Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Brechungsgesetz

Bereit für eine echte Prüfung?

Das Brechungsgesetz Quiz besiegt 60% der Teilnehmer! Kannst du es schaffen?

Quiz starten
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.6 / 73 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Brechungsgesetz
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse

Grundlagen zum Thema Brechungsgesetz

Das Brechungsgesetz in der Physik

Bestimmt weißt du schon einiges über die Lichtbrechung: Beim Übergang von einem optischen Medium in ein anderes wird ein Teil des Lichts reflektiert und ein Teil gebrochen. Das bedeutet, dass es seine Ausbreitungsrichtung ändert. Die Änderung der Ausbreitungsrichtung im Fall der Lichtbrechung kann man mithilfe des Brechungsgesetzes berechnen.

Lichtbrechung

Herleitung des Brechungsgesetzes

Für eine Herleitung des Brechungsgesetzes können wir ein einfaches Experiment durchführen: Wir legen einen Glaskörper auf eine Kreisscheibe, auf der eine Winkelskala eingezeichnet ist. Senkrecht auf der Grenzfläche zwischen Glas und der umgebenden Luft steht das sogenannte Lot, eine Hilfslinie. Mit einem Laser strahlen wir nun Licht auf die Grenzfläche. Dabei gibt der Einfallswinkel $\alpha$ den Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und dem Lot an. Den reflektierten Strahl vernachlässigen wir an dieser Stelle, da es hier um die Brechung gehen soll. Der gebrochene Strahl steht im Brechungswinkel $\beta$ zum Lot.

Nun leuchten wir aus verschiedenen Winkeln auf die Grenzfläche, wobei sich der einfallende Strahl, der gebrochene Strahl und das Lot immer in der gleichen Ebene befinden. Zu jedem Einfallswinkel messen wir den resultierenden Brechungswinkel. Außerdem betrachten wir die Strecke $a_1$, die senkrecht zum Lot steht und den einfallenden Strahl auf dem Rand der Kreisscheibe schneidet. Analog dazu verhält es sich für den Abstand $a_2$ zwischen Lot und gebrochenem Strahl.

Brechungsgesetz, Brechungsgesetz Herleitung, Grenzschicht

Nach mehreren Messungen stellen wir fest, dass für verschiedene Einfallswinkel $\alpha$ das Verhältnis $\frac{a_1}{a_2}$ immer den gleichen Wert liefert.

Nun kann man ein paar geometrische Überlegungen anstellen: Die Strecke $a_1$ ergibt sich aus dem Winkel $\alpha$ und dem einfallenden Strahl. Zwischen dem Schnittpunkt mit $a_1$ und der Grenzfläche hat der einfallende Strahl eine Länge, die gerade dem Radius $r$ der Kreisscheibe entspricht. Damit erhalten wir:

$\sin{\alpha}=\frac{a_1}{r}$

Für die Strecke $a_2$ gilt analog:

$\sin{\beta}=\frac{a_2}{r}$

Herleitung

Wenn man diese Formel für $\sin{\beta}$ nun nach $r$ umstellt und in die Formel für $\sin{\alpha}$ einsetzt, erhält man nach einigen Umformungen:

$\sin{\beta}=\frac{a_1}{a_2} \sin{\alpha}$

Das ist schon fast das Brechungsgesetz. Zum Schluss müssen wir uns nur noch die physikalische Ursache für das Verhältnis $\frac{a_1}{a_2}$ anschauen. Dieses ergibt sich nämlich aus den Brechzahlen oder auch Brechungsindizes der verschiedenen Materialien. Diese geben an, wie sich Licht in einem bestimmten Medium ausbreitet. Das Verhältnis $\frac{a_1}{a_2}$ entspricht genau dem Verhältnis der Brechungsindizes, da dieses festlegt, wie stark das Licht abgelenkt wird.

