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Binomialkoeffizient – Exkurs

Der Binomialkoeffizient ist ein wichtiges Werkzeug im Bereich der Kombinatorik.

Binomialkoeffizient

Mithilfe des Binomialkoeffizienten kannst du eine der Grundaufgaben in der Kombinatorik lösen. Er gibt nämlich die Anzahl der Möglichkeiten (Kombinationen) an, aus einer Menge von insgesamt $n$ Elementen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge genau $k$ Elemente zu ziehen.

Der Binomialkoeffizient wird geschrieben als “$n$ über $k$” und ist wie folgt definiert:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Als spezielle Formen sind zu beachten:

$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$

$\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} = 1$

Das bekannteste Beispiel für das Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ist Lotto ($6$~ aus ~$49$). Beim Ziehen der ersten Kugel hat man $49$ Ergebnisse, bei der zweiten Kugel $48$ Möglichkeiten usw. Da es ja nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Kugeln ankommt, wird anschließend noch durch $6!$ (Anzahl der Permutationen) geteilt. Beim Lotto ergibt sich demnach folgende Anzahl möglicher Kombinationen:

$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!} = 13983816$

Den Binomialkoeffizienten kannst du also wie folgt schreiben:

$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2) ... (n-k+1)}{k(k-1)(k-2) … 2\cdot 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Eine einfache Möglichkeit, Binomialkoeffizienten mit kleinen Zahlen zu berechnen, ist das Pascalsche Dreieck.

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