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Was ist eine Lösungsmenge? 06:45 min

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Transkript Was ist eine Lösungsmenge?

Hallo, wenn Du weißt, was Gleichungen sind und wenn Du auch weißt, dass wir die Variablen in Gleichungen durch Zahlen ersetzen können und wir so Gleichungen erhalten, die richtig oder falsch sind, dann können wir in diesem Video jetzt mal definieren, was die Lösungsmenge einer Gleichung ist. Und dazu schauen wir uns erstmal an, was die Lösung einer Gleichung ist. Eine Zahl, die wir so in eine Gleichung einsetzen können, dass wir eine richtige Gleichung erhalten, heißt Lösung der Gleichung. Diese Zahl erfüllt die Gleichung. Das Wort Lösung kennst Du wahrscheinlich im Zusammenhang von Aufgabe und Lösung oder von Problem und Lösung, aber eine Gleichung ist ja kein Problem. Eine Gleichung ist einfach nur so da. Trotzdem spricht man hier halt von der Lösung einer Gleichung oder auch davon, dass die Gleichung gelöst ist. Wir haben zum Beispiel die Gleichung 13 - x = 9. Und wir können die Zahl „4“ statt des „x“ hinschreiben. Also ich schreibe jetzt die ganze Gleichung neu hin und erhalten so eine Gleichung, die richtig ist. Diese Zahl erfüllt diese Gleichung und damit ist die „4“ die Lösung der Gleichung. Die Gleichung (x - 2) * (x + 7) * (x - 1) = 0 hat mehrere Lösungen. Wir können nämlich für „x“ „2“ einsetzen und erhalten eine richtige Gleichung, denn 2 - 2 = 0 und wenn man etwas mit „0“ multipliziert, kommt auch „0“ heraus. Also ist „2“ eine Lösung der Gleichung. Wir können für „x“ aber auch „-7“ einsetzen und erhalten ebenfalls eine richtige Gleichung, denn -7 + 7 = 0 und wenn man die beiden Faktoren hier mit „0“ multipliziert, kommt auch Null heraus. Also erfüllt „-7“ diese Gleichung. Wir können außerdem noch „1“ einsetzen und erhalten wieder eine richtige Gleichung, denn 1 - 1 = 0. Irgendwas mal null ist gleich null. Also ist „1“ eine Lösung dieser Gleichung. Wenn wir von der Gesamtheit aller Lösungen einer Gleichung sprechen, sagen wir in der Mathematik nicht „Gesamtheit aller Lösungen“ dazu. Ja, ist halt so. Sondern wir sagen „Menge der Lösungen“ oder eben „Lösungsmenge“. Das hat nichts damit zu tun, dass eine Gleichung möglicherweise eine menge Lösungen hat, also im Sinne von ganz viele Lösungen. Sondern „Menge“ ist in der Mathematik einfach das Wort für Gesamtheit. So und dann können wir jetzt die Lösungsmenge definieren. Die Lösungsmenge einer Gleichung ist die Menge aller Lösungen der Gleichung. Und jetzt kommen noch Beispiele dazu. In die Gleichung x * x = 81 können wir für die Variable die Zahl „9“ einsetzen und erhalten eine richtige Gleichung, weil nämlich 9 * 9 = 81. Also ist „9“ eine Lösung dieser Gleichung. Wir können aber auch für die Variable „x“ „-9“ einsetzen und erhalten ebenfalls eine richtige Gleichung, weil nämlich (-9) * (-9) = 81. Also ist „-9“ auch eine Lösung dieser Gleichung. Die Elemente einer Menge, also die Dinge, die die Gesamtheit bilden, stehen immer in geschweiften Klammern, sind durch ein Semikolon getrennt. Und das hier ist jetzt die Lösungsmenge. Die Lösungsmenge hat immer das gleiche Symbol. Es ist ein „L“ mit einem Doppelstrich. In der Gleichung 15 - a = a + 3 können wir die Variable „a“ durch die Zahl „6“ so ersetzen, dass wir eine richtige Gleichung erhalten, denn 15 - 6 = 9 und sechs plus drei ist ebenfalls neun. Deshalb ist die Gleichung richtig. Die Zahl „6“ ist die einzige Zahl, die wir für „a“ so einsetzen können, dass wir eine richtige Gleichung erhalten. Also hat die Lösungsmenge dieser Gleichung nur ein einziges Element. Und das ist die Zahl „6“. Es gibt Gleichungen, wie diese hier, in die wir überhaupt keine Zahl so einsetzen können, dass wir eine richtige Gleichung erhalten, denn egal was wir für y einsetzen, wenn wir das was hier steht mit Null multiplizieren, kommt immer „0“ raus und niemals „1“. Auch diese Gleichung hat eine Lösungsmenge, aber diese Lösungsmenge ist leer. Und das ist das Zeichen für die leere Menge. Es gibt auch Gleichungen, die immer zur richtigen Gleichung führen, egal was wir für „x“ einsetzen. Das ist so eine Gleichung, denn 1 - 1/3 = 2/3. Das heißt, hier steht letzten Endes 2/3 - x und da steht auch 2/3 - x. Also ist es völlig egal, was wir für „x“ einsetzen. 2/3 - x ist immer das gleiche wie 2/3 - x. Die Lösungsmenge besteht damit aus allen Zahlen, die Du kennst. Wahrscheinlich hast Du in der Schule die rationalen Zahlen besprochen. Die Menge der rationalen Zahlen hat dieses Symbol, also ein „Q“ mit diesem Doppelstrich. Hier kommen keine Mengenklammern drum, denn dieses „Q“ mit dem Doppelstrich ist schon das Symbol für eine Menge. So, damit sind wir jetzt umfassend darüber informiert, was die Lösungsmenge einer Gleichung ist. Diese Menge besteht aus den Zahlen, die wir für die Variable der Gleichung so einsetzen können, dass wir eine richtige Gleichung erhalten. Und diese Menge kann aus allen Zahlen bestehen, sie kann aber auch leer sein oder sie kann eine oder auch mehrere Zahlen enthalten. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

