Wurzeln und irrationale Zahlen (4) 04:20 min

Hallo, wir waren schon mit dem Beweis soweit gekommen, bis zu dieser Gleichung hier und ich habe die Frage gestellt: Wenn die linke Seite der Gleichung gerade ist, was folgt daraus für p? Ist p gerade oder ungerade? p² ist gerade, das wissen wir schon, ist p also nun gerade oder ungerade? Wenn wir eine gerade Zahl haben dann können wir die ja so notieren als 2×n, n soll eine natürliche Zahl sein. Jede gerade Zahl ist ja eine natürliche Zahl. Wenn diese natürliche Zahl gerade ist, ist sie durch 2 teilbar, das bedeutet wir bekommen eine natürliche Zahl die mit 2 multipliziert diese Ausgangszahl ergibt. Was erklär ich da? Ich denk das ist völlig klar. Manchmal kann man auch zu viel erklären... Ich hoffe ich hab das gerade nicht gemacht. Also 2×n ist eine gerade Zahl, die ihr jetzt quadriert. Dann kommt da 4×n² raus. Es wird also eine Zahl rauskommen, die durch 4 teilbar ist. Immer wenn man eine gerade Zahl quadriert, kommt eine Zahl raus, die durch 4 teilbar ist, damit ist es wieder eine gerade Zahl, denn eine Zahl die durch 4 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar. Was passiert wenn man eine ungerade Zahl quadriert? Ungerade Zahlen kann man immer 2×n+1 schreiben, denn eine ungerade Zahl ist ja eine gerade Zahl +1. Beziehungsweise man kann ja für n hier auch 0 einsetzen, und 1 kommt dann heraus. 1 ist auch eine ungerade Zahl. Wenn man die also quadriert, wird das Ergebnis dann gerade, oder wird es ungerade? Um dieses Ergebnis zu quadrieren, brauchen wir unsere schönen binomischen Formeln. Dann haben wir hier (2×n)² + 2ab steht in der binomischen Formel, dann ist hier a der erste Summant, b ist der zweite Summant, hier also die 1+ b² kommt ans Ende. In diesem Fall ist es also 1². Ja, und das kann man natürlich noch weiter umformen (2×n)² =4×n + 2×2×n+1 macht 4×n, (1×1)² ist 1 und damit hat das Ergebnis diese Form hier: 4×n²+4×n+1. Die Frage bleibt: Ist das jetzt hier eine gerade oder ungerade Zahl? Es ist eine ungerade Zahl! 4×n² ist gerade, ist eine Zahl die durch 4 teilbar ist. Wir addieren dazu 4×n, 4×n ist eine gerade Zahl. Die Addition zweier gerader Zahlen ist immer gerade. Wenn aber das bis hierhin gerade ist, von da bis da, dann kommt jetzt noch die 1 hinzu und damit ist es ungerade. Und das gilt für alle ungeraden Zahlen: Immer wenn man eine ungerade Zahl quadriert, kommt eine ungerade Zahl heraus. Wenn man eine gerade Zahl quadriert, kommt eine gerade Zahl heraus. Das bedeutet hier  für unsere Gleichung: Wir wissen auf der linken Seite steht eine gerade Zahl, diese Zahl hier ist durch 2 teilbar, 2×q² ist natürlich durch 2 teilbar. p² ist auch eine gerade Zahl. Aber mit dieser Überlegung hier wissen wir dass nicht nur p² sondern auch p eine gerade Zahl ist. Und wie man damit weiterrechnet, das zeig ich im dritten Teil dieses Beweises. Bis dahin viel Spaß, tschüss!