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Rotierende Bezugssysteme und Inertialsysteme

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Lerntext zum Thema Rotierende Bezugssysteme und Inertialsysteme

Rotierende Bezugssysteme und Inertialsysteme

Der Ablauf von Vorgängen in der Natur ist oft vom Beobachter abhängig und zwar nicht, weil ein Beobachter subjektiv die Dinge anders als ein anderer wahrnimmt, sondern weil er aufgrund seiner Relativbewegung zum Geschehen die Dinge anders wahrnehmen muss. Bewegen sich beide Beobachter mit einer konstanten Relativgeschwindigkeit zueinander, gibt es eine elegante Möglichkeit der Umrechnung der Vorgänge von einem zum anderen – die Galileitranformationen. Sind aber die Beobachter und damit die von ihnen benutzen Bezugsssysteme beschleunigt, treten unter Umständen Scheinkräfte auf: Einer der Beobachter führt die Vorgänge auf eine Kraft zurück, ein anderer sieht dazu keinen Grund.

Rotierende Bezugssysteme

Es gibt eine Vielzahl von beschleunigten Bezugssystemen, unter denen das rotierende Bezugssystem, wie es sich etwa in einem Karussell oder auf der Erde vorfindet, in der Schule (und auf der Erde) eine zentrale Rolle spielt. Innerhalb rotierender Bezugssysteme treten die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft auf, zwei sogenannte Scheinkräfte.

Die Zentrifugalkraft

Die Zentrifugalkraft soll mit einem alltäglichen Beispiel verdeutlicht werden: Ein Beobachter sitzt außerhalb einer sich drehenden Scheibe, auf welche eine Münze gelegt wurde. Solange die Haftkraft der Münze ausreicht, um als Zentripetalkraft zu dienen, die notwendig ist, um die Münze auf der Kreisbahn zu halten, bleibt diese liegen. Dreht sich die Scheibe nun schneller, so wird die Haftkraft überwunden und die Münze rutscht und fliegt tangential weg. Für den außenstehenden Beobachter ist dieser Vorgang logisch nachvollziehbar, die Münze folgt einfach ihrer Trägheit. Für einen Beobachter auf der Scheibe hingegen scheint die Münze scheinbar grundlos aus dem Zentrum der Drehung heraus beschleunigt zu werden - eine Wirkung, die wir als Zentrifugalkraft bezeichnen.

Rein formelmäßig lassen sich die für die Erhaltung der Kreisbewegung verantwortliche, auch für den außenstehenden Beobachter messbare Zentripetalkraft, die oft auch Radialkraft genannt wird, und die nur für den mitrotierenden Beobachter existierende Zentrifugalkraft, auch Fliehkraft genannt, durch dieselbe Formel beschreiben. Daher werden beide Kräfte oft verwechselt oder sogar gleichgesetzt – in den allermeisten Fällen wird dabei aber ignoriert, dass man dabei zwei verschiedene Bezugssysteme gleichzeitig zur Beschreibung eines Vorgang heranzieht.

Scheinkraft heißt auch nicht, dass sich der mitrotierende Beobachter etwas nur einbildet: Wenn du im Karussel nach außen gedrückt wirst, dann ist für dich, in deinem Bezugssystem, die Kraft sehr real.

Um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten, muss die auch für einen außenstehenden Beobachter messbare Zentripetal- oder Radialkraft aufgebracht werden.

Es gilt dabei: $F_\text{r}=m \cdot \dfrac{v^2}{r}$

Dabei ist $m$ die Masse des bewegten Körpers, $v$ seine Bahngeschwindigkeit und $r$ der Bahnradius.

Innerhalb des rotierenden Systems führt ein Beobachter die nach außen ziehende Wirkung der Rotation auf sich oder einen anderen mitbewegten Körper auf die Zentrifugal- oder Fliehkraft zurück. Auch diese lässt sich mit der obigen Formel berechnen.

Kreisbewegung mit Radialkraft und tangentialer Geschwindikeit

Die Corioliskraft

Eine weitere wichtige Scheinkraft im rotierenden Bezugssystem ist die Corioliskraft. Dieser Effekt tritt auf, wenn sich ein Körper frei durch ein rotierendes Bezugssystem bewegt. Ein anschauliches Beispiel hierfür ist ein Flugzeug, das vom Nordpol zum Äquator fliegt. Während seiner Reise dreht sich die Erde unter ihm weg, sodass es für einen irdischen Beobachter so aussieht, als würde das Flugzeug „zwangsweise“ auf eine Kreisbahn gelenkt werden.