2 Kommentare
  1. Supi

    Von Igriehl, vor fast 2 Jahren
  2. Nicht schlecht!!!!!!

    Von Igriehl, vor fast 2 Jahren

Was ist eine Lösungsmenge? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Lösungsmenge? kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne alle Lösungen der Gleichung $(x-2)\cdot (x+7)\cdot(x-1)=0$.

    Tipps

    Eine Zahl, die wir so in eine Gleichung einsetzen können, dass wir eine richtige Gleichung erhalten, heißt Lösung der Gleichung.

    Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Setze die jeweils gegebenen Werte in die linke Seite der Gleichung ein. Einer der Faktoren muss dann $0$ werden.

    Lösung

    Gesucht sind die Lösungen der Gleichung $(x-2)\cdot (x+7)\cdot(x-1)=0$.

    Du weißt sicher noch, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird:

    1. Der erste Faktor wird $0$ für $x=2$. Dann ist $(2-2)\cdot (2+7)\cdot(2-1)=0\cdot 9\cdot 1=0$ ✓
    2. Der zweite Faktor wird $0$ für $x=-7$. Dann ist $(-7-2)\cdot (-7+7)\cdot(-7-1)=-9\cdot 0\cdot (-8)=0$ ✓
    3. Der dritte Faktor wird $0$ für $x=1$. Dann ist $(1-2)\cdot (1+7)\cdot(1-1)=-1\cdot 8\cdot 0=0$ ✓
    Nun kannst du alle Lösungen zu der Lösungsmenge der Gleichung zusammenfassen:

    $\mathbb{L}=\{-7;1;2\}$

  • Definiere, was eine Lösung und was eine Lösungsmenge ist.

    Tipps

    Schaue dir das Beispiel $13-x=9$ an.

    Welchen Wert musst du für $x$ einsetzen, damit eine wahre Gleichung entsteht?

    Richtig: Die $4$, denn $13-4=9$ ✓

    Die Zahl $4$, für $x$ eingesetzt, löst somit die Gleichung $13-x=9$.

    Diese Zahl wird als Lösung der Gleichung bezeichnet.

    In dem Beispiel $13-x=9$ ist $\mathbb{L}=\{4\}$ die Lösungsmenge der Gleichung.

    Lösung

    Wir schauen uns zunächst einmal an, was unter der Lösung einer Gleichung verstanden wird.

    Gegeben ist das Beispiel $13-x=9$.

    Welche Zahl kannst du in diese Gleichung einsetzen, so dass sie erfüllt ist? Richtig: Die $4$, denn $13-4=9$ ✓

    Dies kann nun so definiert werden: Eine Zahl, die wir so in eine Gleichung einsetzen können, dass wir eine richtige Gleichung erhalten, heißt Lösung der Gleichung. Diese Zahl erfüllt die Gleichung.

    Die Lösung oder auch die Lösungen einer Gleichung werden zu einer Menge zusammengefasst, der sogenannten Lösungsmenge.

