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Schiefe Ebene

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Die Autor/-innen
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Lukas Neumeier
Schiefe Ebene
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Schiefe Ebene

Die schiefe Ebene

Die schiefe oder geneigte Ebene begegnet dir in vielen verschiedenen Situationen im Alltag. Zum Beispiel überall dort, wo es eine Rampe gibt. Aber auch eine Straße, die bergab verläuft, können wir als schiefe Ebene bezeichnen. Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, wie wir die wirkenden Kräfte an der schiefen Ebene berechnen können.

Schiefe Ebene – Definition

Als schiefe Ebene bezeichnen wir eine ebene Fläche, die in einem Winkel $\alpha$ gegen die Horizontale geneigt ist. Der Winkel zwischen der Ebene und der Horizontalen heißt Neigungswinkel.

Schiefe Ebene – Kräfte berechnen

Wir wollen nun herleiten, wie wir die Kräfte an einer schiefen Ebene berechnen können. Dazu stellen wir uns zunächst die folgende Situation vor: Ein Objekt, zum Beispiel eine Murmel, liegt auf einer ebenen Platte. Wenn die Platte auf dem Boden liegt, also horizontal ausgerichtet ist, bewegt sich die Murmel nicht. Wenn die Platte auf einer Seite angehoben wird, rollte die Murmel. Je steiler die Platte geneigt ist, umso schneller rollt die Kugel hinab.

Schiefe Ebene Physik

Wir können aus diesem Gedankenexperiment die folgende Schlussfolgerung ziehen: Je größer der Neigungswinkel $\alpha$ ist, umso größer ist die Kraft $F_H$, die die Kugel beschleunigt. Wir wissen außerdem, dass insgesamt nur die Gewichtskraft $F_g=mg$ auf die Kugel wirkt. Wenn die Platte senkrecht auf der Horizontalen steht, also der Winkel $\alpha$ gerade $90^{\circ}$ beträgt, entspricht die Bewegung der Kugel ja gerade dem freien Fall. Dann führt die gesamte Gewichtskraft zur Beschleunigung der Kugel, es gilt also $F_H = F_g$. Wenn der Winkel $\alpha$ hingegen $0^{\circ}$ beträgt, die Platte also horizontal ist, bewegt sich die Kugel überhaupt nicht. Es wirkt also keine Kraft $F_H$, die zur Beschleunigung der Kugel entlang der Ebene führt. Wir kennen also schon zwei Werte für die Kraft $F_H$, die zur Bewegung der Murmel entlang der schiefen Ebene führt:

$\alpha = 90^{\circ} \Rightarrow F_H = F_g = mg$

$\alpha = 0 \Rightarrow F_H = 0$

Die Kraft $F_H$ nennen wir Hangabtriebskraft, weil sie zu einer Bewegung entlang der Ebene führt – also den Hang hinab, wenn man einen Berg betrachten würde. Sie wirkt parallel zur Ebene. Bei $\alpha = 0$ ist sie, wie wir bereits festgestellt haben, null. Die Schwerkraft wirkt in dieser Situation natürlich auch – sie wirkt allerdings senkrecht zur Platte und sorgt dafür, dass die Murmel auf diese gepresst wird. Für alle Winkel $\alpha$ zwischen null und $90$ Grad teilt sich die Gewichtskraft in Komponenten parallel und senkrecht zur Ebene auf. Wie diese Aufteilung genau aussieht, können wir mithilfe eines Kräfteparallelogramms rechnerisch bestimmen.

Schiefe Ebene Herleitung der Formel

Im Kräfteparallelogramm haben wir die Gewichtskraft $F_g$ in zwei Komponenten aufgeteilt, die senkrecht zueinander stehen. Eine Komponente ist die Hangabtriebskraft $F_H$ und die andere, die senkrecht auf der Ebene steht, nennen wir Normalkraft $F_N$. Der Winkel zwischen der Gewichtskraft $F_g$ und der Normalkraft $F_N$ ist gleich dem Neigungswinkel $\alpha$ der Ebene. Das kannst du dir folgendermaßen überlegen:

Für die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gilt: $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$. Wenn der Winkel $\gamma$ ein rechter Winkel ist, also $\gamma= 90^{\circ}$, muss für den Winkel $\beta$ gelten:

$\beta = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \alpha$

Im Kräfteparallelogramm entspricht der Winkel zwischen $F_g$ und $F_H$ dem Winkel $\beta$, denn wir könnten das Kräfteparallelogramm einfach an das obere Ende der Ebene verschieben. Weil die Normalkraft $F_N$ und die Hangabtriebskraft $F_H$ senkrecht aufeinander stehen, muss der Winkel zwischen $F_N$ und $F_g$ genau $\alpha$ sein.

