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Wurzeln und irrationale Zahlen (4)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Wurzeln und irrationale Zahlen (4)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wurzeln und irrationale Zahlen (4)

Wie geht der Beweis von Euklid nun weiter und endet er mit diesem Video? In diesem Video werden wir den indirekten Beweis fortsetzen, aber nicht beenden. Es wäre von Vorteil, wenn du dich mit geraden und ungeraden Zahlen auskennst. Außerdem solltest du noch wissen, was eine irrationale Zahl ist und wodurch sich irrationale von rationalen Zahlen unterscheiden. Wir müssen uns bei den nächsten Beweisschritten folgende Fragen stellen. Was passiert, wenn man eine gerade oder eine ungerade Zahl quadriert? Ist das Quadrat einer geraden Zahl erneut eine gerade Zahl?

Transkript Wurzeln und irrationale Zahlen (4)

Hallo, wir waren schon mit dem Beweis soweit gekommen, bis zu dieser Gleichung hier und ich habe die Frage gestellt: Wenn die linke Seite der Gleichung gerade ist, was folgt daraus für p? Ist p gerade oder ungerade? p2 ist gerade, das wissen wir schon, ist p also nun gerade oder ungerade? Wenn wir eine gerade Zahl haben dann können wir die ja so notieren als 2×n, n soll eine natürliche Zahl sein. Jede gerade Zahl ist ja eine natürliche Zahl. Wenn diese natürliche Zahl gerade ist, ist sie durch 2 teilbar, das bedeutet wir bekommen eine natürliche Zahl die mit 2 multipliziert diese Ausgangszahl ergibt. Was erklär ich da? Ich denk das ist völlig klar. Manchmal kann man auch zu viel erklären... Ich hoffe ich hab das gerade nicht gemacht. Also 2×n ist eine gerade Zahl, die ihr jetzt quadriert. Dann kommt da 4×n2 raus. Es wird also eine Zahl rauskommen, die durch 4 teilbar ist. Immer wenn man eine gerade Zahl quadriert, kommt eine Zahl raus, die durch 4 teilbar ist, damit ist es wieder eine gerade Zahl, denn eine Zahl die durch 4 teilbar ist, ist auch durch 2 teilbar. Was passiert wenn man eine ungerade Zahl quadriert? Ungerade Zahlen kann man immer 2×n+1 schreiben, denn eine ungerade Zahl ist ja eine gerade Zahl +1. Beziehungsweise man kann ja für n hier auch 0 einsetzen, und 1 kommt dann heraus. 1 ist auch eine ungerade Zahl. Wenn man die also quadriert, wird das Ergebnis dann gerade, oder wird es ungerade? Um dieses Ergebnis zu quadrieren, brauchen wir unsere schönen binomischen Formeln. Dann haben wir hier (2×n)2 + 2ab steht in der binomischen Formel, dann ist hier a der erste Summant, b ist der zweite Summant, hier also die 1+ b2 kommt ans Ende. In diesem Fall ist es also 12. Ja, und das kann man natürlich noch weiter umformen (2×n)2 =4×n + 2×2×n+1 macht 4×n, (1×1)2 ist 1 und damit hat das Ergebnis diese Form hier: 4×n2+4×n+1. Die Frage bleibt: Ist das jetzt hier eine gerade oder ungerade Zahl? Es ist eine ungerade Zahl! 4×n2 ist gerade, ist eine Zahl die durch 4 teilbar ist. Wir addieren dazu 4×n, 4×n ist eine gerade Zahl. Die Addition zweier gerader Zahlen ist immer gerade. Wenn aber das bis hierhin gerade ist, von da bis da, dann kommt jetzt noch die 1 hinzu und damit ist es ungerade. Und das gilt für alle ungeraden Zahlen: Immer wenn man eine ungerade Zahl quadriert, kommt eine ungerade Zahl heraus. Wenn man eine gerade Zahl quadriert, kommt eine gerade Zahl heraus. Das bedeutet hier  für unsere Gleichung: Wir wissen auf der linken Seite steht eine gerade Zahl, diese Zahl hier ist durch 2 teilbar, 2×q2 ist natürlich durch 2 teilbar. p2 ist auch eine gerade Zahl. Aber mit dieser Überlegung hier wissen wir dass nicht nur p2 sondern auch p eine gerade Zahl ist. Und wie man damit weiterrechnet, das zeig ich im dritten Teil dieses Beweises. Bis dahin viel Spaß, tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. also es wäre mir neu, das wenn man eine negaitve Zahl Quadriert, auch eine negative Zahl raus kommt?

