir nur zwei Kugeln, K und Z. Welche Zieh-Vorgänge sind nun möglich? Wir nehmen an, in der Urne sind n Kugeln, von denen k gezogen werden. Als erstes muss festgelegt werden, ob die gezogene Kugel anschließend wieder zurückgelegt werden soll oder nicht. Im ersten Fall sind Wiederholungen möglich, im zweiten nicht. Dann muss festgelegt werden, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln eine Rolle spielt oder nicht. Im ersten Fall spricht man von einer geordneten, im zweiten Fall von einer ungeordneten Stichprobe. In diesem Video beschäftigen wir uns mit den geordneten Stichproben, also mit dieser Tabellenzeile. Unser Ziel, zwei Formeln für die noch leeren Zellen. Wie viele Anordnungen sind möglich, wenn aus n Kugeln k gezogen werden? Geordnete Stichprobe bedeutet also, die Reihenfolge spielt eine Rolle. Bevor wir loslegen mit dem Ziehen, müssen wir wissen, wie sich bei einem Zufallsversuch, der mehrmals durchgeführt wird, die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse berechnet. Das sagt uns die Produktregel. Ein Versuch, der k-mal durchgeführt wird und in der ersten Stufe a₁, in der zweiten Stufe a₂, in der k-ten Stufe a_k verschiedene Ergebnisse hat, hat a₁ * a₂ * … * a_k mögliche Ergebnisse. Okay, nun zum Ziehen. Wir müssen unterscheiden, ob die Ziehung mit oder ohne Zurücklegen stattfinden soll. Wenn die Kugel zurückgelegt wird, dann sind bei jedem Durchgang alle n Kugeln in der Urne. Ist n beispielsweise vier, sind immer vier Kugeln in der Urne. „Geordnet“ bedeutet, wird etwa als erstes die Eins gezogen, dann die Drei, ist das zu unterscheiden von dem Fall, dass zuerst die Drei gezogen wird und dann die Eins. Das bedeutet, bei jedem Ziehen kann aus n Kugeln gezogen werden und wird das k-mal wiederholt, gibt es insgesamt n^k verschiedene Möglichkeiten, k Kugeln aus n Kugeln zu ziehen. Mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Wird nicht zurückgelegt, dann verringert sich bei jedem Ziehen die Anzahl der Kugeln um eins. In unserem Beispiel kann dann beim dritten Ziehen nur noch aus zwei und vier gewählt werden. Bei insgesamt k Ziehungen gibt es also nur noch n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * … * (n-(k-1)) Möglichkeiten. Nach k-1 Ziehungen, sind k-1 Kugeln weg. Deshalb ist der letzte Faktor n - (k-1) = n-k+1. Das können wir als Quotient zweier Fakultäten schreiben, nämlich n! / (n-k)!. Werden alle Kugeln gezogen, gilt also k = n, dann haben wir einen Spezialfall, n! Möglichkeiten. Zwei Beispiele. Bei einer Umfrage muss ein Multiple-Choice-Fragebogen ausgefüllt werden. Es handelt sich um insgesamt sechs Fragen, zu jeder Frage gibt es drei Antwortmöglichkeiten. Im Urnenmodell haben wir es also mit drei Kugeln zu tun, gezogen wird sechsmal mit Zurücklegen. Also gibt es für die geordnete Stichprobe insgesamt 3⁶ = 729 Möglichkeiten, den Test zu beantworten. Die Wahrscheinlichkeit, den Test fehlerfrei durch pures Raten zu beantworten, beträgt somit p = 1/729 ≈ 0,14%. Ein Pianist kann 20 Klavierstücke auswendig spielen. Zu einem feierlichen Anlass soll er fünf verschiedene Stücke aus seinem Repertoire spielen. Wie viele Möglichkeiten für seine Programmgestaltung hat er? 20 Stücke entsprechen 20 Kugeln in der Urne. Fünf Kugeln werden gezogen und zwar ohne Zurücklegen, weil sicher kein Stück doppelt gespielt werden soll. Also hat der Pianist 20 * 19 * 18 * 17 * 16 = 1860480 Möglichkeiten, ein Programm zusammenzustellen. Das nennt man Qual der Wahl. Fassen wir zusammen: Die erste Zeile unserer Tabelle können wir nun ausfüllen. Für eine geordnete Stichprobe von k aus n Kugeln gibt es n^k Möglichkeiten mit Zurücklegen und n!/(n-k)! Möglichkeiten ohne Zurücklegen. Tschüss!