Mit diesem Wissen können wir den Sinus benutzen, um die Kraft $F_H$ zu berechnen. Für den Sinus des Winkels $\alpha$ gilt:

$\sin(\alpha) = \frac{F_H}{F_g} $

Das können wir nach $F_H$ umstellen und die Gewichtskraft einsetzen. Damit erhalten wir für die Hangabtriebskraft der schiefen Ebene die Formel:

$F_H = mg\sin(\alpha)$

Da der Sinus immer kleiner oder gleich eins ist, ist auch die Hangabtriebskraft immer kleiner oder gleich der Gewichtskraft. Die Hangabtriebskraft ist null für einen Winkel von $\alpha = 0^{\circ}$ und maximal für einen Winkel von $\alpha = 90^{\circ}$. Genau das sind die Fälle, die wir oben betrachtet haben. Auch die Normalkraft ist immer kleiner oder gleich der Gewichtskraft, nur dass diese für einen Winkel von null Grad maximal ist. Dann wird die Kugel am stärksten auf die Ebene gedrückt.

Für jeden Winkel $\alpha$ muss die Summe der beiden Kräfte außerdem immer gleich der Gewichtskraft sein:

$F_H + F_N = F_g$

Dieses Video

In diesem Video wird dir einfach erklärt, wie du die Kräfte an einer schiefen Ebene berechnen kannst. Text und Video werden durch interaktive Aufgaben ergänzt.