Definition und Formel des Brechungsgesetzes

Mit den Brechungsindizes $n_1$ (Medium vor der Grenzschicht) und $n_2$ (Medium hinter der Grenzschicht) erhalten wir das sogenannte Snellius'sche Brechungsgesetz:

$\sin{\beta}=\frac{n_1}{n_2} \sin{\alpha}$

Dieses findet man häufig auch in dieser Form:

$\sin{\beta} \cdot n_2 = \sin{\alpha} \cdot n_1$

Kennt man den Einfallswinkel und die Brechungsindizes, kann man also den Brechungswinkel berechnen. In unserem Experiment wären das die Brechungsindizes von Luft und Glas, die man nachschlagen kann. Da der Brechungsindex von Luft ($n_1 \approx 1$) kleiner ist als der von Glas ($n_2 \approx 1,5$), wird das Licht beim Übergang von Luft zu Glas zum Lot hin gebrochen, $\beta$ ist also kleiner als $\alpha.$ Geht das Licht andersherum von einem Medium mit größerem Brechungsindex in ein Medium mit kleinerem Brechungsindex über, wird es vom Lot weg gebrochen. Dann ist $\beta$ größer als $\alpha$.

Zusammenfassung zum Brechungsgesetz

Wir haben das Brechungsgesetz hergeleitet – jetzt kannst du es anwenden. Wir haben uns angesehen, welche Größen bei der Lichtbrechung entscheidend sind. Außerdem, wie der Brechungsindex definiert ist und wie er bestimmt wird.

Teste dein Wissen zum Thema Brechungsgesetz!

1.215.161 Schülerinnen und Schüler haben bereits unsere Übungen absolviert. Direktes Feedback, klare Fortschritte: Finde jetzt heraus, wo du stehst!

Vorschaubild einer Übung

Transkript Brechungsgesetz

Kretin, der Meisterdieb, schleicht durch die heiligen Hallen, auf der Suche nach einem besonderen Schatz. Ob das gut ausgeht? Um hier rauszukommen braucht er einen Plan – und dabei hilft ihm das Brechungsgesetz. „Lichtbrechung“ beschreibt das Phänomen, dass Licht seine Ausbreitungsrichtung ändert, wenn es von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium eintritt – oder umgekehrt. In welchem Winkel ein Lichtstrahl gebrochen wird, hängt von den beiden Medien ab, und vom Winkel, in dem das Licht einfällt. Gibt es mehrere Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien, kann das Licht auch mehrmals gebrochen werden. Mit einem Experiment kann der Zusammenhang zwischen Einfallswinkel und Brechungswinkel für eine bestimmte Grenzfläche untersucht werden. Dazu benötigen wir eine gut sichtbare Lichtquelle, am besten einen Laserpointer, den wir entlang einer markierten Kreis-Scheibe bewegen. Die optische Grenzfläche, die wir untersuchen, muss durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufen und diesen halbieren. In diesem Beispiel sind „Luft“ und „Glas“ die beiden optischen Medien. Aber man könnte das Laserlicht auch durch andere Materialien leiten, zum Beispiel durch Wasser und Plastik. Wichtig ist, dass wir Einfallswinkel und Brechungswinkel des Lichtstrahls mit Hilfe der Markierungen ablesen können. Dazu messen wir den Abstand „a-eins“ ausgehend von der Markierung, bei der der Lichtstrahl in den Kreis eintritt, bis hin zum Lot, und den Abstand „a-zwei“ zwischen dem Lot und der Markierung, bei der der Lichtstrahl den Kreis wieder verlässt. Für verschiedene Positionen des Lasers können wir „a-eins“ und „a-zwei“ messen und in eine Tabelle eintragen. Hier ein paar Beispielwerte. Ein paar klugen Menschen ist dabei aufgefallen, dass das Verhältnis zwischen „a-eins“ und „a-zwei“ immer gleich bleibt, egal welche Position man für die Lichtquelle einstellt. Dieses Verhältnis steht für die optische Dichte des unteren Materials gegenüber dem oberen, also in unserem Fall Glas gegenüber Luft. Die optische Dichte eines Materials nennt man auch den „Brechungsindex“ oder die Brechzahl „N“. „a-eins durch a-zwei“ entspricht also hier dem Verhältnis der beiden „Brechungsindizes“ N-eins und N-zwei von Glas und Luft. Da der Brechungsindex von Luft näherungsweise „eins“ ist, kann man auch vereinfacht vom Brechungsindex „N“ von Glas gegenüber Luft sprechen, der dann den Wert „eins Komma fünf“ hat. Wie hängt nun dieser Brechungsindex mit dem Einfallswinkel und Brechungswinkel des Lichts zusammen? Sehen wir uns das Dreieck an, das zwischen dem Lichtstrahl, der Länge „a-eins“ und dem Lot gebildet wird. Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Hypotenuse dem Radius „R“ der Scheibe entspricht. Es gilt „Sinus Alpha ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse“, also „gleich a-eins durch R“. Entsprechend gilt für das Dreieck zwischen dem Lichtstrahl, der Länge „a-zwei“ und dem Lot: „Sinus Beta ist gleich a-zwei durch R“, da die Länge des Lichtstrahls bis zur Markierung wieder dem „Radius R“ der Scheibe entspricht. Wir erhalten also zwei Gleichungen. Um nun wieder das Verhältnis zwischen „a-eins“ und „a-zwei“ zu bilden, können wir die linken und rechten Seiten der Gleichungen jeweils durcheinander teilen. Der „Radius R“ kann gekürzt werden, und wir erhalten einen Zusammenhang zwischen dem „Einfallswinkel Alpha“, dem „Brechungswinkel Beta“ und dem Brechungsindex „N“ gegenüber Luft, der für alle möglichen Positionen der Lichtquelle gültig ist. Diese Gleichung ist das „Brechungsgesetz“. Es wurde bereits im Mittelalter vom persischen Gelehrten „Ibn Sahl“ entdeckt, und durch „Willebrord van Roijen Snell“ als „Snellius'sches Brechungsgesetz“ in Europa bekannt. Setzen wir einen beliebigen Einfallswinkel „Alpha“ ein, können wir den Brechungswinkel „Beta“ berechnen, wenn wir den Brechungsindex „N“ des Materials kennen. Jetzt weißt du, wie Licht gebrochen wird, aber du fragst dich vielleicht, wie es überhaupt zu diesem knick kommt. Der Grund ist, dass sich Licht durch das optisch dichtere Medium langsamer bewegt als durch das optisch dünnere. Das ist recht kompliziert zu beweisen, aber du kannst dir den Knick so vorstellen: Denk dir das Licht als die Achse eines Autos, das von der Straße abkommt, und in eine Wiese fährt. Der Reifen, das zuerst die Grenze zwischen Straße und Wiese überquert, wird abgebremst, während der auf der anderen Seite noch ungebremst auf dem Asphalt rollt. Dadurch macht die Achse einen Schlenker, bis beide Reifen vollständig auf der Wiese fahren. Genauso wird einfallendes Licht „zum Lot hin“ gebrochen, wenn es an der Grenzfläche zu einem optisch dichteren Medium „gebremst“ wird. Fassen wir also zusammen: Licht wird an der Grenzfläche zwischen zwei Materialien unterschiedlicher optischer Dichte gebrochen. Die optische Dichte eines Materials kann als Brechungsindex „N“ gegenüber Luft angegeben werden. Der Brechungsindex wird experimentell bestimmt. Daraus leitet sich das „Brechungsgesetz“ ab, das den Zusammenhang zwischen Einfallswinkel und Brechungswinkel des Lichts beschreibt. Dieses Wissen nutzt der Meisterdieb Kretin, um die Laserfallen auszuschalten. Wenn er sich doch an das Einbrechungsgesetz nur auch so halten würde.