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Die Autor*innen

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Ziehen aus einer Urne – Geordnete Stichproben

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Ziehen aus einer Urne – Geordnete Stichproben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ziehen aus einer Urne – Geordnete Stichproben kannst du es wiederholen und üben.

Vervollständige die Angaben zu geordneten Stichproben.
Tipps

Zieht man Kugeln mit Zurücklegen, so sind bei jedem Durchgang alle $n$ Kugeln in der Urne.

Zieht man Kugeln ohne Zurücklegen, so verringert sich die Anzahl der Kugeln in der Urne bei jedem Durchgang um $1$.

Lösung
Die Kombinatorik liefert für vier verschiedene Situationen bei der Durchführung von Laplace-Experimenten Formeln für das systematische Abzählen von Ergebnissen und damit für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.
Bei geordneten Stichproben unterscheidet man zwei Fälle von Ziehungen:
- Mit Zurücklegen: Die Kugel wird nach jedem Durchgang zurückgelegt, sodass immer $n$ Kugeln in der Urne sind und Wiederholungen möglich sind. Das bedeutet: Bei jedem Ziehen kann aus $n$ Kugeln gezogen werden, und wird das $k$-mal wiederholt, gibt es insgesamt $n^k$ verschiedene Möglichkeiten.
- Ohne Zurücklegen: Die Anzahl der Kugeln verringert sich bei jedem Durchgang um $1$. Bei insgesamt $k$ Ziehungen gibt es also nur noch $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot \dots \cdot (n-(k-1))=\frac{n!}{(n-k)!}$ verschiedene Möglichkeiten.
Gib an, welche Angaben zu welchem Beispiel passen.

Tipps

$n$ beschreibt die Gesamtanzahl an Kugeln in einer Urne und $k$ die Anzahl an Ziehungen bzw. Durchführungen.

Kann man bei einem Multiple-Choice-Fragebogen die gegebenen Antwortmöglichkeiten wiederholt ankreuzen?

Beim Ziehen ohne Zurücklegen kann man nicht häufiger ziehen, als es Kugeln in der Urne gibt.

Lösung

Beim Multiple-Choice-Fragebogen gibt es pro Frage drei Antwortmöglichkeiten. In der Urne befinden sich also $n=3$ Kugeln. Insgesamt hat der Test sechs Fragen, somit ziehen wir $k=6$ Mal. Da die Antwortmöglichkeiten wiederholt auftreten können, handelt es sich hierbei um einen Ziehvorgang mit Zurücklegen. Es gibt also $n^k=3^6=729$ verschiedene Möglichkeiten, den Test zu beantworten. Die Wahrscheinlichkeit, den Test durch Raten richtig zu beantworten, beträgt somit $p=\frac{1}{729} \approx 0,14~\%$.
Der Pianist kann $20$ Klavierstücke auswendig spielen, das entspricht $n=20$ Kugeln in der Urne. Davon soll er fünf verschiedene Stücke spielen, also $k=5$ Kugeln ziehen. Da kein Stück doppelt gespielt werden soll, handelt es sich hierbei um Ziehen ohne Zurücklegen. Der Pianist hat also $\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{20!}{15!}=1~860~480$ Möglichkeiten, ein Programm zusammenzustellen.
Gib die Anzahl der Möglichkeiten an, die abgebildeten Kugeln zu ordnen.

Tipps

Wie groß sind $n$ und $k$?