    Bei dem obigen Beispiel ist diese $\mathbb{L}=\{4\}$.

    Die Lösungsmenge einer Gleichung ist die Menge aller Lösungen dieser Gleichung.

  • Bestimme die zweielementigen Lösungsmengen der Gleichungen.

    Tipps

    Schaue dir ein Beispiel an:

    $(x+4)\cdot (x-1)=0$

    • Entweder ist $x+4=0$, also $x=-4$,
    • oder $x-1=0$, also $x=1$.

    Achte auf das Vorzeichen.

    Lösung

    Jede der Gleichung ist in faktorisierter Form gegeben. Du schaust dir also jeweils einen Faktor an und überlegst, wann dieser $0$ wird.

    $(x-2)\cdot (x+3)=0$ hat die Lösungen $x=2$ sowie $x=-3$, da

    • $(2-2)\cdot (2+3)=0\cdot 5=0$ und
    • $(-3-2)\cdot (-3+3)=-5\cdot 0=0$ ist.
    $3\cdot(x+1)\cdot (x-1)=0$ hat die Lösungen $x=-1$ sowie $x=1$. Zunächst kannst du durch $3$ dividieren und erhältst dann $(x+1)\cdot(x-1)=0$. Überprüfen wir die Lösungen:

    • $(-1+1)\cdot (-1-1)=0\cdot (-2)=0$
    • $(1+1)\cdot (1-1)=2\cdot 0=0$
    $(2x+4)\cdot (3x-6)=0$ hat die Lösungen $x=-2$ sowie $x=2$, da

    • $(2\cdot(-2)+4)\cdot (3\cdot (-2)-6)=0\cdot (-12)=0$ und
    • $(2\cdot2+4)\cdot (3\cdot 2-6)=8\cdot 0=0$ ist.
  • Gib die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ der jeweiligen Gleichung an.

    Tipps

    Die Lösungsmenge einer Gleichung wird mit dem Großbuchstaben L oder einem Doppelstrich geschrieben: $\mathbb{L}$.

    Die Lösungsmenge ist die Menge aller Lösungen einer Gleichung.

    Ein Gleichung kann auch mehr als eine Lösung besitzen.

    Sie kann auch keine Lösung besitzen.

    Wenn eine Gleichung keine Lösung besitzt, dann befindet sich keine Lösung in der Lösungsmenge. Diese ist also leer.

    Wenn eine Gleichung durch jede rationale Zahl gelöst werden kann, schreibst du:

    $\mathbb{L}=\mathbb{Q}$

    Schaue dir die folgenden Beispiele an:

    • Die Gleichung $13-x=9$ besitzt nur eine Lösung: $\mathbb{L}=\{4\}$.
    • Die Gleichung $x+3=x+2$ besitzt keine Lösung: $\mathbb{L}=\{\}$, die leere Menge.
    • Die Gleichung $3x+3=2x+3+x$ besitzt alle rationale Zahlen als Lösung, also $\mathbb{L}=\mathbb{Q}$.
    Lösung

    Wir schauen uns einmal ein paar Beispiele für Lösungsmengen an. In einer Lösungsmenge befinden sich alle Lösungen einer Gleichung.

    Die Gleichung $x\cdot x=81$ wird

    • sowohl durch $x=9$ gelöst, da $9\cdot 9=81$ ist,
    • als auch durch $x=-9$, da ebenfalls $-9\cdot (-9)=81$ ist.
    Damit ist die Lösungsmenge dieser Gleichung gegeben durch $\mathbb{L}=\{9;-9\}$.

    An dem folgenden Beispiel siehst du, wie du zu einer Lösung der Gleichung $15-a=a+3$ gelangst:

    Addiere auf beiden Seiten $a$ und subtrahiere $3$. So erhältst du $12=2a$. Dividiere nun durch $2$. Dies führt zu $a=6$. Damit ist die Lösungsmenge dieser Gleichung $\mathbb{L}=\{6\}$.

    Die Gleichung $(7,3-y)\cdot 0=1$ besitzt keine Lösung, da der Term in der Klammer mit $0$ multipliziert immer $0$ ergibt, also nicht $1$.

    Die Tatsache, dass die Gleichung keine Lösung besitzt, bedeutet jedoch nicht, dass die Gleichung keine Lösungsmenge besitzt, diese ist eben leer: $\mathbb{L}=\{\}$.

    Es kann auch passieren, dass du jeden beliebigen Wert für eine Unbekannte einsetzen kannst und die Gleichung immer erfüllt ist.