4 Kommentare
4 Kommentare
  1. Hallo Basti, danke für deine Rückmeldung. Die Video zum Thema sind tatsächlich alle relativ neu und die Übungen werden gerade erst erstellt. Aber es wird welche geben – versprochen!
    Deine Redaktion

    Von Martin Fuge, vor 8 Monaten
  2. Also bei den meisten wirklich gemachten Videos zum Thema Brechung fehlen immer noch passende Übungen, um das Wissen zu festigen.

    Von Basti, vor 9 Monaten
  3. Sehr schön erklärt und Kindgerecht

    Von Tom, vor 10 Monaten
  4. Cooles Video

    Von Luna, vor etwa einem Jahr

Brechungsgesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brechungsgesetz kannst du es wiederholen und üben.
  • Erkläre die Lichtbrechung.

    Tipps

    Lichtbrechung beschreibt ein Phänomen, bei dem Licht seine Richtung ändert.

    Ein Lichtstrahl wird gebrochen, wenn er von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium eintritt.

    Die Brechung wird unter anderem durch den Einfallswinkel des Lichts bestimmt.

    Lösung

    Der Begriff Lichtbrechung verweist auf das faszinierende Phänomen, bei dem Licht seine Richtung ändert, sobald es von einem optisch dünneren Medium in ein optisch dichteres Medium eintritt oder umgekehrt.