    Von Deleted User 925564, vor etwa einem Jahr
  2. Super Videos! Viel leichter als ich gedacht hatte. Vielen Dank :)

    Von Jule P., vor etwa 6 Jahren

Wurzeln und irrationale Zahlen (4) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln und irrationale Zahlen (4) kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle dar, warum für gerade Zahlen auch deren Quadrat gerade ist.

    Tipps

    Was zeichnet eine gerade Zahl aus?

    Gerade Zahlen sind $2$, $4$, $6$, $8$, ...

    Erkennst du eine Gemeinsamkeit?

    Ein Produkt wird potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird.

    Jede durch $4$ teilbare Funktion ist auch durch $2$ teilbar.

    Lösung

    Jede gerade Zahl $p$ lässt sich als Vielfaches von $2$ schreiben, also $p=2n$. Will man nun $p$ quadrieren, kann man auch $2n$ quadrieren:

    $p^2=(2n)^2$.

    Ein Produkt wird quadriert, indem man jeden der Faktoren quadriert. Somit ist

    $p^2=4n^2$.

    Da in der rechten Seite der Faktor $4$ steht, ist diese Zahl sicher durch $4$ teilbar. Damit ist die Zahl auch durch $2$ teilbar, also gerade.

  • Gib an, ob das Quadrat einer ungeraden Zahl gerade oder ungerade ist.

    Tipps

    Es gilt, dass das Produkt zweier ungeraden Zahlen selbst wieder gerade ist.

    Eine ungerade Zahl liegt immer zwischen zwei geraden Zahlen. Anders ausgedrückt: Sie ist immer um $1$ größer bzw. um $1$ kleiner als eine gerade Zahl.

    Verwende die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ mit $a=2n$ und $b=1$.

    Lösung

    Es soll untersucht werden, ob das Quadrat einer ungeraden Zahl gerade oder ungerade ist:

    1. Jede ungerade Zahl lässt sich schreiben als $p=2n+1$.
    2. Dann ist $p^2=(2n+1)^2$.
    3. Die rechte Seite kann mit der ersten binomischen Formel berechnet werden: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Es ist $a=2n$ und $b=1$ und somit
    $(2n+1)^2=(2n)^2+2\cdot 2n\cdot 1+1^2=4n^2+4n+1$.

    Zuletzt wird diese Zahl untersucht, ob sie gerade ist oder ungerade:

    • $4n^2$ und $4n$ sind gerade Zahlen.
    • Da die Summe zweier gerader Zahlen wieder gerade ist, ist auch $4n^2+4n$ gerade.
    • Wenn man zu einer geraden Zahl $1$ addiert, erhält man eine ungerade Zahl.
    Das bedeutet, dass das Quadrat einer ungeraden Zahlen auch eine ungerade Zahl ist.

  • Weise nach, dass die Summe zweier Zahlen ungerade ist, wenn der eine Summand gerade und der andere ungerade ist.

    Tipps

    Eine gerade Zahl ist ein Vielfaches von $2$.

    Eine ungerade Zahl ist eine gerade Zahl plus $1$.

    Die Addition ist kommutativ. Das bedeutet, dass es für den Nachweis nicht von Bedeutung ist, ob die ungerade Zahl der linke oder rechte Summand ist.

    Lösung

    Da die Addition kommutativ ist, kann man davon ausgehen, dass bei der Summe $p+q$ die linke Zahl $p$ ungerade und die rechte $q$ gerade ist. Es gilt

    • $p=2n+1$ und
    • $q=2m$,
    wobei $m$ und $n$ natürliche Zahlen sind.

    Somit ist $p+q=2n+1+2m=2n+2m+1=2(n+m)+1$.

    Der erste Summand auf der rechten Seite $2(n+m)$ ist sicher gerade, da $2$ als Faktor davor steht. Dadurch, dass $1$ addiert wird, erhält man eine ungerade Zahl.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Wenn du bei einer Aussage glaubst, dass sie nicht stimmt, dann genügt ein Gegenbeispiel.