Dies lässt sich auch mit dem vorher genannten Drehbeispiel beobachten: Legen wir unseren Beobachter an den Rand der Drehscheibe und beobachten aus einer externen Perspektive, so bewegt sich die Münze auf einer geraden Linie, während sich der Beobachter auf einer Kreisbahn bewegt. Für den Beobachter auf der Scheibe allerdings scheint die Münze auf einer Kreisbahn zu laufen, während er selbst still hält. Die Abweichung der Münzenbewegung von der geraden Linie ist aus der Sicht des mitrotierenden Beobachters die Wirkung der Corioliskraft.

Die Corioliskraft spielt eine wesentlichen Rolle in unserem täglichen Leben, oft ohne dass wir uns dessen bewusst sind. Ein praktisches Beispiel hierfür sind sich bildende Stürme: Entsteht ein Tiefdruckgebiet, drängen die Luftmassen aus allen Richtungen darauf zu. Gleichzeitig dreht sich die Erde unter der Luft weg, womit der charakteristische Strudel eines Wirbelsturms entsteht. Auch wird die Corioliskraft oft als einfacher Beweis dafür angeführt, dass die Erde eine sich drehende Kugel ist.

Intertialsysteme

Einfacher sind die Beschreibungen von Vorgängen für Beobachter, die sich in Inertialsystemen befinden.

Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem der Trägheitssatz gilt, d. h. ein Körper verlässt nur dann den Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung, wenn auch wirklich eine Kraft auf ihn wirkt. Ein System, in dem Scheinkräfte wirken, ist kein Inertialsystem.

Lokale Inertialsysteme

Dabei muss man allerdings berücksichtigen, dass ein Bezugssystem zwar als Ganzes kein Inertialsystem sein kann, aber in einem kleineren Bereich sehr wohl. Die rotierende Erde weist Scheinkräfte wie die Corioliskraft auf, taugt aber in kleinen Raumbereichen, in der Fachsprache lokal, ausreichend gut als Inertialsystem, weil die Rotation keinen größeren Einfluss hat. Wenn wir in unserem Zimmer einen Körper fallen lassen, dann fällt er runter, weil auf ihn die Gravitationskraft wirkt.

Gleichberechtigung der Inertialsysteme

In der klassischen Mechanik sind alle Inertialsysteme gleichberechtigt bei der Beschreibung von Vorgängen. Es gibt kein besonderes, fachsprachlich ausgezeichnetes, Inertialsystem. Damit ist gemeint, es gibt kein physikalisches Experiment, mit dem sich beweisen ließe, ob ein Inertialsystem ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt.Natürlich entspricht dies nicht dar Anschauung: Wenn ich im Zug sitze, dann weiß ich ja auch bei Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit, dass ich mich bewege. Zur Beschreibung physikalischer Vorgänge würden aber der Zug und die Landschaft, die an mir vorüber zieht, beide gleich gute Bezugssysteme abgeben, solange der Zug nicht bremst.

Galilei-Transformation

Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Beschreibung von Vorgängen in Inertialsystemen ist die Galilei-Transformation. Grundlegend besagt die Galilei‑Transformation, dass die Beschreibung einer Bewegung von einem Inertialsystem in ein anderes übertragbar ist.

Galilei‑Transformationen sind mathematische Formeln, mit denen die Beschreibung einer Bewegung von einem Inertialsystem in ein anderes Inertialsystem übertragen werden kann.

Gallilei‑Transformation für Geschwindigkeiten

Die Galilei‑Transformationen für Geschwindigkeiten beschreiben, wie sich die Geschwindigkeit eines Körpers in einem Inertialsystem in einem anderen Inertialsystem ändert, wenn sich die beiden Systeme mit einer konstanten Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen.

Die Galilei‑Transformationen für Geschwindigkeiten lauten wie folgt:

$\vec{v_2} = \vec{v_1}+ \vec{v_{rel}}$

wobei

$\vec{v_1}$ ​ die Geschwindigkeit des Körpers im ersten Inertialsystem und

$\vec{v_2}$ ​ die Geschwindigkeit des Körpers im zweiten Inertialsystem ist.

Ist $\vec{v_{rel}}$ konstant, so sind beide Inertialsysteme.

Gültigkeit der Galilei-Transformation

Die Galilei-Transformationen sind im Bereich der klassischen Mechanik, also für kleine Geschwindigkeiten gültig. Bewegen sich Körper und/oder Bezugssysteme mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit, müssen sie durch die Lorentztransformationen der Speziellen Relativitätstheorie ersetzt werden.