    $\frac23-x=1-x-\frac13$

    Da $1-\frac13=\frac23$ ist, steht auf beiden Seiten der Gleichung der gleiche Term: $\frac23-x=\frac23-x$ ist immer erfüllt, also ist $\mathbb{L}=\mathbb{Q}$.

  • Ordne jeder Gleichung ihre Lösung zu.

    Tipps

    Jede der gegebenen Gleichungen besitzt nur eine Lösung.

    Eine Zahl, die wir so in eine Gleichung einsetzen können, dass wir eine richtige Gleichung erhalten, heißt Lösung der Gleichung.

    Setze also die gegebenen Zahlen in die Gleichungen ein.

    Du kannst natürlich auch die Gleichung durch Äquivalenzumformungen lösen. Schaue dir hierfür das Beispiel $13-x=9$ an:

    1. Zuerst wird auf beiden Seiten $13$ subtrahiert.
    2. So erhältst du $-x=-4$.
    3. Multipliziere nun mit $-1$. So kommst du zu $x=4$.
    Es ist $13-4=9$ ✓

    Lösung

    Wenn du in die Gleichung $2x+3=x$ den Wert $x=-3$ einsetzt, erhältst du:

    $2\cdot (-3)+3=-6+3=-3$ ✓

    Du kannst eine Gleichung auch durch Umformungen lösen:

    Bei $x-10=2$ addierst du $10$ zu $x=12$.

    Die Gleichung $4-x=2+x$ wird durch $x=1$ gelöst, denn

    $4-1=3=2+1$ ✓

    Die letzte Gleichung $2x+3=33-x$ wird durch $x=10$ gelöst:

    $2\cdot 10+3=23=33-10$ ✓

  • Untersuche, welche Gleichungen die leere Menge als Lösungsmenge besitzen.

    Tipps

    Beachte, dass $0$ durchaus eine Lösung sein kann.

    Es gilt nicht $\{\}=\{0\}$. Denn in $\{\}$ ist keine Lösung enthalten, in $\{0\}$ ist eine Lösung enthalten, nämlich die $0$.

    Wenn du eine Zahl findest, welche die Gleichung erfüllt, kann die Lösungsmenge nicht leer sein.

    Schauen wir uns zwei Beispiele an:

    • Die Gleichung $x=2x$ besitzt die Lösung $x=0$, also ist $\mathbb{L}=\{0\}$.
    • Die Gleichung $x=2+x$ besitzt jedoch keine Lösung, also ist $\mathbb{L}=\{\}$.

    Eine der Gleichung hat sogar als Lösungsmenge die Menge der rationalen Zahlen.

    Drei der sechs Gleichungen haben eine leere Lösungsmenge.

    Lösung

    Es kann auch passieren, dass du keinen Wert für die Unbekannte findest, durch den die Gleichung zu einer wahren Aussage wird. Dann besitzt die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist dann leer: $\mathbb{L}=\{\}$.

    Dies ist bei den folgenden Gleichungen der Fall:

    • $3-x=5-x$. Wenn du auf beiden Seiten $x$ addierst, erhältst du $3=5$. Ist das richtig? Nein! Also besitzt die Gleichung keine Lösung.
    • $-2(x+1)=4-2x$. Wir dividieren die Gleichung durch $-2$ und erhalten $x+1=-2+x$. Wenn wir nun auf beiden Seiten $2$ addieren und $x$ abziehen, erhalten wir $3=0$. Die Gleichung besitzt keine Lösung.
    • $(x+1)\cdot 0+3=4$. Das Produkt $(x+1)\cdot 0$ ist immer $0$. Wenn du dann $3$ addierst, erhältst du $3$ und nicht $4$. Auch diese Gleichung besitzt keine Lösung.
    Zu den übrigen Gleichungen, deren Lösungsmenge nicht leer ist:

    • $3-x=5+x$ wird durch $x=-1$ gelöst, denn $3-(-1)=5-1$ ✓ Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{-1\}$.
    • $2(x+1)+2=4$ kann umgeformt werden zu $2x+2+2=4$, also $2x+4=4$. Subtrahiere nun $4$. Du erhältst damit $2x=0$, also $x=0$. Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{0\}$.
    • $3x+2-x=2(x+1)$. Schau mal genau hin. Auf beiden Seiten steht $2x+2$. Also kannst du jede rationale Zahl für $x$ einsetzen. Die Gleichung ist immer erfüllt: $\mathbb{L}=\mathbb{Q}$.