Transkript Schiefe Ebene

Physik Hallo und herzlich willkommen zum Physikvideo über die schiefe Ebene. Ich werde dir in diesem Video alles erklären, was du zum vollständigen Verständnis dieses Themas brauchst. Worum geht es bei der schiefen Ebene? Na ja, ganz einfach. Hier haben wir eine nicht schiefe Ebene. Wenn wir die jetzt um den Winkel α drehen, dann wird sie schief. Wie schief sie ist, hängt von dem Winkel α ab. Jetzt lassen wir noch die Ebene irgend etwas herunter rutschen, zum Beispiel einen Kasten Bier mit der Masse m. Wie so oft vernachlässigen wir wieder jede Art von Reibung. Du wirst mir sicher zustimmen, dass die Kiste schneller herunterrutscht, je steiler die Ebene ist, also je größer der Winkel α ist. Das Ziel in diesem Video ist, exakt zu berechnen, wie schnell die Kiste da herunter rutscht und wie stark sie beschleunigt wird und zu erklären warum und wie stark das Ganze von dem Winkel α abhängt. Gut. Also die einzige physikalische Kraft, die den ganzen Vorgang antreibt, ist die Gewichtskraft. Diese zeichnen wir jetzt mal als Vektor ein. Der Betrag der Gewichtskraft ist, wie du sicher schon weißt, Fg = m×g. Damit können wir leider noch nichts anfangen, weil ja ein Teil dieser Gewichtskraft auf dem Boden der Ebene wirkt, und damit nicht für die Beschleunigung verantwortlich sein kann. Das Ziel ist jetzt herauszufinden, wie groß dieser Teil dieser Gewichtskraft ist, der für die Beschleunigung verantwortlich ist. Du siehst bestimmt ein, dass das vom Winkel α abhängen muss. Bei einer nicht schiefen Ebene, also für α=0, wäre dieser Teil 0. Die Kiste bewegt sich nämlich überhaut nicht. Bei einer Ebene, die so aussieht, also bei α=90°, wäre dieser Teil die volle Gewichtskraft, weil ja keine Kraft mehr an den Boden verloren geht. Die Lösung muss also irgendwo dazwischen liegen. Ein guter Physiker könnte jetzt schon die Lösung raten. FH=m×g×sinα, weil er weiß, dass der Sinus von 0 gleich 0 ist und der Sinus von 90° gleich 1 ist, was genau passen würde. So kannst du dir das übrigens auch sehr gut merken. Wir wollen dieses Ergebnis jetzt aber beweisen. Wie du vielleicht weißt, ist die Kraft ein Vektor. Vektoren kann man in beliebig viele Komponenten zerlegen. Das ist reine Mathematik und ändert an der Physik überhaupt nichts. Diese Vektoreigenschaft der Kraft können wir uns hier zunutze machen. Wir interessieren uns ja für die Kraft in diese Richtung, welche für die Beschleunigung der Kiste verantwortlich ist. Diese Kraft nennt man auch Hangabtriebskraft, kurz FH. Der Teil der Kraft, der nicht für die Beschleunigung verantwortlich sein kann, ist ja der Teil, der genauin den Boden gerichtet ist. Diesen Teil der Kraft nennen wir auch Normalkraft, kurz FN. Du siehst, dass beide Kräfte einen rechten Winkel zueinander einnehmen. Wir wissen jetzt allerdings noch nicht, wie lang diese Vektoren sind. Genau das ist ja das Ziel, die Länge des blauen Pfeils zu bestimmen. Das ist nämlich genau der Betrag der Hangabtriebskaft, die ja für die Beschleunigung der Kiste Bier verantwortlich ist. Dafür müssen wir dafür sorgen, dass die Gewichtskraft genau in zwei zueinander senkrecht stehende Komponenten zerlegt wird. Genau das stellt ein so genanntes Kräfteparallelogramm sicher. Ein Kräfteparallelogramm zeichnet man so: Man zeichnet beide Komponenten erst einmal vor und zieht dann zwei Parallelen zu den jeweiligen Komponenten von der Spitze des zu zerlegenden Vektors. Und dort, wo sich die Linien schneiden, hört der Vektor auf. Der Name Kräfteparallelogramm ist kein Zufall. Das Ganze muss nämlich ein Parallelogramm ergeben, weil ja die Summe der beiden Vektoren - Hangabtriebskraft plus Normalkraft - wieder den Vektor der Gewichtskraft ergeben muss. Und Vektoren addiert man, indem man den einen an die Spitze des anderen legt. So ergibt sich auf natürliche Weise ein Parallelogramm, weil es egal ist, mit welchem Vektor man anfängt. In diesem Fall ergibt sich sogar ein Rechteck weil zwischen den beiden Kräften ein rechter Winkel herrscht. Die restliche Aufgabe besteht nun darin, die Länge des Vektors der Hangabtriebskraft zu berechnen. Dazu brauchen wir nur ein bißchen Geometrie. Das schwerste dabei ist, zu erkennen, dass der Winkel α in unserem Kräfteparallelogramm sich auch hier befindet. Das werde ich dir jetzt kurz beweisen. Also: Hier haben wir ja ein rechtwinkliges Dreieck. Da die Summe aller Winkel in jedem Dreieck 180° beträgt und dieser hier 90° ist, muss dieser Winkel hier 90°-α sein. Der Winkel zwischen Hangabtriebskraft und Gewichtskraft, also der hier, ist genau der gleiche, weil die Hangabtriebskraft parallel zur Ebene ist und die Gewichtskraft parallel zur linken Seite des großen Dreiecks ist. Also ist dieser hier auch 90°-α. Der gesuchte Winkel und der gerade bestimmte sind ja zusammen 90°, weil Hangabtriebskraft und Normalkraft senkrecht aufeinander stehen.  Deshalb ist dieser Winkel hier 90°-(90°-α)=α. Fertig. Nun können wir einfach die Formel für den Sinus des Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck benutzen. sinα war ja Gegenkathete ÷ Hypothenuse. Und die Gegenkathete ist ja genauso lang wie die gesuchte Hangabtriebskraft und die Hypothenuse war ja genau die Gewichtskraft FG. sinα= FH÷Fg. Das Ganze noch nach FH aufgelöst und Fg eingesetzt, ergibt die Lösung: FH = m×g×sinα Das ist genau die Lösung, die man, wenn man sich mit Sinus und Cosinus ein bißchen auskennt, auch sofort erraten könnte. Der Sinus ist ja immer kleiner gleich als 1 und deshalb ist die Hangabtriebskraft immer kleiner gleich als die Gewichtskraft. Das passt bestimmt zu deiner Alltagserfahrung. Eines möchte ich noch betonen: Die Hangabtriebskraft und die Normalkraft gibt es eigentlich nicht in Wirklichkeit. Das einzige, was existiert, ist die Gewichtskraft. Die Hangabtriebskraft und die Normalkraft sind nur in ihrer Summe existent - und das ist ja die Gewichtskraft. Die Zerlegung in die Hangabtriebskraft und die Normalkraft ist also nur eine andere mathematische Schreibweise für die Gewichtskraft, die für uns sehr praktisch ist, wenn wir die schiefe Ebene behandeln, da für die Beschleunigung eben nur ein Teil der Gewichtskraft verantwortlich sein kann, nämlich die Hangabtriebskraft, diejenige Kraft die parallel zur Ebene ist. Im nächsten Video werde ich dir das Ganze noch einmal vertiefen. Es lohnt sich also, da noch mal reinzuschauen. Damit bedanke ich mich und sage ciao ciao.