    Die Brechung eines Lichtstrahls wird durch die Eigenschaften der beteiligten Medien sowie den Einfallswinkel des Lichts bestimmt. In Situationen, in denen mehrere Grenzflächen zwischen unterschiedlichen Medien existieren, kann das Licht sogar mehrfach gebrochen werden, was zu weiteren interessanten optischen Effekten führt.

  • Beschreibe die Lichtbrechung mithilfe der Abbildung.

    Tipps

    Der Einfallswinkel ist der Winkel, unter dem der Lichtstrahl auf die Grenzfläche trifft.

    Der Brechungswinkel ist der Winkel zwischen dem gebrochenen Strahl und dem Lot. Er ist kleiner als der Einfallswinkel.

    Das Licht wird zunächst beim Übergang von einem optisch dünneren Medium in ein optisch dichteres Medium gebrochen.

    Lösung

    Lichtbrechung ist ein optisches Phänomen, das auftritt, wenn Licht von einem Medium in ein anderes mit einer unterschiedlichen optischen Dichte übergeht. Die optische Dichte eines Mediums ist umso größer, je langsamer sich das Licht in ihm bewegt. Wenn Licht auf eine Grenzfläche zwischen einem optisch dichteren und einem optisch dünneren Medium trifft, dann ändert es seine Ausbreitungsrichtung.

    Der Einfallswinkel, also der Winkel, unter dem der Lichtstrahl auf die Grenzfläche trifft, spielt eine entscheidende Rolle. Beim Übergang von einem optisch dünneren Medium zu einem optisch dichteren Medium wird das Licht zum Lot hin gebrochen. Das bedeutet, dass der Brechungswinkel, der Winkel zwischen dem gebrochenen Strahl und dem Lot, kleiner ist als der Einfallswinkel. Andersherum: Wenn Licht von einem optisch dichteren zu einem optisch dünneren Medium übergeht, dann wird es vom Lot weg gebrochen und der Brechungswinkel ist größer als der Einfallswinkel.

    Diese Veränderung der Richtung des Lichts beim Übergang zwischen Medien mit unterschiedlichen optischen Dichten wird durch die unterschiedlichen Geschwindigkeiten erklärt, mit denen Licht im jeweiligen Medium reist: Tritt Licht in ein optisch dichteres Medium ein, bewegt es sich langsamer, was zu einer Änderung seiner Richtung führt.

    Es ist wichtig zu betonen, dass Licht mehrfach gebrochen werden kann, wenn es durch mehrere Medien mit unterschiedlichen optischen Dichten hindurchtritt. In solchen Fällen wird der Lichtstrahl an jeder Grenzfläche gebrochen, wobei der Brechungswinkel sich an jeder Stelle ändert. Dieses Mehrfachbrechungsphänomen kann zu komplexen optischen Effekten führen, beispielsweise in einem Prisma, das Licht in seine verschiedenen Farben zerlegt, oder in einem Diamanten, der aufgrund seiner hohen Brechungsindizes ein beeindruckendes Funkeln erzeugt.

  • Leite das Brechungsgesetz aus dem Experiment her.

    Tipps

    Betrachten wir das Dreieck, das zwischen dem Lichtstrahl, der Länge $a_1$ und dem Lot gebildet wird. Dieses rechtwinklige Dreieck hat eine Hypotenuse, die dem Radius $r$ der Scheibe entspricht. In dem Dreieck gilt dann:

    $\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{a_1}{r}$

    Für das Dreieck zwischen dem Lichtstrahl, der Länge $a_2$ und dem Lot haben wir diese Beziehung:

    $\sin\beta = \dfrac{a_2}{r}$

    Durch Teilen der beiden Gleichungen, um das Verhältnis zwischen $a_1$ und $a_2$ zu finden, erhalten wir:

    $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{\left(\frac{a_1}{r}\right)}{\left(\frac{a_2}{r}\right)}$

    Der Radius $r$ kürzt sich heraus:

    $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{a_1}{a_2}$

    Lösung

    Betrachten wir das Dreieck, das zwischen dem Lichtstrahl, der Länge $a_1$ und dem Lot gebildet wird. Dieses rechtwinklige Dreieck hat eine Hypotenuse, die dem Radius $r$ der Scheibe entspricht. Das ist die Definition des Sinus:

    $\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Mit ihr können wir den Sinus mithilfe der Seiten des Dreiecks angeben:

