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Die Regel von (Bernoulli-) de l'Hôpital 08:16 min

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Transkript Die Regel von (Bernoulli-) de l'Hôpital

Die Regel von Bernoulli l'Hôpital. Zu was brauchen wir das? Zur Berechnung von Grenzwerten von gebrochenrationalen Funktionen. Eine gebrochenrationale Funktion ist z. B. (2+4x2)/(3x-1) Wir begreifen den Zähler, also 2+4x2 als f(x), also als Extrafunktion und den Nenner als Extrafunktion als g(x), also 3x-1=g(x). Berechnen wir nun den Grenzwert. Dazu bilden wir den Limes von f(x)/g(x) für x->x0. x0 ist meistens die Definitionslücke, also die Nullstelle von g(x). x kann aber auch jede beliebige andere Zahl sein oder der Ausdruck +/-∞.  Wenn wir bei der Grenzwertberechnung nun 0/0 oder +-∞/+-∞ herausbekommen, dann können wir mit diesem Term nicht wirklich etwas anfangen. Wir wissen nicht, wie wir die verwerten können. Dazu brauchen wir Bernoulli l'Hôpital. Um den Grenzwert von f(x)/g(x) für x->x0 zu berechnen, müssen wir laut Bernoulli l'Hôpital die erste Ableitung von f(x) also f'(x) und von g(x) also g'(x) bilden. Die Regel von Bernoulli l'Hôpital besagt nun, dass der Limes von f'(x)/g'(x) für x->x0 = dem Limes von f(x)/g(x) für x->x0 ist, ist gleich g. Beide Male berechnen wir den gleichen Wert g, nämlich den Grenzwert. Es ist also egal, ob wir die 1. Ableitung oder die Ausgangsfunktion betrachten. Betrachten wir nun ein Beispiel. Und zwar lim (x+1)/(2x+3) für x->∞ Wenn wir für x ∞ einsetzen, dann ergibt sich im Zähler ∞+1 und das geht gegen das Unendliche. Wenn wir ∞ in den Nenner einsetzen, dann ergibt sich dort 2x∞+3 und das strebt ebenfalls gegen das Unendliche. ∞/∞ ist nicht definiert. Wir können mit diesem Term nichts anfangen, also brauchen wir Bernoulli l'Hôpital. Bilden wir also die ersten Ableitungen. Zuerst die Zählerableitung. f(x)=x+1 also ist f'(x)=1 Und nun die Nennerfunktion g(x)=2x+3 also ist g'(x)=2 Bernoulli l'Hôpital besagt ja nun, dass der Limes der 1. Ableitung gleich dem Limes der Ausgangsfunktion ist. Also lim f(x)/g(x) x->∞=lim f'(x)/g'(x) x->∞ Setzen wir nun die Ableitungen ein, dadurch erhalten wir den lim 1/2 von x->∞. Da das x weggefallen ist, ist der Grenzwert nun 1/2. Nun ein etwas komplizierteres Beispiel. lim (2-x2-2cos(x))/x2 für x->0 Setzen wir nun für x 0 ein. 2 bleibt konstant, weil es kein x enthält. -02, also -0, -2×cos0. Was ist nun der cos0? Dazu ein Tipp von mir. Wenn ihr mit Cosinus und Sinus rechnen müsst, dann zeichnet euch die Funktion mit einer Schablone vor und lest dann die Zahlen einfach ab. Wir sehen nun hier, dass der Cosinus an der Stelle 0 = 1 ist. cos0=1 Nun der Nenner: 02=0 Ziehen wir den Zähler nun zusammen 2-2=0/0 - dieser Bruch ist für uns wieder nicht definiert. Wer hätte das gedacht? Wir brauchen Bernoulli l'Hôpital. Dazu als erstes die 1. Ableitung: Die Zählerfunktion f(x)=2-x2-2cos(x) ist abgeleitet f'(x)=-2x+2sin(x) Aus dem Minus wird ein Plus, da cos(x) abgeleitet -sin(x) ist. Nun die Nennerfunktion

g(x)=x2 g'(x)=2x lim f(x)/g(x) x->0=lim f'(x)/g'(x) x->0 Nun setzen wir für die Ableitungen ein lim (-2x+2sin(x))/(2x) x->0 Berechnen wir nun den Grenzwert, indem wir für x=0 einsetzen. Dadurch ergibt sich im Zähler -0+2×sin(0). Auf unserer Zeichnung sehen wir, dass die Sinusfunktion an der Stelle x=0 gerade die x-Achse schneidet. Dementsprechend ist sin(0)=0. Nun weiter mit dem Nenner: 2×0=0. Daraus ergibt sich für den Grenzwert 0/0. Mit diesem Term können wir wieder nichts anfangen. Wir brauchen noch einmal Bernoulli. Wir leiten also die Funktion nochmals ab. f'(x)=-2x+2sin(x) f''(x)=-2+2cos(x) g'(x)=2x also ist g''(x)=2 Der lim f'(x)/g'(x) x->0=lim f''(x)/g''(x) x->0 Setzen wir die Ableitungen ein lim (-2+2cos(x))/2 x->0 Wir setzen nun die 0 ein und berechnen den Grenzwert. Dafür ergibt sich im Zähler -2+2×cos(0) Auf unserer Funktion sehen wir wieder, dass der cos(0)=1 ist. Im Nenner bleibt die 2 stehen. Rechnen wir zusammen: -2+2=0/2=0 Der Grenzwert der Ausgangsfunktion ist also 0. Fazit: Mit Bernoulli l'Hôpital kann ich Grenzwerte von gebrochenrationalen Funktionen berechnen. Ich kann Bernoulli l'Hôpital mehrfach auf dieselbe Aufgabe anwenden, solange bis g?(x)=0 ist. Mit g? ist gemeint g1, g2, g3 so lange ich kann g hoch irgendetwas solange ableiten, bis es gleich 0 ist. Dann kann ich Bernoulli nicht mehr anwenden, denn wir hätten eine 0 im Nenner stehen, da g(x) im Nenner steht und die Division durch 0 ist nicht definiert.