Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Grundgleichung der kinetischen Gastheorie Übung

• Nenne Formeln zur Berechnung des Gasdrucks $p$.

  Tipps

  Wie kann man mithilfe einer Kraft den Druck ausdrücken?

  Der Druck ist der Quotient aus Kraft und der Fläche, auf die die Kraft wirkt.

  Die Dichte entspricht dem Verhältnis von Gesamtmasse und Volumen. Die Gesamtmasse kann auch mithilfe der Masse $m$ eines Teilchens und der Gesamtzahl der Teilchen $N$ berechnet werden.

  Lösung

  Betrachtet wird eine Anzahl $N$ von Gasteilchen, die sich in einem Volumen $V$ bewegt.
  Die Gasteilchen stoßen miteinander und mit der Wand. Diese hat die Fläche $A$.
  Da die Gasteilchen eine mittlere Geschwindigkeit $\bar v$ haben, übertragen sie einen Impuls und damit eine Kraft auf die Wand.
  Auf die Fläche betrachtet üben sie damit einen Druck auf die Wand aus. Dieser wird Gasdruck genannt und kann mit den genannten Größen berechnet werden.

  Für die Kraft, die auf die Wand ausgeübt wird, kann die Formel
  $F_{ges}= \frac{1}{3} \cdot m \cdot \frac{N}{V} \cdot A \cdot \bar{v}^2$
  gefunden werden.

  Da der Druck gleich Kraft pro Fläche ist, folgt für den Gasdruck:
  $p= \frac{1}{3} \cdot m \cdot \frac{N}{V} \cdot \bar{v}^2$.

  Außerdem gilt $\rho=\frac{M}{V}$ für die Dichte eines Gases. Die Masse des Gases kann auch mithilfe von Masse eines Teilchens und Teilchenzahl, also $M=m \cdot N$, berechnet werden.

  So kann der Gasdruck in Abhängigkeit von der Dichte angegeben werden:
  $p= \frac{1}{3} \cdot \rho \cdot \bar{v}^2$.

• Nenne eine Formel zur Berechnung der mittleren kinetischen Energie eines Gasteilchens in Abhängigkeit von der Temperatur.

  Tipps

  Die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens kann mithilfe der Masse und des Quadrats der mittleren Geschwindigkeit ausgedrückt werden. Kann diese Formel in der Formel für den Gasdruck wiedergefunden werden?

  Diese Formel gilt für den Gasdruck eines idealen Gases. Da alle wesentlichen Bestandteile der mittleren kinetischen Energie enthalten sind, kann die Formel mit ein wenig Umstellen ersetzt werden. Wie kann man den Gasdruck ebenfalls ermitteln?

  Der Druck kann auch über die Zustandsgleichung für ideale Gase ermittelt werden. Wird in der Gleichung für den Gasdruck leicht umgestellt, dann können diese Gleichungen gleichgesetzt werden.

  Stelle diese Formel nach der mittleren kinetischen Energie um. Was ergibt sich?

  Lösung

  Die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens kann mithilfe der folgenden Formel beschrieben werden:
  $\bar E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \bar v^2$.

  Die rechte Seite der Gleichung lässt sich nach einer kleinen Umformung auch in der Formel für den Gasdruck von idealen Gasen wiederfinden:
  $p=\frac{1}{3} \cdot m \cdot \frac{N}{V} \cdot \bar v^2=\frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot \frac{1}{2} \cdot m\cdot \bar v^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{N}{V} \cdot \bar E_{kin}$ (1).

  Dabei wurde nur $\frac{2}{2}=1$ hinzugefügt.

  Es gibt zudem noch die Zustandsgleichung idealer Gase:
  $p \cdot V = N \cdot k_B \cdot T$ (2).

  Mit einer Umformung können diese Gleichungen gleichgesetzt werden. Es kann dazu zum Beispiel die Gleichung (1) mit $V$ multipliziert werden.
  Es folgt nach dem Gleichsetzen:
  $ \frac{2}{3} \cdot N \cdot \bar E_{kin}=N \cdot k_B \cdot T$.

  Diese Gleichung wird nach $\bar E_{kin}$ umgestellt:
  $\begin{align} && \frac{2}{3} \cdot N \cdot \bar E_{kin}&=N \cdot k_B \cdot T &| \cdot 3 \div 2 \\ & \Leftrightarrow& N \cdot \bar E_{kin}&=\frac{3}{2} \cdot N \cdot k_B \cdot T &|\div N \\ &\Leftrightarrow& \bar E_{kin} &=\frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T \end{align} $

  Dies ist die gesuchte Formel. Es wird die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens in Abhängigkeit von der Temperatur angegeben.

• Erkläre die Herleitung der Formel für den Gasdruck eines idealen Gases.

  Tipps

  Betrachte zuerst die Gasteilchen. Wie bewegen sie sich und wie kann dieses Bewegung beschrieben werden? Anschließend kann das Verhalten der Teilchen mit ihrer Umgebung betrachtet werden.