    $\sin\alpha = \dfrac{a_1}{r}$

    Analog dazu können wir das Gleiche für das Dreieck zwischen dem Lichtstrahl, der Länge $a_2$ und dem Lot angeben:

    $\sin\beta = \dfrac{a_2}{r}$


    Durch Teilen der beiden Gleichungen, um das Verhältnis zwischen $a_1$ und $a_2$ zu finden, erhalten wir:

    $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{\frac{a_1}{r}}{\frac{a_2}{r}}$

    Der Radius $r$ kürzt sich heraus und wir erhalten einen Zusammenhang zwischen dem Einfallswinkel $\alpha$, dem Brechungswinkel $\beta$ und dem Brechungsindex $n$ für das Material im Vergleich zur Luft:

    $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{n}{1}$

    $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$

    $\Rightarrow \sin\alpha=n\cdot\sin\beta$

    Diese Gleichung ist als das Brechungsgesetz bekannt. Es wurde bereits im Mittelalter vom persischen Gelehrten Ibn Sahl entdeckt und wurde in Europa als das Snelliussche Brechungsgesetz durch Willebrord van Roijen Snell bekannt gemacht. Wenn wir einen beliebigen Einfallswinkel $\alpha$ haben und den Brechungsindex $n$ des Materials kennen, dann können wir den Brechungswinkel $\beta$ berechnen.

  • Berechne den Brechungswinkel des Lichtstrahls im Wasser.

    Tipps

    Folgende Größen sind in der Aufgabe gegeben:

    • Einfallswinkel $\alpha = 30^\circ$
    • Brechungsindex $n = 1{,}33$

    Das Brechungsgesetz lautet:

    $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

    Um den Brechungswinkel $\beta$ zu berechnen, stellen wir die Formel nach $\beta$ um:

    $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta~~~~~~~~~~~|:n$

    $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{n}=\sin\beta$

    Nun setzen wir die gegebenen Werte ein und berechnen. Beachte, dass dein Taschenrechner auf den richtigen Winkelmodus eingestellt sein muss: DEG für „degree“ und nicht RAD für „radian“.

    Um den Brechungswinkel $\beta$ zu finden, nehmen wir den Arkussinus ($\arcsin$), welcher auf dem Taschenrechner auch als $\sin^{-1}$ gekennzeichnet wird.

    Lösung

    Folgendes haben wir in der Aufgabe gegeben:

    • Einfallswinkel $\alpha = 30^\circ$
    • Brechungsindex $n = 1{,}33$

    Folgendes ist gesucht:

    • Brechungswinkel $\beta$ im Wasser

    Das Brechungsgesetz lautet:

    $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

    Um den Brechungswinkel $\beta$ zu berechnen, stellen wir die Formel nach $\beta$ um:

    $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta~~~~~~~~~~~|:n$

    $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{n}=\sin\beta$

    Nun setzen wir die gegebenen Werte ein:

    $\dfrac{\sin(30^\circ)}{1{,}33}=\sin\beta$

    Rechnet man den Sinus von $30^\circ$ aus, dann ergibt das $\sin(30^\circ)=0{,}5$. Das setzen wir in unsere Gleichung ein:

    $\dfrac{0{,}5}{1{,}33}=\sin\beta$

    $\Leftrightarrow 0{,}376=\sin\beta$

    Um den Brechungswinkel $\beta$ zu finden, nehmen wir den Akussinus ($\arcsin$) von $0{,}376$. Der Arkussinus wird auf dem Taschenrechner auch als $\sin^{-1}$ gekennzeichnet. Damit ergibt sich:

    $\Rightarrow \beta=\sin^{-1}(0{,}376)\approx21{,}76^\circ$

  • Benenne die Formel des Brechungsgesetzes.

    Tipps

    Das Brechungsgesetz kann auch beschrieben werden durch:

    $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=n$

    Das Brechungsgesetz beschreibt die Beziehung zwischen dem Einfallswinkel $\alpha$ und dem Brechungswinkel $\beta$ eines Lichtstrahls.

    Der Brechungsindex $n$ eines Mediums ist ein Maß dafür, wie stark das Licht in diesem Medium verlangsamt wird im Vergleich zur Vakuumgeschwindigkeit.

