Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall

Name: Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall
Uploaded: 2023-07-25T12:21:48.000+02:00
Description: Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall inkl. Übungen

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Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall

Hallo. Wir wollen uns heute mit Zerfallsprozessen befassen. Nach dem Nuklearunfall von Fukushima konnten wir einiges von Brennelementen und Abklingbecken lesen. Dabei geht es darum, dass sich im Laufe der Zeit die Gefährlichkeit von radioaktiven Substanzen vermindert. In diesem Zusammenhang wird auch von unbegrenztem Zerfall gesprochen. Hingegen ist ein Abkühlungsprozess einer heißen Tasse Tee ein nach unten begrenzter Prozess. Der Tee kann nicht unter die Raumtemperatur abkühlen. Diesen Prozessen liegen Beschreibungsmodelle zu Grunde und über die sollst Du jetzt informiert werden. Du solltest dazu bereits über allgemeine Kenntnisse von Zerfallsprozessen verfügen und Dich mit Eigenschaften der Exponentialfunktion auskennen. Wir lernen heute Modelle für begrenzten und unbegrenzten Zerfall sowie Merkmale für ihre Unterscheidung kennen. Hier nun eine knappe Wiederholung zu den Exponentialfunktionen. Eine Funktion der allgemeinen Form f(x) = c * a^x heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Dabei sind c und a aus dem Bereich der reellen Zahlen und insbesondere wird a > 0 angenommen. Eine Sonderstellung unter den Exponentialfunktionen nimmt die Natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e, der Eulerschen Zahl, an. Der Wert von e kann in guter Näherung mit 2,72 angenommen werden. In der Abbildung sehen wir die Natürliche Exponentialfunktion mit dem Exponenten -c. Sie stellt einen streng monoton fallenden Graphen dar. Nun zu einem Beispiel für einen unbegrenzten Zerfall. Es befasst sich mit der Radioaktivität. Wir legen den hier behandelten Prozessen die Natürliche Exponentialfunktion zu Grunde. Im Beispiel soll N(t) die Bestandsfunktion der radioaktiven Atomkernen sein. Unser mathematisches Modell beruht auf folgenden Annahmen: Der Zerfall ΔN sei proportional zum Bestand, ΔN~N, und ebenfalls zum betrachteten Zeitintervall Δt, ΔN~Δt. Beide Proportionalitäten können zusammengefasst werden. ΔN~N * Δt. Die Division von ΔN durch Δt führt auf ΔN/Δt und das ist proportional zu N. Nach Einführung eines Proportionalitätsfaktors K > 0 folgt als Zerfallsgleichung N'(t) = -K * N(t). In Worten: Die Zerfallsgeschwindigkeit N' ist proportional zu Bestandsabnahme. Als Lösungsansatz für diese Gleichung folgt: N(t) = N₀ * e^{(-K * t)}. Das dies tatsächlich eine Lösung ist, kann durch Differentiation leicht überprüft werden. Nun zu unserem konkreten Beispiel: Es liege das radioaktive Isotop Cäsium 137 in einer Menge von 200µg als Anfangsbestand vor. K wird als 0,023 angenommen. Dies folgt übrigens aus der Halbwertzeit von 30 Jahren für Cäsium. Das ist aber hier nicht unser Thema. Mit diesen Werten erhalten wir die Zerfallsfunktion: N(t) = 200 * e^{(-0,023 * t)}. Die Abbildung zeigt den Verlauf des Modells für den unbegrenzten Zerfall. Die Voraussetzung für diesen Prozess ist ein ungestörter Verlauf. Tritt eine Störung auf, zum Beispiel durch Beschränkungen in Folge äußerer Umstände, liegt ein begrenzter Zerfall vor. Dies betrifft unser nächstes Beispiel. Nämlich das eine Abkühlung von heißem Tee in einem Glas. Die Temperatur T in einem Teeglas ist eine Funktion der Zeit t. Sie kann nicht unter die Raumtemperatur von zum Beispiel T_R = 20°C abkühlen. Hier liegt das Modell von begrenztem Zerfall vor. Wir wollen dies als Abkühlung bezeichnen. Welches mathematische Modell findet hier Anwendung? Das mathematische Modell beruht nun auf folgenden Annahmen: Es gibt eine untere Grenze, Raumtemperatur T_R, unter die der Tee nicht abkühlen kann. Also stellt 20°C, im übrigen rechnen wir hier ohne Einheiten, die untere Grenze dar. Die Temperaturabnahme ΔT ist proportional zum Zeitintervall Δt und auch proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Teetemperatur und Raumtemperatur. Das ergeben Experimente. Beide Proportionalitäten können zusammengefasst werden: ΔT~Δt * (T(t) - T_R). Die Division von ΔT durch Δt führt auf ΔT/Δt und das ist proportional zu T(t) - T_R. Nach Einführung eines Proportionalitätsfaktors K > 0 folgt als Abkühlungsgleichung T'(t) = -K * (T(t) - T_R). In Worten: Die Abkühlungsgeschwindigkeit T' ist proportional zur Temperaturdifferenz T(t) - T_R. Als Lösungsansatz für diese Gleichung folgt T(t) = T_R + c * e^{(-K * t)} mit c = T₀ - T_R, mit T₀ als Anfangstemperatur und T_R als Raumtemperatur. Dass dies tatsächlich eine Lösung ist, kann durch Differentiation leicht überprüft werden. Für unser Teeglas folgt: Die Anfangstemperatur T₀ = 95°C, die Raumtemperatur T_R = 20°C und aus einer weiteren Information T nach zwei Minuten T(2) = 85°C folgt K = 0,07. Die Berechnung soll an dieser Stelle nicht interessieren. Die Abkühlungsfunktion lautet: T(t) = 20 + 75 * e^{-0,07 * t}. Die Abbildung zeigt den Verlauf der Temperaturabnahme. Damit haben wir an zwei Beispielen zwei unterschiedliche Zerfallsmodelle kennengelernt. Wir fassen zusammen: Damit kannst Du dann gleichzeitig unbegrenzten und begrenzten Zerfall unterscheiden. Für den unbegrenzten Zerfall gilt die Zerfallsgleichung: N'(t) = -K * N(t) mit K > 0. Die Zerfallsfunktion lautet: N(t) = N₀ * e^{-K * t}. Der Graph zeigt eine streng monoton fallende Exponentialfunktion. Wobei der Schnittpunkt der Funktion mit der N-Achse als N₀ den Anfangsbestand darstellt. Für den begrenzten Zerfall gilt die Zerfalls- beziehungsweise Abkühlungsgleichung: T'(t) = -K * (T(t) - T_R) mit K > 0. Zerfalls- beziehungsweise Abkühlungsfunktion lautet: T(t) = T_R + c * e^{(-k * t)} mit c = T₀ - T_R, T₀ = Anfangstemperatur, T_R = Raumtemperatur. Der Graph zeigt eine streng monoton fallende Exponentialfunktion, wobei der Schnittpunkt der Funktion mit der T-Achse mit T₀ die Anfangstemperatur und die Gerade bei T_R die Raumtemperatur darstellt. Das wars für heute. Ich hoffe, Dir hat es etwas Spaß gemacht und Du hast alles verstanden. Bis zum nächsten Mal.