27 Kommentare

27 Kommentare
  1. Danke für das Tolle viedio

    Von Steffigoettsche, vor 4 Monaten
  2. hat mir nicht geholfen

    Von Katrin Weinmann, vor 8 Monaten
  3. Hallo Fabien Gschwind, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor 9 Monaten
  4. Viele Sachen waren nicht gut erklärt, meiner Meinung nach kein gutes Video.

    Von Fabien Gschwind, vor 9 Monaten
  5. nicht das was ich wollte

    Von Gz76, vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Schiefe Ebene Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schiefe Ebene kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Kräfte an, die an der schiefen Ebene auf einen Körper wirken.

    Tipps

    Welche der gezeigten Kräfte tritt real auf?

    In welche Richtung zeigt sie auf der Erdoberfläche?

    In welche beiden Kräfte wird diese Kraft zerlegt?

    Welche dieser beiden Kräfte bewirkt eine Beschleunigung des Körpers, welche hingegen nicht?

    Lösung

    Auf einer schiefen beziehungsweise geneigten Ebene wirkt auf einen Körper bei Vernachlässigung von Reibungskräften lediglich die Gewichtskraft $\vec {F_g}$. Sie zeigt auf der Erdoberfläche stets Richtung Erdmittelpunkt, deutet also senkrecht auf die untere Kante der Zeichnung.

    Für die Betrachtungen zur Bewegung des Körpers auf der schiefen Ebene ist es hilfreich, die Gewichtskraft in zwei hypothetische Komponenten aufzuspalten. Dies ist wegen des Vektorcharakters der Kraft in Form eines Kräfteparallelogramms möglich, wie es in der Abbildung durch die gestrichelten Linien symbolisiert wird.

    Der Kraftkomponente, die parallel zur schiefen Ebene verläuft und der Beschleunigung des Körpers dient, gibt man die Bezeichnung Hangabtriebskraft $\vec {F_H}$. Die andere Komponente, die Normalkraft $\vec {F_N}$, steht senkrecht auf der schiefen Ebene und beschreibt den Teil der Gewichtskraft, der nicht zur Beschleunigung des Körpers verwendet wird.

  • Beschreibe die Formel, mit deren Hilfe die Hangabtriebskraft an der schiefen Ebene berechnet werden kann.

    Tipps

    Zu den Winkelfunktionen gehören unter anderem Sinus, Kosinus und Tangens.

    Den Ortsfaktor kennt man auch als Fallbeschleunigung.

    In der Formel steckt die Gewichtskraft $F_g=m\cdot g$.

    Lösung

    Die Hangabtriebskraft $\vec {F_H}$ eines Körpers an der schiefen Ebene berechnet sich mit der Formel

    $F_H=m\cdot g\cdot sin \alpha$.

    Darin ist die Gewichtskraft $F_g=m\cdot g$ enthalten. Diese bestimmt sich aus der Masse $m$ des Körpers sowie dem Ortfaktor beziehungsweise der Fallbeschleunigung $g$.

    Multipliziert wird die Gewichtskraft mit der Winkelfunktion $sin$ des Drehwinkels $\alpha$. Diese ist umso größer, je höher der Drehwinkel, also je steiler die schiefe Ebene ist. Das bedeutet, dass der beschleunigende Anteil der Gewichtskraft in Form der Hangabtriebskraft mit der Neigung der Ebene zunimmt.

  • Analysiere die folgende Zeichnung.

    Tipps

    Überprüfe Länge und Ausrichtung der Vektorpfeile.

    Kontrolliere die Beschriftungen.

    Überprüfe die Lage der einzelnen Bestandteile.

    Lösung

    Insgesamt hatten sich fünf Fehler in die Abbildung eingeschlichen:

    (1) Der Körper war fälschlicherweise mit $n$ und nicht mit $m$ für Masse gekennzeichnet.