    Lösung

    Das Brechungsgesetz, oft auch als Snelliussches Brechungsgesetz bezeichnet, beschreibt die Beziehung zwischen dem Einfallswinkel $\alpha$ und dem Brechungswinkel $\beta$ eines Lichtstrahls, wenn er von einem Medium in ein anderes mit unterschiedlicher optischer Dichte übergeht. Die Beziehung wird durch diese Formel dargestellt:

    $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{\sin\alpha}{n} = \sin\beta$

    Dabei ist $n$ der Brechungsindex des zweiten Mediums im Verhältnis zum ersten.

    Der Brechungsindex $n$ eines Mediums ist ein Maß dafür, wie viel langsamer sich das Licht in diesem Medium im Vergleich zur Vakuumlichtgeschwindigkeit ausbreitet: Je größer der Brechungsindex eines Mediums ist, desto langsamer breitet sich Licht darin aus. Das Verhältnis der beiden Brechungsindizes, $n_1$ für das erste Medium und $n_2$ für das zweite Medium, gibt an, wie schnell das Licht sich in Bezug auf die Vakuumgeschwindigkeit in dem jeweiligen Medium bewegt.

    Die Herleitung des Brechungsgesetzes kann auf Basis der Wellentheorie des Lichts und der Snellschen Beobachtung erfolgen: Snellius beobachtete experimentell, dass der Sinus des Einfallswinkels und der Sinus des Brechungswinkels eine konstante Beziehung zueinander haben, wenn Licht von einem Medium in ein anderes eintritt. Diese Beziehung lässt sich mathematisch herleiten, indem man die Phasengeschwindigkeit des Lichts in beiden Medien in Verbindung mit der Frequenz der Welle und der Wellenlänge betrachtet.

    Die Formel $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$ stellt daher eine präzise mathematische Darstellung des Verhaltens von Licht beim Übergang zwischen Medien dar. Sie unterstreicht die grundlegende Idee, dass Licht seine Richtung ändert, wenn es von einem Medium in ein anderes mit unterschiedlicher optischer Dichte übergeht, wobei der Brechungsindex die Stärke dieser Richtungsänderung bestimmt.

  • Berechne den Brechungswinkel vor und nach dem Regenschauer.

    Tipps

    Folgende Größen sind in der Aufgabe gegeben:

    • Einfallswinkel $\alpha = 50^\circ$
    • Brechungsindex des Glases $n_{\text{Glas}} \approx 1{,}5$
    • Brechungsindex von Wasser $n_{\text{Wasser}} \approx 1{,}33$

    Wir wenden das Brechungsgesetz an:

    $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

    Um den Brechungswinkel $\beta$ zu berechnen, stellen wir die Formel nach $\beta$ um:

    $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta~~~~~~~~~~~|:n$

    $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{n}=\sin\beta$

    Jetzt, nachdem sich eine Wasserschicht auf der Oberfläche der Glasscheibe befindet, ändert sich der Brechungsindex: Der Brechungsindex von Wasser ist $n_{\text{Wasser}} \approx 1,33$.

    Beim zweiten Teil der Aufgabe wird tatsächlich nicht der Einfallswinkel von $50^\circ$ verwendet, sondern der bereits berechnete Brechungswinkel im Glas von etwa $30{,}66^\circ$.

    Außerdem wird das Snelliussche Brechungsgesetz in seiner vollständigen Form benötigt:

    $\sin\beta \cdot n_{2}= \sin\alpha \cdot n_{1}$

    Dabei ist dann:

    • $n_{1}=1{,}50$
    • $n_{2}=1{,}33$
    • $\alpha = 30{,}66^\circ$

    Lösung

    Folgendes haben wir in der Aufgabe gegeben:

    • Einfallswinkel $\alpha = 50^\circ$
    • Brechungsindex des Glases $n_{\text{Glas}} \approx 1{,}5$
    • Brechungsindex von Wasser $n_{\text{Wasser}} \approx 1{,}33$

    Brechungswinkel vor dem Regenschauer:

    Der Einfallswinkel des Lichtstrahls in Luft ist $\alpha = 50^\circ$ und der Brechungsindex des Glases ist $n_{\text{Glas}} = 1{,}5$.

