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Gauß-Quadratur 05:37 min

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Transkript Gauß-Quadratur

Hi, in diesem Video geht es um die Gauß-Quadratur. Mithilfe der Gauß-Quadratur kann man den Wert von Integralen approximieren. Für Polynome von Grad kleiner gleich 2n-1 gilt Folgendes: Das Integral dieses Polynoms in den Grenzen -1 bis 1=? (i=1;n) über (?i)×p(xi), lässt sich also als eine Summe darstellen. Voraussetzung dafür ist, dass man geeignete Gewichte ?i und geeignete Stützstellen xi wählt. Diese geeigneten Gewichte beziehungsweise Stützstellen möchte ich für n=1 bis 3 jetzt angeben. Für n=1 ist das Gewicht 2 und die Stützstelle 0. Für n=2 sind beide Gewichte 1 und die Stützstelle -1÷\sqrt3 und +1÷\sqrt3. Für n=3 haben wir diese Gewichte und Stützstellen und wir sehen hier schon die Tendenz: Die Stützstellen sind immer symmetrisch um den Punkt null. Für Polynome vom Grad kleiner gleich 2n-1 gilt diese Formel also exakt. Für alle Funktionen f gilt jetzt das Folgende: Das Integral der Funktion f im Bereich von -1 bis +1 kann durch diese Summe angenähert werden. Da diese Form nur für Integrale im Bereich von -1 bis +1 gilt, müssen wir nun Folgendes tun: Wir müssen unser gegebenes Problem auf das Intervall [-1,1] transformieren. Wir haben jetzt hier also allgemein ein Problem, bei dem wir das Integral in den Bereich von a bis b ausrechnen wollen und nennen die Variable hier jetzt t. Und diesen Bereich a,b transformieren wir jetzt auf das Intervall  [-1,+1]. Wenn wir in unserem Ausgangsproblem die Variable t haben und x als neue Variable für unser Intervall [-1,1] einführen, dann besteht der Zusammenhang t=(a+b)/2+((b-a))/2)x. Aus unserem Ausgangsproblem wird also durch die Transformation jetzt dieses Integral, und da dieses jetzt im Bereich von -1 bis +1 ist, können wir unsere Abschätzung treffen. Also unser Integral wieder durch eine Summe abschätzen. Jetzt sehen wir uns ein Beispiel dazu an: Wir haben also dieses Integral und wollen den Wert mithilfe der Gauß-Quadratur approximativ bestimmen. Unsere Grenzen sind also -2 und +2 und unsere Funktion e^-t2. Als Erstes müssen das jetzt wieder auf das Intervall [-1,1] transformieren. Wir müssen jetzt also die Grenzen a und b in unsere Transformationsformel einsetzen, das jetzt noch ausrechnen. Für unser neues Integral in den Grenzen -1 bis 1 müssen wir jetzt also für t 2x einsetzten. Und gemäß Formel steht vor dem Integral jetzt noch der Faktor (b-a)/2 also 2-(-2)/2. Das können wir jetzt wieder durch diese Summe abschätzen. Für n wählen wir den Wert 3, das heißt, wir machen eine Gaußquadratur in Dreiknotenpunkten. Hier noch einmal die Gewichte und Stützstellen für den Fall n=3. Wir schreiben unsere Summe jetzt erst einmal aus. Jetzt setzen wir die Gewichte und die Stützstellen ein. Und das müssen wir noch ausrechnen. Und unser Ergebnis ist dann: 1,7806. Das ist jetzt also die Approximation unseres Integrals und das war es auch schon zur Gauß-Quadratur, bis zum nächsten Mal. Tschau.      

4 Kommentare
  1. Default

    Die Frage am Ende des Videos lässt sich nicht mit der richtigen Antwort beantworten.

    Von Simon Boehling, vor etwa einem Monat
  2. Default

    Woher weiß ich wie viele Stützstellen zur Berechnung benötigt werden? Zum Beispiel wie viel Stützstellen benötigt man bei einem polynom 7. Grades?

    Von Daniel C Sutter, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    das Ergebniss sollte 1,9794 sein.

    Von Gerhard A Moser, vor etwa 3 Jahren
  4. Default

    Hallo,
    Bei dem Beispiel stimmt das Endergebniss nicht, da für x1 scheinbar
    -sqrt(5/3) eingesetzt wurde und nicht wie erklärte -sqrt(3/5) und bei x3 der gleiche "Dreher". Laut Quadraturtabelle stimmt jedenfalls +-sqrt(3/5)

    Von Gerhard A Moser, vor etwa 3 Jahren
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