  Die Teilchen stoßen gegen die Wand. Dabei übertragen sie einen Impuls auf die Wand. Dieser Impuls entspricht einer Kraft die auf die Wand ausgeübt wird. Auf die Fläche bezogen ist dies wiederum ein Druck. In welcher Reihenfolge können die Größen berechnet werden?

  Um die Gesamtkraft zu berechnen, die auf die Wand übertragen wird, muss zuerst bekannt sein, wie viele Teilchen dagegenstoßen. Dafür wird ein Volumen $V_1$ gewählt, was möglichst schmal ist. Die Teilchen prallen dann nur gegen die Wand der Fläche A und die gegenüberliegende. Die Teilchenanzahl kann so berechnet werden.

  Lösung

  Die Gasteilchen bewegen sich ständig in unterschiedliche Richtungen. Deswegen mitteln sich die Beträge der einzelnen Richtungskomponenten so, dass jede den gleichen Betrag hat. Es muss deswegen nur eine Richtungskomponente betrachtet werden.

  Es gilt dabei die Formel
  $\bar v_x^2= \frac{1}{3} \bar v^2$.

  Der sogenannte Gasdruck ist der Druck, der an der Wand eines Gefäßes mit Gas entsteht. Er entsteht dadurch, dass die Teilchen gegen die Wand prallen und damit einen Impuls übertragen.
  Da Impulserhaltung gilt, muss der Impuls vor dem Stoß mit der Wand gleich nach dem Stoß mit der Wand sein. Es folgt die Formel für die Veränderung des Impulses.
  $\Delta p = 2 \cdot m \cdot \bar v_x$

  Der Impuls, der beim Aufprall auf die Wand übertragen wird, entspricht einer Kraft.
  Hierbei ist zu betrachten, dass der Impuls der Ableitung der Kraft nach der Zeit entspricht. Es gilt demnach:
  $F= \frac{\Delta p}{\Delta t}=\dfrac{ 2 \cdot m \cdot \bar v_x}{\Delta t}$.

  Da die Gesamtkraft berechnet werden soll, muss die Anzahl der stoßenden Teilchen herausgefunden werden. Dazu wird die Teilchenzahl in einem bestimmten Volumen berechnet.
  Die Breite des Volumens wird dabei als sehr klein angenommen. Dies führt dazu, dass die Teilchen nur gegen die betrachtete Fläche oder die gegenüberliegende stoßen.

  Es kann damit eine Teilchenzahl gefunden werden, die von der Geschwindigkeit der Teilchen abhängt:
  $N_1 = \frac{1}{2} \frac{N}{V} \cdot A \cdot v_x \cdot \Delta t$.

  Die Gesamtkraft ergibt sich dann zu der Kraft eines Teilchens mal der Anzahl der Teilchen, die gegen die Wand stoßen. Dabei kann noch die Geschwindigkeit in x-Richtung durch die berechnete Gesamtgeschwindigkeit ersetzt werden.
  $F_{ges}=F \cdot N_1=\frac{1}{3} \cdot m \cdot \frac{N}{V} \cdot A \cdot \bar v^2$

  Die berechnete Kraft lässt auf der Fläche der Wand einen Druck entstehen:
  Wird aus dieser Formel mit $F=\frac{p}{A}$ der Druck ermittelt, folgt:
  $p=\frac{1}{3} \cdot m \cdot \frac{N}{V} \cdot \bar v^2$.

• Begründe, ob die Gleichung auch für reale Gase gilt.

  Tipps

  Bei idealen Gasen wird angenommen, dass die Moleküle kein Eigenvolumen haben und die Moleküle sich gegenseitig nicht beeinflussen. Deswegen verlaufen die Stoße vollkommen elastisch. Ist das auch bei realen Gasen so?

  Reale Gase unterscheiden sich von idealen Gasen. Die Gasmoleküle haben ein Volumen und es herrschen Anziehungskräfte zwischen ihnen. Hat das einen Einfluss auf den Gasdruck?

  Der Gasdruck kommt dadurch zustande, dass die Teilchen mit einer gewissen Geschwindigkeit gegen die Außenflächen des Gefäßes stoßen. Es wird dabei ein Druck auf die Fläche übertragen. Die Geschwindigkeit beim Stoß hat eine Einwirkung auf den Gasdruck. Wird die Geschwindigkeit von Anziehungskräften oder Volumen beeinflusst?

  Lösung

  Reale Gase unterscheiden sich von idealen Gasen.

  • Die Gasteilchen haben ein Eigenvolumen.
  • Es herrschen Anziehungskräfte zwischen den Gasteilchen.

  Eine Auswirkung auf den Gasdruck haben hierbei die Anziehungskräfte zwischen den Teilchen. Die Gasteilchen bewegen sich dadurch langsamer.
  Deswegen ist die Kraft und damit auch der Druck, den sie auf die Fläche der Wand übertragen, geringer.