    Wir verwenden das Brechungsgesetz:

    $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta$

    Um den Brechungswinkel $\beta$ zu berechnen, stellen wir die Formel nach $\beta$ um:

    $\sin\alpha = n \cdot \sin\beta~~~~~~~~~~~|:n$

    $\Rightarrow \dfrac{\sin\alpha}{n}=\sin\beta$

    Nun setzen wir die gegebenen Werte ein:

    $\dfrac{\sin50^\circ}{1{,}5}=\sin\beta$

    Nachdem wir $\sin(50^\circ)=0{,}77$ mit dem Taschenrechner berechnet haben, setzen wir dies in unsere Gleichung ein:

    $\dfrac{0{,}77}{1{,}5}=\sin\beta$

    $\Rightarrow 0{,}51=\sin\beta$

    Um den Brechungswinkel $\beta$ zu finden, nehmen wir den Arkussinus (auch als $sin^{-1}$ bezeichnet) von $0{,}51$:

    $\beta=\sin^{-1}(0{,}51)\approx30{,}66^\circ$

    Der Brechungswinkel vor dem Regenschauer beträgt also $30{,}66^\circ$.


    Brechungswinkel nach dem Regenschauer:

    Jetzt, nachdem sich eine Wasserschicht auf der Oberfläche der Glasscheibe befindet, ändert sich der Brechungsindex: Der Brechungsindex von Wasser ist $n_{\text{Wasser}} \approx 1,33$.

    Beim Übergang vom Glas ins Wasser müssen wir das Snelliussche Gesetz in vollständiger Form berücksichtigen, da wir zwei von einem verschiedene Brechungsindizes haben. Es gilt:

    $\sin\beta \cdot n_{2} = \sin\alpha \cdot n_{1}$

    Dabei ist dann gemäß unseren Voraussetzungen:

    • $n_{1}=n_\text{Glas}=1,5$
    • $n_{2}=n_\text{Wasser}=1,33$
    • $\alpha = 30{,}66^\circ$

    Beim zweiten Teil der Aufgabe wird tatsächlich nicht der Einfallswinkel von $50^\circ$ verwendet, sondern der bereits berechnete Brechungswinkel im Glas von etwa $30{,}66^\circ$. Das hat einen grundlegenden physikalischen Hintergrund:

    Wenn der Lichtstrahl von Luft in das Glas eintritt und sich dabei bricht, dann ändert sich seine Richtung, was durch den Einfallswinkel und den Brechungswinkel im Glas beschrieben wird. Tritt jedoch eine weitere Brechung auf, wie es der Fall ist, wenn der Lichtstrahl von Glas in Wasser übergeht, dann ist es wichtig, den Winkel im Glas (den Brechungswinkel) als Ausgangspunkt für die Berechnung zu verwenden, da das Licht bereits im Glas gebrochen wurde und die Grenzfläche zwischen Glas und Wasser eine neue Situation darstellt.

    Der Winkel, unter dem das Licht aus dem Glas in das Wasser eintritt, wird durch den Brechungswinkel im Glas und die Brechungsindizes von Glas und Wasser bestimmt. Das Brechungsgesetz muss also auf den bereits gebrochenen Lichtstrahl im Glas angewendet werden, um den weiteren Winkel in Bezug auf das Lot im Wasser zu berechnen.

    Wir formen jetzt die obige Gleichung nach $\sin\beta$ um:

    $\sin\beta = \dfrac{n_{1}}{n_{2}} \cdot \sin\alpha$

    Wir setzen schrittweise ein:

    $\dfrac{n_{1}}{n_{2}}=\dfrac{1{,}5}{1{,}33} = 1{,}13$

    Dann berechnen wir den $\sin(30{,}66^\circ)=0{,}51$.

    Insgesamt setzen wir alles ein:

    $\sin\beta = 1{,}13 \cdot 0{,}51 = 0{,}58$

    Um den Brechungswinkel $\beta$ zu finden, nehmen wir den Arkussinus ($\arcsin$, auf dem Taschenrechner auch als $\sin^{-1}$ bezeichnet) von $0{,}58$:

    $\beta=\sin^{-1}(0{,}58)\approx 35{,}45^\circ$

    Der Brechungswinkel nach dem Regenschauer beträgt also $35{,}45^\circ$.


    Hinweis: Hast du die Rechnungen in jeweils einem Schritt durchgeführt, also in deinen Taschenrechner $\arcsin(\sin(50^\circ){:}1{,}5))$ eingegeben, erhältst du $30{,}71^\circ$ für den Brechungswinkel vor dem Regen und bei entsprechender Eingabe $35{,}17^\circ$ für den Brechungswinkel nach dem Regen.