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Die Autor*innen

Wolfgang Tews

Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Unbeschränkter Zerfall und beschränkter Zerfall kannst du es wiederholen und üben.

Bestimme die allgemeinen Funktionsgleichungen für begrenzten und unbegrenzten exponentiellen Zerfall.

Tipps

Bei exponentiellen Zerfalls- bzw. Abkühlungsprozessen muss die Zeit $t$ immer im Exponenten stehen. Steht $t$ als veränderliche Größe in der Basis, so handelt es sich nicht um exponentiellen Zerfall.

Bei begrenzten exponentiellen Zerfallsprozessen, wie etwa bei Abkühlungsprozessen, beinhaltet die Funktionsgleichung zusätzlich eine weitere Größe, die Raumtemperatur $T_{R}$ als Untergrenze des Zerfalls.

Lösung

Die allgemeine Funktionsgleichung für den unbegrenzten exponentiellen Zerfall lautet: $N(t)= N_{0} \cdot e^{-k \cdot t}$
Die Größe $N_{0}$ steht für den Anfangsbestand des Wachstums zum Zeitpunkt $t=0$. Die Eulersche Zahl $e$ ist eine mathematische Konstante mit $e \approx 2,72$. Der Proportionalitätsfaktor $k$ beschreibt die Stärke des Zerfalls und kann rechnerisch aus gegebenen Datenpaaren ermittelt werden.
Die Zerfallsgleichung ähnelt der Wachstumsgleichung. Das negative Vorzeichen vor dem Proportionalitätsfaktor $k$ ist jedoch ein wichtiger Unterschied. Er bewirkt den Zerfall, denn $ e^{-k}=\frac{1}{e ^{k}}$.
Die allgemeine Funktionsgleichung für den begrenzten exponentiellen Zerfall bzw. die Abkühlungsfunktion lautet: $T(t)=T_{R} +c \cdot e ^{-k \cdot t}$.
Hier „taucht” als weitere Größe die Raumtemperatur $T_R$ auf, die die Untergrenze des Zerfalls bzw. der Abkühlung markiert. Da es sich jeweils um exponentielle Prozesse handelt, muss die veränderliche Größe, das ist hier die Zeit $t$, immer im Exponenten stehen. Wird die Zeit $t$ in die Funktionsgleichung eingesetzt, lässt sich die zugehörige Temperatur $T(t)$ rechnerisch bestimmen.
Bestimme die Funktionsgleichung für den unbegrenzten Zerfall von Atomkernen.