  Das Volumen der Gasteilchen ist sehr gering. Außerdem wird die Teilchenzahl in der Gleichung für den Gasdruck mit einbezogen. Wenn es weniger Teilchen sind, dann wirkt sich dies direkt auf den Gasdruck aus. Es wäre also keine Tatsache, die in der Gleichung für den Gasdruck nicht beachtet wird.

• Erkläre den Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur bei konstantem Volumen.

  Tipps

  Betrachte die Zustandsgleichung idealer Gase. Teilchenanzahl und Boltzmann-Konstante sind konstant. Wie muss die der Druck ändern, wenn das Volumen konstant bleibt und die Temperatur steigt? Es muss weiterhin ein Gleichgewicht herrschen.

  Die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens kann in Abhängigkeit der Temperatur angegeben werden. Je größer die kinetische Energie ist, desto höher ist auch die Geschwindigkeit der Teilchen. Was passiert demnach bei steigender Temperatur?

  Wenn die Teilchen mit höherer Geschwindigkeit gegen die Wand stoßen, sinkt der Druck dann oder steigt er?

  Lösung

  Es kann die Zustandsgleichung idealer Gase betrachtet werden, um den Zusammenhang zwischen Temperatur und Druck zu betrachten:
  $p \cdot V = N \cdot k_B \cdot T $.

  Es gilt $N \cdot k_B =~ konst.$
  Wenn zudem das Volumen konstant sein soll, dann muss der Druck steigen, wenn die Temperatur steigt. Denn es muss immer ein Gleichgewicht zwischen der linken und der rechten Seite der Gleichung vorliegen.

  Wie kann dies noch begründet werden?
  Dazu kann die Formel für die mittlere kinetische Energie betrachtet werden. Diese hängt direkt mit der Geschwindigkeit der Gasteilchen zusammen und kann auch durch diese dargestellt werden:
  $\frac{1}{2} \cdot m \cdot \bar v^2 = \bar E_{kin} =\frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T$.

  Aus dieser Gleichung ist ersichtlich:
  Steigt die Temperatur, dann steigt auch die Geschwindigkeit der Gasteilchen.

  Sie stoßen dann schneller (und öfter) mit anderen Gasteilchen und auch den Wänden des Gefäßes.
  Infolgedessen steigt der Druck.

• Berechne die mittlere kinetische Energie und die mittlere Geschwindigkeit der Gasteilchen.

  Tipps

  Die mittlere kinetische Energie kann mithilfe der Boltzmann-Konstante und der Temperatur berechnet werden.

  Außerdem kann die mittlere kinetische Energie auch durch Masse und mittlere Geschwindigkeit dargestellt werden. Wie kann man hiermit $\bar v$ berechnen, ohne den berechneten Wert von $\bar E_{kin}$ zu nutzen?

  Beachte die richtigen Einheiten. Die Temperatur muss in Kelvin angegeben werden.

  Lösung

  Die mittlere kinetische Energie kann mithilfe der Boltzmann-Konstante und der Temperatur berechnet werden.

  Es gilt die Formel:
  $ \bar E_{kin}= \frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T $ (1).

  Die Temperatur muss hierbei in Kelvin angegeben werden. Dies ist leicht an einer Einheitenrechnung oder der Einheit der Boltzmann-Konstante ersichtlich:
  $[k_b] \cdot [T] = \frac{m^2 \cdot kg}{s^2 \cdot K} \cdot K = \frac{m^2 \cdot kg}{s^2} = N $.

  Es gilt $T=3773,15~°C=3500 ~K$, dabei muss
  Temperatur in Grad - 273,15 = Temperatur in Kelvin
  gerechnet werden.

  Die Werte werden in (1) eingesetzt. Es folgt:
  $ \bar E_{kin}= \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} ~\frac{m^2 \cdot kg}{s^2 \cdot K} \cdot 3500 ~K \approx 7,25 \cdot 10^{-20}~ N $.

  Außerdem kann die mittlere kinetische Energie auch durch die Masse und die mittlere Geschwindigkeit ausgedrückt werden:
  $\bar E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \bar v ^2 $ (2) .

  Die Formeln (1) und (2) können gleichgesetzt und nach $\bar v$ umgestellt werden:
  $\begin{align} && \frac{1}{2} \cdot m \cdot \bar v ^2 &=\frac{3}{2} \cdot k_B \cdot T &|& \div m \cdot 2 \\ &\Leftrightarrow& \bar v^2 &= \dfrac{3 \cdot k_B \cdot T}{m} &|& \sqrt{~~} \\ &\Leftrightarrow& \bar v &= \sqrt{ \dfrac{3 \cdot k_B \cdot T}{m}} \end{align}$

  Mit eingesetzten Werten folgt:
  $\bar v=\sqrt{ \dfrac{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} ~\frac{m^2 \cdot kg}{s^2 \cdot K} \cdot 3500 ~ K}{6 ~kg}} \approx 1,55 \cdot 10^{-10} ~ \frac{m}{s}$.