Wurzeln und irrationale Zahlen (4)

Wurzeln und irrationale Zahlen (4) Übung

• Stelle dar, warum für gerade Zahlen auch deren Quadrat gerade ist.

  Tipps

  Was zeichnet eine gerade Zahl aus?

  Gerade Zahlen sind $2$, $4$, $6$, $8$, ...

  Erkennst du eine Gemeinsamkeit?

  Ein Produkt wird potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird.

  Jede durch $4$ teilbare Funktion ist auch durch $2$ teilbar.

  Lösung

  Jede gerade Zahl $p$ lässt sich als Vielfaches von $2$ schreiben, also $p=2n$. Will man nun $p$ quadrieren, kann man auch $2n$ quadrieren:

  $p^2=(2n)^2$.

  Ein Produkt wird quadriert, indem man jeden der Faktoren quadriert. Somit ist

  $p^2=4n^2$.

  Da in der rechten Seite der Faktor $4$ steht, ist diese Zahl sicher durch $4$ teilbar. Damit ist die Zahl auch durch $2$ teilbar, also gerade.

• Gib an, ob das Quadrat einer ungeraden Zahl gerade oder ungerade ist.

  Tipps

  Es gilt, dass das Produkt zweier ungeraden Zahlen selbst wieder gerade ist.

  Eine ungerade Zahl liegt immer zwischen zwei geraden Zahlen. Anders ausgedrückt: Sie ist immer um $1$ größer bzw. um $1$ kleiner als eine gerade Zahl.

  Verwende die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ mit $a=2n$ und $b=1$.

  Lösung

  Es soll untersucht werden, ob das Quadrat einer ungeraden Zahl gerade oder ungerade ist:

  1. Jede ungerade Zahl lässt sich schreiben als $p=2n+1$.
  2. Dann ist $p^2=(2n+1)^2$.
  3. Die rechte Seite kann mit der ersten binomischen Formel berechnet werden: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Es ist $a=2n$ und $b=1$ und somit

  $(2n+1)^2=(2n)^2+2\cdot 2n\cdot 1+1^2=4n^2+4n+1$.

  Zuletzt wird diese Zahl untersucht, ob sie gerade ist oder ungerade:

  • $4n^2$ und $4n$ sind gerade Zahlen.
  • Da die Summe zweier gerader Zahlen wieder gerade ist, ist auch $4n^2+4n$ gerade.
  • Wenn man zu einer geraden Zahl $1$ addiert, erhält man eine ungerade Zahl.

  Das bedeutet, dass das Quadrat einer ungeraden Zahlen auch eine ungerade Zahl ist.

• Weise nach, dass die Summe zweier Zahlen ungerade ist, wenn der eine Summand gerade und der andere ungerade ist.

  Tipps

  Eine gerade Zahl ist ein Vielfaches von $2$.

  Eine ungerade Zahl ist eine gerade Zahl plus $1$.

  Die Addition ist kommutativ. Das bedeutet, dass es für den Nachweis nicht von Bedeutung ist, ob die ungerade Zahl der linke oder rechte Summand ist.

  Lösung

  Da die Addition kommutativ ist, kann man davon ausgehen, dass bei der Summe $p+q$ die linke Zahl $p$ ungerade und die rechte $q$ gerade ist. Es gilt

  • $p=2n+1$ und
  • $q=2m$,

  wobei $m$ und $n$ natürliche Zahlen sind.

  Somit ist $p+q=2n+1+2m=2n+2m+1=2(n+m)+1$.

  Der erste Summand auf der rechten Seite $2(n+m)$ ist sicher gerade, da $2$ als Faktor davor steht. Dadurch, dass $1$ addiert wird, erhält man eine ungerade Zahl.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Wenn du bei einer Aussage glaubst, dass sie nicht stimmt, dann genügt ein Gegenbeispiel.

  Schreibe gerade Zahlen als Vielfaches von $2$ und ungerade als Vielfaches von $2$ plus $1$.