Tipps

Die allgemeine Funktionsgleichung für den unbegrenzten exponentiellen Zerfall lautet: $N(t)= N_{0} \cdot e^{-k \cdot t}$

$N_{0}$ ist gleichbedeutend mit $N(0)$: Es handelt sich also um den Bestand zum Zeitpunkt $t=0$.

Lösung

Die Zerfallsfunktionen $N(t)=200-100 \cdot e ^{-0,023 \cdot t}$ und $N(t)=200- e ^{0,023 \cdot t}$ haben die Form der allgemeinen Funktionsgleichung $N(t)=G +c \cdot e ^{-k \cdot t}$ bzw. $T(t)=T_{R} +c \cdot e ^{-k \cdot t}$ für den begrenzten Zerfall bzw. die begrenzte Abkühlung.
Bei begrenztem exponentiellen Zerfall beinhaltet die Funktionsgleichung nämlich eine weitere Größe, die Untergrenze bzw. Raumtemperatur $T_{R}$. Da im gegebenen Sachverhalt jedoch von „ungehindertem” Zerfall die Rede ist und kein minimaler Bestand erwähnt wird, kann nicht von einem begrenztem Zerfall ausgegangen werden.
In die allgemeine Funktionsgleichung für den unbegrenzten exponentiellen Zerfall $N(t)= N_{0} \cdot e^{-k \cdot t}$ sind nun lediglich der Anfangsbestand $N_{0}$ und der Proportionalitätsfaktor $k$ einzusetzen.
Somit ergibt sich für die gesuchte Zerfallsfunktion die Gleichung $N(t)= 200 \cdot e^{-0,023 \cdot t}$.
Arbeite aus der graphischen Darstellung einer begrenzten exponentiellen Abkühlung die gesuchten Größen heraus.

Tipps

Die Raumtemperatur $T_{R}$ ist der Wert, dem sich die Temperatur im Laufe der Zeit immer mehr annähert. Sie repräsentiert die Untergrenze der Abkühlung.

Die Anfangstemperatur $T_{0}=T(0)$ kannst du an der $T$-Achse ablesen. Du benötigst diesen Wert, um $c$ zu bestimmen.

Lösung

Du kannst im Koordinatensystem erkennen, dass sich der Graph immer weiter an den Wert $T=2$ annähert. Diese waagerechte Linie ist die Untergrenze, denn die Temperatur kann nicht unter die Raumtemperatur fallen. Somit beträgt $T_{R}=2$.
Den Anfangsbestand liest man an der $T$-Achse ab: $T_{0}=T(0)=9$.
Den Wert für $c$ berechnest du nun als Differenz zwischen Anfangstemperatur und Raumtemperatur: $c=T_{0}-T_{R}=9-2=7$.
Den Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du nicht so einfach ablesen oder berechnen: Hierfür müsstest du, wenn du bereits $T_{R}$ und $c$ bestimmt hast, ein weiteres Datenpaar ablesen, dieses in die Funktionsgleichung einsetzen und anschließend alles nach dem gesuchten Faktor umformen. Der Proportionalitätsfaktor $k$ sei hier aber mit $k=0,5$ gegeben.
Die in der Abbildung dargestellte Abkühlungsfunktion lautet somit komplett: $T(t)=2+7 \cdot e ^{-0,5 \cdot t}$
Bestimme die Temperatur des Kaffees nach 15 Minuten, wenn er bei Raumtemperatur abkühlt.

Tipps

Die allgemeine Funktionsgleichung für die exponentielle Abkühlung lautet: $T(t)=T_{R}+c \cdot e ^{-k \cdot t}$

Den Wert für $c$ bestimmst du so: $c=T_{0}-T_{R}$.