Zusammenfassung – rotierende Bezugssystem und Inertialsysteme

  • Das wichtigste beschleunigte Bezugssystem ist das rotierende Bezugssystem.
  • In diesem Bezugssystem wirken die Scheinkräfte Zentrifugalkraft und die Corioliskraft (senkrecht zur Bewegungsrichtung, bei Bewegung auf die Drehachse zu bzw. von ihr weg).
  • Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen keine Scheinkräfte auftreten.
  • Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt zur Beschreibung physikalischer Vorgänge.
  • Im Bereich der klassischen Mechanik gelten die Galilei-Transformationen zur Umrechnung von einem in ein anderes, sich dazu relativ mit konstanter Geschwindigkeit bewegendes Inertialsystem.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Rotierende Bezugssysteme und Inertialsysteme

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Rotierende Bezugssysteme und Inertialsysteme Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Rotierende Bezugssysteme und Inertialsysteme kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse die wichtigsten Eigenschaften rotierender Bezugssysteme zusammen.

    Tipps

    Was ist ein Inertialsystem?

    Was kennzeichnet Bezugssysteme, die keine Inertialsysteme sind?

    Was ist die Besonderheit von Scheinkräften?

    Lösung

    Rotierende Bezugssysteme gehören zu den nicht geradlinig beschleunigten Bezugssystemen. In ihnen können zwei Scheinkräfte auftreten: Die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft. Diese Scheinkräfte treten nur in dem rotierenden Bezugssystem auf. Ein außenstehender Beobachter nimmt diese Kräfte nicht wahr, da er sie zur Beschreibung der Bewegung eines Körpers in einem rotierenden Bezugssystem aus seiner Sicht nicht benötigt werden.

    Rotierende Bezugssysteme sind beispielsweise die Erde, die sich um ihre eigene Achse dreht, oder in kleinerem Maßstab ein Karussell oder eine Drehscheibe. Rotierenden Bezugssysteme sind keine Inertialsysteme, da sie beschleunigt werden.

  • Gib an, wie die Beschreibung einer Bewegung in verschiedenen Inertialsystemen mit Hilfe der Galilei-Transformation erfolgen kann.

    Tipps

    Gegeben ist die Bewegung des Körpers in Inertialsystem A.

    Sie soll nun aus Sicht des Inertialsystems B beschrieben werden.

    Dazu muss die Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme verwendet werden.

    Geschwindigkeiten werden in diesen Fällen aufaddiert.

    Lösung

    Will man die Bewegung eines Körpers in einem Inertialsystem A aus Sicht eines anderen Inertialsystems beschreiben, so kann dafür die gezeigte Formel verwendet werden.

    Vorsicht:

    Diese Formel kann nur angewendet werden, wenn die Relativgeschwindigkeit zwischen den Bezugssystemen konstant ist. Addiert man zur Geschwindigkeit $\vec {v}_A$ des Körpers in Inertialsystem A die Relativgeschwindigkeit $\vec {v}_{relativ}$ der beiden Inertialsysteme zueinander, so erhält man die Geschwindigkeit $\vec {v}_B$ des Körpers im Inertialsystem B.

  • Entscheide, auf welche dieser Objekte die Corioliskraft wirkt.

    Tipps

    Welches ist jeweils das rotierende Bezugssystem?

    Bewegen sich die Objekte jeweils frei in diesem Bezugssystem?

    Lösung

    Die Corioliskraft tritt in rotierenden Bezugssystemen auf. Im Beispiel des Karussells ist das Karussell selbst das rotierende Bezugssystem. In allen anderen drei Beispielen ist die Erde das rotierende Bezugssystem.

    Alle beschriebenen Objekte befinden sich demnach in einem rotierenden Bezugssystem. Die Corioliskraft tritt aber nur dann auf, wenn sich die Objekte jeweils zusätzlich frei in Bezug auf die Drehachse bewegen.

    Das Mädchen im Kettenkarussell und die Kinder bei den Hausaufgaben ruhen in ihrem Bezugssystem jeweils. Daher wirkt auf sie keine Corioliskraft.

    Die Eisenbahn und die Zebras bewegen sich hingegen frei durch das rotierenden Bezugssystem. Somit wirkt auch immer eine Corioliskraft auf sie, solange sie in Bewegung bleiben. Diese ist jedoch so klein, dass sie keine sichtbaren Auswirkungen auf die Bewegungen hat. Weder die Eisenbahn noch die Zebras beschreiben wegen der Corioliskraft eine gekrümmte Bahn.

    Genauso verhält es sich übrigens beim Wasserstrudel in Waschbecken und Badewanne: Die wirkende Corioliskraft ist nicht ausschlaggebend für die Strudeldrehrichtung. In größeren Maßstäben können jedoch die Auswirkungen der Corioliskraft beobachtet werden, zum Beispiel bei den Wetterphänomenen wie Hoch- und Tiefdruckgebieten, deren Luftmassen eine Ablenkung erfahren.