Ziehen wir mit oder ohne Zurücklegen?

Lösung

Es handelt sich hierbei um eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen, da beispielsweise die rote Kugel nicht an zwei Positionen gleichzeitig sein kann. In solchen Situationen berechnen wir die Anzahl der Möglichkeiten durch
$\frac{n!}{(n-k)!}$.
Da wir $n=5$ Kugeln haben und alle Kugeln anordnen, ist $k=5$. Somit ist die Rechnung lediglich:
$n!=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 = 120$.
Es gibt also $120$ Möglichkeiten, diese fünf verschiedenen Kugeln anzuordnen.
Berechne die Anzahl an Möglichkeiten.

Tipps

Wie berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen einer Kugel mit bzw. ohne Zurücklegen bei einer geordneten Stichprobe?

Wie groß sind $n$ und $k$ jeweils?

Lösung

Es handelt sich um geordnete Stichproben und um jeweils zwei Aufgaben für den Fall „mit Zurücklegen“, sowie für den Fall „ohne Zurücklegen“. Die Kugeln sind von $1$ bis $9$ durchnummeriert, also ist $n=9$.
Wenn man vierstellige ($k=4$) bzw. achtstellige ($k=8$) Zahlen bildet und die gezogene Kugel wieder zurücklegt, so berechnet man die Anzahl der Zahlenkombinationen durch $n^k$.
Wenn man vierstellige ($k=4$) bzw. achtstellige ($k=8$) Zahlen bildet und die gezogene Kugel nicht zurücklegt, so berechnet man die Anzahl der Zahlenkombinationen durch $\frac{n!}{(n-k)!}$.
Vervollständige den gegebenen Text sinnvoll.

Tipps

Wie nennt man Experimente wie den Wurf einer Münze, bei denen die Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben?

Welche Art von Diagrammen wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr häufig verwendet?

Lösung

Experimente wie den Wurf einer Münze, bei dem die Ereignisse „Kopf“ und „Zahl“ die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, nennt man Laplace-Experimente. Die Wahrscheinlichkeit berechnet man dann wie folgt:
$P(E)=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$.
In Bezug auf den Wurf einer Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit
$P($„Kopf“$)=\frac{1}{2}=P($„Zahl“$)$.
Baumdiagramme werden häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet, um Experimente mit einer überschaubaren Anzahl an Ziehungen und Ergebnissen darzustellen.
Mit Hilfe der vier Abzählverfahren erhalten wir die Anzahl der möglichen Ergebnisse und können diese wiederum verwenden, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten.

Tipps

Handelt es sich hierbei um eine Ziehung mit oder ohne Zurücklegen?

Die Wahrscheinlichkeit berechnet man bei Laplace-Experimenten, indem man die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilt.

Bestimme bei Julius' und Robertos Schlössern jeweils $n$ und $k$.

Lösung

Julius' Schloss hat $n=9$ verschiedene Zahlen und $k=4$ Stellen zum Einstellen. Robertos Schloss hat hingegen $n=6$ verschiedene Zahlen und $k=5$ Stellen zum Einstellen.
Zahlenschlösser sind bezogen aufs Urnenmodell geordnete Stichproben mit Zurücklegen, da Zahlen auch wiederholt auftreten können. Also verwenden wir zur Berechnung der Anzahl möglicher Schlosskombinationen jeweils $n^k$.
Für Julius' Schloss gibt es $9^4=6561$ mögliche Kombinationen. Für Robertos Schloss gibt es $6^5=7776$ mögliche Kombinationen.
Die Wahrscheinlichkeit bei solchen Laplace-Experimenten berechnen wir, indem wir die Anzahl der günstigen Ergebnisse, welche bei beiden Schlössern $1$ beträgt, durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilen. Also ist die Wahrscheinlichkeit, Julius Schloss zu knacken, mit $\frac{1}{6561}$ größer als die Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{7776}$, Robertos Schloss zu knacken. Roberto hatte recht!