  Zum Beispiel ist die Summe zweier ungerader Zahlen $p$ und $q$ gerade:

  $2n+1+2m+1$.

  Rechne nun weiter.

  Lösung

  Wie sieht dies mit Summen oder Produkten von geraden und/oder ungeraden Zahlen aus?

  • Die Summe zweier ungerader Zahlen ist immer gerade: Sind $p=2m+1$ und $q=2n+1$ ungerade Zahlen, dann ist $p+q=2\cdot (m+n+1)$ eine gerade Zahl. Ähnlich kann man zeigen: Die Summe zweier geraden Zahlen ist immer gerade und die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.
  • Das Produkt zweier ungeraden Zahlen ist immer ungerade: Sind $p=2m+1$ und $q=2n+1$ ungerade Zahlen, dann ist $p\cdot q=(2m+1)\cdot (2n+1)=4mn+2m+2n+1=2\cdot (2mn+m+n)+1$ wieder eine ungerade Zahl. Ähnlich kann man zeigen: Das Produkt zweier gerader Zahlen ist immer gerade und das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.

• Gib an, welche Formel verwendet wird, um $(2n+1)^2$ zu berechnen.

  Tipps

  Tatsächlich ist diese Formel nicht nach einem Mathematiker benannt; selbst wenn es sich so anhört.

  Es gibt drei solcher Formeln:

  1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  3. $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

  Lösung

  Um zu untersuchen, ob eine ungerade Zahl quadriert gerade oder ungerade ist, kann man zunächst diese Zahl als Summe einer geraden Zahl und der $1$ schreiben.

  Also ist $p=2n+1$.

  Damit ist $p^2=(2n+1)^2$.

  Auf der rechten Seite steht das Quadrat eines Summenterms. Dies ist die erste binomische Formel

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Hier ist $a=2n$ und $b=1$:

  $(2n+1)^2=(2n)^2+2\cdot 2n\cdot 1+1^2=4n^2+4n+1$. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist also wieder ungerade.

• Arbeite den Beweis heraus, dass $\sqrt 2$ kein Bruch sein kann mit ungeradem Zähler und geradem Nenner.

  Tipps

  Eine gerade Zahl ist durch $2$ teilbar oder lässt sich andersherum als Vielfaches von $2$ schreiben.

  Ist eine Zahl durch $4$ teilbar, dann ist sie sicher auch gerade.

  Die Summe zweier geraden Zahlen ist gerade.

  Addiert man zu einer geraden Zahl $1$, erhält man eine ungerade Zahl.

  Lösung

  Wenn man annimmt, dass $\sqrt 2$ rational ist, so lässt sich dies wie folgt schreiben:

  $\sqrt 2=\frac pq$.

  Wir kürzen den Bruch solange mit $2$ bis einer der folgende Fälle auftritt:

  • $\sqrt 2=\frac{2n}{2m+1}$ oder
  • $\sqrt 2=\frac{2n+1}{2m}$ oder
  • $\sqrt 2=\frac{2n+1}{2m+1}$.

  Hier wird der Beweis für den mittleren der drei Fälle erbracht:

  $\begin{align*} \sqrt 2&=\frac{2n+1}{2m}&|&(~)^2\\ 2&=\frac{(2n+1)^2}{(2m)^2}&|&\cdot (2m+1)^2\\ 2\cdot (2m)^2&=(2n+1)^2\\ 2\cdot 4m^2&=4n^2+4n+1. \end{align*}$

  Nun steht auf der linken Seite der Gleichung eine gerade Zahl.

  Auf der rechten Seite die Summe aus zwei geraden Zahlen, $4n^2$ und $4n$, also wieder eine gerade Zahl, und $1$, und somit eine ungerade Zahl.

  Dies ist ein Widerspruch, da auf der linken Seite der Gleichung eine gerade und auf der rechten eine ungerade Zahl steht

  Die Annahme, dass $\sqrt 2$ ein Bruch mit ungeradem Zähler und geradem Nenner ist, muss somit falsch sein.