  • Erkläre, was bei der Fahrt mit dem Kettenkarussell passiert ist.

    Tipps

    Wo befinden sich Marie und der Teddy, wo die Eltern?

    Welche Gesetzmäßigkeiten und Kräfte treten demnach jeweils auf?

    Bewegen sich Marie und der Teddy frei durch das rotierende Bezugssystem Karussell oder ruhen sie dort?

    Welche Scheinkraft tritt dort demnach auf?

    Wie erklären sich die Eltern die Bewegungen des Teddys aus ihrem ruhenden Bezugssystem heraus?

    Lösung

    Das Karussell ist ein rotierendes Bezugssystem. In diesem befinden sich Marie und ihr Teddy allerdings in Ruhe. Daher tritt keine Corioliskraft auf, sondern lediglich Zentrifugalkräfte. Marie verbleibt aber durch ihren Sitz im rotierenden Bezugssystem, der Teddy jedoch wird nicht zusätzlich festgehalten. Die Zentrifugalkraft beschleunigt ihn bei einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit nach außen.

    Maries Eltern betrachten die Bewegung des rotierenden Bezugsystems von außen. Sie erklären daher die Bewegung des Teddys nicht mit Hilfe von Scheinkräften. Für sie bewegt sich der Teddy so lange durch eine Zentripetalkraft auf einer Kreisbahn, solange die Winkelgeschwindigkeit des Karussells nicht zu groß ist.

    Aber egal, aus welcher Perspektive man den kleinen Unfall betrachtet, Hauptsache ist, Marie bekommt ihren Teddy nach der Karussellfahrt wieder. Im schlimmsten Fall muss der sich eben noch einmal den Zentrifugalkräften in der Waschmaschine aussetzen.

  • Gib die Scheinkräfte an, die in rotierenden Bezugssystemen auftreten.

    Tipps

    Die Wirkung von Scheinkräften kann nur im rotierenden Bezugssystem beobachtet werden.

    Eine der beiden Scheinkräfte wirkt auf alle Körper in rotierenden Bezugssystemen, eine nur auf Körper, die sich im rotierenden Bezugssystem selbst bewegen.

    Lösung

    In rotierenden Bezugssystemen wirken zwei Scheinkräfte. Die Zentrifugalkraft führt dazu, dass sich Körper im rotierenden Bezugssystem nach außen bewegen. Dies wird beispielsweise bei Zentrifugen ausgenutzt, in denen verschiedenen Bestandteile voneinander getrennt werden. Diese Kraft wirkt auf alle Körper in rotierenden Bezugssystemen. Sie ist nicht zu verwechseln mit der Zentripetalkraft! Die Zentripetalkraft ist keine Scheinkraft. Sie wirkt auf Körper, die sich auf einer Kreisbahn bewegen und wirkt Richtung Kreismittelpunkt, also genau entgegengesetzt zur Zentrifugalkraft.

    Die Corioliskraft hingegen wirkt in rotierenden Bezugssystemen nur auf solche Körper, die sich selbst auch noch frei durch dieses Bezugssystem bewegen. Sie lenkt diese Körper scheinbar aus ihrer ursprünglichen Bewegungsrichtung ab (nach links oder rechts), da sich das Bezugssystem selbst unter diesem Körper entlangbewegt.

  • Leite ab, bei welchen Bewegungen auf der Erde keine Corioliskraft wirkt.

    Tipps

    Die Corioliskraft wirkt auf Objekte, die sich zumindest anteilig zur Drehachse hin- oder von ihr wegbewegen.

    Welche der beschriebenen Bewegungen verlaufen aber parallel zur Drehachse?

    Lösung

    Die Corioliskraft wirkt auf Objekte, die sich zumindest anteilig zur Drehachse hin- oder von ihr wegbewegen. Fast alle Bewegungen auf der Erdoberfläche (horizontal und vertikal) lassen sich so aufteilen, dass eine Bewegungskomponente senkrecht zur Drehachse der Erde auftritt. Auf solche Objekte wirkt die Corioliskraft.

    Bewegen sich die Objekte jedoch parallel zur Drehachse der Erde, so tritt per Definition keine Corioliskraft auf. Dies ist der Fall, wenn sich ein Objekt an den Polen vertikal (also nach oben oder unten) bewegt. Darüber hinaus liegt eine parallele Bewegung zur Drehachse ebenfalls vor, wenn sich Objekte im Äquatorbereich genau in Richtung der Pole bewegen.

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Rotierende Bezugssysteme und Inertialsysteme
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