    Schreibe gerade Zahlen als Vielfaches von $2$ und ungerade als Vielfaches von $2$ plus $1$.

    Zum Beispiel ist die Summe zweier ungerader Zahlen $p$ und $q$ gerade:

    $2n+1+2m+1$.

    Rechne nun weiter.

    Lösung

    Wie sieht dies mit Summen oder Produkten von geraden und/oder ungeraden Zahlen aus?

    • Die Summe zweier ungerader Zahlen ist immer gerade: Sind $p=2m+1$ und $q=2n+1$ ungerade Zahlen, dann ist $p+q=2\cdot (m+n+1)$ eine gerade Zahl. Ähnlich kann man zeigen: Die Summe zweier geraden Zahlen ist immer gerade und die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.
    • Das Produkt zweier ungeraden Zahlen ist immer ungerade: Sind $p=2m+1$ und $q=2n+1$ ungerade Zahlen, dann ist $p\cdot q=(2m+1)\cdot (2n+1)=4mn+2m+2n+1=2\cdot (2mn+m+n)+1$ wieder eine ungerade Zahl. Ähnlich kann man zeigen: Das Produkt zweier gerader Zahlen ist immer gerade und das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade.

  • Gib an, welche Formel verwendet wird, um $(2n+1)^2$ zu berechnen.

    Tipps

    Tatsächlich ist diese Formel nicht nach einem Mathematiker benannt; selbst wenn es sich so anhört.

    Es gibt drei solcher Formeln:

    1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    3. $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$.

    Lösung

    Um zu untersuchen, ob eine ungerade Zahl quadriert gerade oder ungerade ist, kann man zunächst diese Zahl als Summe einer geraden Zahl und der $1$ schreiben.

    Also ist $p=2n+1$.

    Damit ist $p^2=(2n+1)^2$.

    Auf der rechten Seite steht das Quadrat eines Summenterms. Dies ist die erste binomische Formel

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Hier ist $a=2n$ und $b=1$:

    $(2n+1)^2=(2n)^2+2\cdot 2n\cdot 1+1^2=4n^2+4n+1$. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist also wieder ungerade.

  • Arbeite den Beweis heraus, dass $\sqrt 2$ kein Bruch sein kann mit ungeradem Zähler und geradem Nenner.

    Tipps

    Eine gerade Zahl ist durch $2$ teilbar oder lässt sich andersherum als Vielfaches von $2$ schreiben.

    Ist eine Zahl durch $4$ teilbar, dann ist sie sicher auch gerade.

    Die Summe zweier geraden Zahlen ist gerade.

    Addiert man zu einer geraden Zahl $1$, erhält man eine ungerade Zahl.

    Lösung

    Wenn man annimmt, dass $\sqrt 2$ rational ist, so lässt sich dies wie folgt schreiben:

    $\sqrt 2=\frac pq$.

    Wir kürzen den Bruch solange mit $2$ bis einer der folgende Fälle auftritt:

    • $\sqrt 2=\frac{2n}{2m+1}$ oder
    • $\sqrt 2=\frac{2n+1}{2m}$ oder
    • $\sqrt 2=\frac{2n+1}{2m+1}$.
    Hier wird der Beweis für den mittleren der drei Fälle erbracht:

    $\begin{align*} \sqrt 2&=\frac{2n+1}{2m}&|&(~)^2\\ 2&=\frac{(2n+1)^2}{(2m)^2}&|&\cdot (2m+1)^2\\ 2\cdot (2m)^2&=(2n+1)^2\\ 2\cdot 4m^2&=4n^2+4n+1. \end{align*}$

    Nun steht auf der linken Seite der Gleichung eine gerade Zahl.

    Auf der rechten Seite die Summe aus zwei geraden Zahlen, $4n^2$ und $4n$, also wieder eine gerade Zahl, und $1$, und somit eine ungerade Zahl.

    Dies ist ein Widerspruch, da auf der linken Seite der Gleichung eine gerade und auf der rechten eine ungerade Zahl steht

    Die Annahme, dass $\sqrt 2$ ein Bruch mit ungeradem Zähler und geradem Nenner ist, muss somit falsch sein.

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