    (2) Die Gewichtskraft war anstelle mit $\vec {F_g}$ mit $\vec {F_N}$ beschriftet.

    (3) Der Drehwinkel $\alpha$ lag an der falschen Stelle im Kräfteparallelogramm.

    (4) Der Vektor der Hangabtriebskraft $\vec {F_H}$ war zu lang gezeichnet.

    (5) Der Vektor der Normalkraft $\vec {F_N}$ stand nicht senkrecht auf der schiefen Ebene.

  • Ermittle die Hangabtriebskraft für verschiedene Drehwinkel der schiefen Ebene.

    Tipps

    Wie groß ist der Sinus für die Grenzfälle $\alpha=0°$ und $\alpha=90°$?

    Wann ist die Hangabtriebskraft groß, wann klein?

    Lösung

    Die Hangabtriebskraft nimmt mit fallender Steigung, also kleineren Drehwinkeln, kontinuierlich ab.

    Bei einem Winkel von $90°$ befindet sich der Felsen im freien Fall. Der Sinus von $90°$ beträgt Eins. Die Hangabtriebskraft ist gleichzusetzen mit der Gewichtskraft. Der Felsen erfährt seine maximale Beschleunigung.

    Bei einem Winkel von $60°$ beträgt der Sinus $\frac {\sqrt 3} {2}$, die Hangabtriebskraft ist immer noch sehr hoch, sie beträgt rund 85% der Gewichtskraft des Felsens. Bei $45°$ ist sie bereits wegen $sin(45°)=\frac {1} {\sqrt 2}$ auf rund 70% gefallen. Bei einem Sinus von $30°$ beträgt sie nur noch 50% der Gewichtskraft.

    Beträgt der Drehwinkel $0°$, so ist auch der Sinus gleich Null und die Hangabtriebskraft ebenfalls. Der Fels befindet sich auf einer ebenen Fläche und wird nicht mehr durch die Gewichtskraft beschleunigt.

  • Gib die Formel an, mit der die Hangabtriebskraft an der schiefen Ebene berechnet werden kann.

    Tipps

    In jede falsche Formel hat sich ein fehlerhaftes Formelzeichen eingeschlichen.

    Lösung

    Mit der gezeigten Formel wird die Hangabtriebskraft eines Körpers an einer schiefen Ebene berechnet.

    Dafür wird die Masse $m$ des Körpers mit dem Ortsfaktor $g$ von rund $10\frac {m} {s^2}$ (in der Nähe der Erdoberfläche) und dem Sinus des Neigungswinkels ($sin\alpha$) multipliziert.

    Diese Formel ist nur gültig, wenn die Reibungskräfte zum Boden und zur Luft vernachlässigt werden.

  • Leite die Formel her, mit der die Normalkraft eines Körper auf der schiefen Ebene bestimmt werden kann.

    Tipps

    Skizziere dir die auftretenden Kräfte und den Drehwinkel.

    Wann wird die Normalkraft Null, wann ist sie maximal?

    Mit Hilfe welcher Winkelfunktion kannst du gesuchte Kraft bestimmen? Stelle die Formel nach der gesuchten Kraft um.

    Lösung

    Die Normalkraft auf einen Körper auf einer schiefen Ebene wird mit Hilfe des Cosinus über das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse ermittelt (siehe Abbildung):

    Es gilt: $cos\alpha=\frac {F_N} {F_g}$.

    Umstellen nach der Normalkraft liefert die gesuchte Formel, mit deren Hilfe die Normalkraft aus den Größen Masse, Ortsfaktor und Drehwinkel bestimmt werden kann:

    $F_N=m\cdot g\cdot cos\alpha$.

    Die Normalkraft wird somit bei einem Drehwinkel von $0°$ maximal, da der Cosinus Eins ist. Befindet sich der Körper auf einer Ebene parallel zur Erdoberfläche, so wirkt die gesamte Gewichtskraft senkrecht zum Boden, ist also gleich der Normalkraft. Die Hangabtriebskraft ist Null. Bei einem Drehwinkel von $90°$ hingegen wird der Cosinus Null und somit auch die Normalkraft. Der Körper befindet sich im Freien Fall und besitzt keine Kraftkomponente auf seinen Untergrund. Die gesamte Gewichtskraft wirkt als beschleunigende Hangabtriebskraft.

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