Wenn du nun noch für $t=15$ in $T(t)=23-71 \cdot e ^{-0,02 \cdot t}$ einsetzt, kannst du leicht die Temperatur nach 15 Minuten berechnen

Lösung

Die allgemeine Funktionsgleichung für die begrenzte exponentielle Abnahme lautet: $T(t)=T_{R}+c \cdot e ^{-k \cdot t}$
Für die Raumtemperatur $T_{R}$ musst du 23 einsetzen, da dies die minimal erreichbare Temperatur ist.
Die Variable $c$ steht für die Differenz aus Anfangstemperatur $T_{0}$ und Raumtemperatur $T_{R}$: $c=T(0)-T_{R}=94-23=71$
Der Proportionalitätsfaktor für die minütliche Abkühlung beträgt $k=0,02$. In der Abkühlungsfunktion steht vor $k$ übrigens immer ein negatives Vorzeichen.
Die gesuchte Abkühlungsfunktion für die begrenzte Abkühlung lautet damit $T(t)=23-71 \cdot e ^{-0,02 \cdot t}$.
Wenn du nun noch für $t=15$ einsetzt, kannst du die Temperatur nach 15 Minuten berechnen: $T(15)=23-71 \cdot e ^{-0,02 \cdot 15} \approx 75,598$
Gerundet auf eine Nachkommastelle ergibt sich also eine Temperatur von $75,6°C$.
Beschrifte die allgemeine Funktionsgleichung für die begrenzte exponentielle Abkühlung.

Tipps

Die Temperatur hängt im Falle einer exponentiellen Abnahme immer von der Zeit ab. Im Allgemeinen findet sich dafür bei Funktionsgleichungen der Ausdruck $f(x)$. Der Funktionswert $f(x)$ wird durch das Argument $x$ bestimmt. Die Temperatur $T$ wird hier durch die Zeit $t$ bestimmt.

Die Temperatur nach einer bestimmten Zeit entspricht der Summe aus Raumtemperatur und dem Produkt aus der um die Raumtemperatur reduzierten Anfangstemperatur und der potenzierten Eulerschen Zahl.

Lösung

Die allgemeine Funktionsgleichung für die begrenzte exponentielle Abkühlung lautet: $T(t)=T_{R} +c \cdot e ^{-k \cdot t}$
Die Raumtemperatur $T_R$ markiert die Untergrenze des Zerfalls, an die sich die Temperatur im Laufe der Zeit $t$ annähert. Die Variable $c$ steht für die Differenz aus Anfangstemperatur $T_{0}$ und Raumtemperatur $T_{R}$: $c=T(0)-T_{R}$ oder $c=T_{0}-T_{R}$
Die Eulersche Zahl $e$ ist eine mathematische Konstante mit $e \approx 2,72$.
Der Proportionalitätsfaktor $k$ beschreibt die Stärke des Rückgangs.
Da es sich um einen exponentiellen Zerfall handelt, muss die veränderliche Größe, das ist hier die Zeit $t$, immer im Exponenten stehen. Wird die Zeit $t$ in die Funktionsgleichung eingesetzt, lässt sich die zugehörige Temperatur $T(t)$ rechnerisch bestimmen.
Berechne den Proportionalitätsfaktor $k$.

Tipps

Setze alle gegebenen Ausgangswerte in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Nur die Zerfallskonstante $k$ ist jetzt noch gesucht.

Wenn du durch äquivalente Umformung $N_{0}$ auf die andere Seite gebracht hast, musst du mit dem natürlichen Logarithmus $\ln$ arbeiten.

Um die gesuchte Größe aus dem Logarithmus zu entfernen, brauchst du die folgende Eigenschaft: $\ln (e^{x})=x$. Die natürliche Exponentialfunktion und die natürliche Logarithmusfunktion heben sich gegenseitig auf.

Lösung

Wenn du die gegebenen Größen in $N(t)= N_{0} \cdot e^{-k \cdot t}$ einsetzt, erhältst du $31,4= 40 \cdot e^{-k \cdot 2000}$. Bis auf die Zerfallskonstante $k$ sind alle Größen der Gleichung im Sachverhalt gegeben.
Um den Zerfallsfaktor $k$ zu bestimmen, brauchst du den natürlichen Logarithmus. Das Logarithmusgesetz $\ln (e^{x})=x$ besagt, dass sich die natürliche Exponentialfunktion und die natürliche Logarithmusfunktion gegenseitig aufheben. Damit kannst du nach der gesuchten Größe auflösen: Es ergibt sich $k\approx 0,00012$.
Das Kohlenstoffisotop $C 14$ hat übrigens eine Halbwertzeit von ca. 5730 Jahren.