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Vektoren – elementare Sprechweisen

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Martin Wabnik
Vektoren – elementare Sprechweisen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Vektoren – elementare Sprechweisen

Analytische Geometrie ist ein großes Themengebiet in der Mathematik. Wir beschäftigen uns hauptsächlich mit verschiedenen geometrischen Konstrukten in der Mathematik. Damit wir dieses Thema der Mathematik besser verstehen können, findest du in diesem Video eine Art Einführung in die Schreib- bzw. Sprechweisen. Sie sind elementar, um sich mit diesem neuen Thema auseinanderzusetzen. Vor allem beschäftigen wir uns hier mit Vektoren. Was ist ein Nullvektor? Was ist ein Gegenvektor? Mithilfe einiger einfachen Beispielen wird die Definition dieser Vektoren erläutert.

Transkript Vektoren – elementare Sprechweisen

Hallo! Wenn wir mit Vektoren arbeiten wollen, ist es hilfreich, ein paar kleine Bezeichnungen und Eigenschaften zu kennen. Und ich möchte mal starten und das einfach mal hier so runterleiern. Wir haben einen Punkt im Raum. Zum Beispiel: Der heißt P, der könnte sich hier befinden. Wir haben einen weiteren Punkt, der könnte P' heißen. Der könnte sich dort befinden. Wenn wir nun von P zu P' gehen, dann diese Bewegung, die wir hier machen, eine Richtung. Und es hat eine bestimmte Länge. Das heißt, wenn klar ist, welcher von den beiden Punkten der Anfangs- und der Endpunkt ist, dann definieren zwei Punkte im Raum einen Vektor, der sich natürlich auch an anderen Stellen im Raum genauso befinden kann. Wie die Bewegung, die ist das die Gleiche, wenn ich sie hier mache, als auch, wenn ich sie hier mache. Also, nicht die gleiche, aber dieselbe Bewegung. Also, wenn diese beiden Punkte einen Vektor definieren, dann macht man da einen Pfeil drüber. Manchmal habe ich das auch gesehen mit einem Strich. Zum Beispiel: Wenn keine Punkte gegeben sind, sondern nur so allgemein von Vektoren die Rede ist, dann bezeichnen wir die mit kleinen Buchstaben und machen einen Pfeil darüber. Und das Ding heißt jetzt Vektor a. Zum Beispiel: Darum lässt man sie beim Schreiben mit der Hand oft weg, dann hat man nur einen halben. Aber Verwechslungen sind auch hier nicht zu befürchten: das ist der Vektor a und das ist auch der Vektor a. Jetzt muss man sich noch überlegen: Was soll es bedeuten, wenn zwei Vektoren gleich sind? Also, es kann sich ja folgendes zutragen: Wir rechnen mit Vektoren herum und der eine heißt a und der andere heißt b. Und da stellen wir fest, dass die beiden gleich sind. Da müsstest Du in dem Fall sagen: Was soll das heißen, wenn die beiden gleich sind? Das soll heißen, dass beide Vektoren die gleiche Richtung und die gleiche Länge habe. Die Frage ist, muss ich hier noch drauf eingehen, ob es sich um denselben Vektor handelt oder nicht? Wir haben ja gesagt, wenn wir eine Bewegung haben im Raum, dann ist die hier von da nach da dieselbe wie von da nach da. Es ist immer dieselbe Bewegung. Trotzdem braucht man die Bezeichnung der Gleichheit. Ich hoffe, Du kennst das von den Zahlen und es bringt Dich nicht weiter durcheinander. Da haben wir auch verschiedene Bezeichnungen verschiedene für dieselbe Zahl, also 0,5 ist ja auch gleich 1/2. Hier wird durch die beiden Symbole derselbe Punkt auf der Zahlengerade bezeichnet und hier wird mit beiden derselbe Vektor bezeichnet. Trotzdem steht hier das Gleichheitszeichen. Das heißt aber nicht, dass es sich nicht um denselben Punkt handeln kann, denn jede Zahl und jeder Vektor gleicht ja auch sich selbst. Es ist ja auch richtig, dass 3=3 ist und a=a ist übrigens auch richtig. Also, vielleicht sollte man das am Anfang mal durchkauen. Man sollte da vielleicht nicht allzu tief einsteigen, denn letzten Endes führt das die Rechnung und de Vektorrechnung nicht weiter. Es ist einfach im weiteren Verlauf nicht so sehr interessant, man muss e nur einmal vorher wissen, was jeweils damit gemeint ist. Dann haben wir noch zwei Spezialvektoren und das ist einmal der Nullvektor. Der Nullvektor wird mit einer 0 bezeichnet und einem Pfeil darüber, oder einem Halbpfeil, so wie ich das jetzt geschrieben habe. Was ist der Nullvektor? Wenn ich eine Bewegung von hier nach da mache, kann ich die auch kleiner machen und kleiner und kleiner. Und es wäre praktisch, wenn man einen Vektor hätte, der auch die Nichtbewegung bezeichnet. Und das ist halt der Nullvektor. So wie wir beim Zählen auch eine 0 haben: wenn eben gar nichts da ist, dann bezeichnet man das als 0. Und wenn sich hier eben überhaupt nichts bewegt oder die bedien Punkte eben direkt aufeinander liegen, dann bilden die den Nullvektor. Auch das ist ein Vektor, aber er hat eben die Länge 0. Dann gibt es noch den Gegenvektor, der hier noch interessant ist. Und was bedeutet das? Ich glaub, man kann es schon erahnen: eine Bewegung kann ich von da nach hier machen, aber ich kann sie auch von hier nach da machen. Die Länge ist jeweils dieselbe, die Richtung ist entgegengesetzt. Also, wenn ich einen Pfeil habe, dann kann der auch so rum gehalten werden, dann ist das die Gegenrichtung. Und dieser Pfeil würde jetzt einen Vektor andeuten und dieser Pfeil würde den Gegenvektor andeuten. Das heißt: gleiche Länge und Gegenrichtung, das macht den Gegenvektor aus. Den kann man dann auch mit -a bezeichnen, da komme ich aber später zu. Ich wollte nur sagen, dass er da ist.  Das ist so die Gruppe, die man für den Anfang gut gebrauchen kann. Viel Spaß damit, tschüss!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. macht richtig Spass mit Euch

    Von Piamohr, vor mehr als einem Jahr
  2. das ging ja schnell. Vielen Dank.

    Von Piamohr, vor mehr als einem Jahr
  3. Hallo Piamohr,
    danke für den Hinweis. Ich habe die Aufgabe angepasst, sodass die Reihenfolge jetzt egal ist.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  4. Ich habe die Bonusaufgabe gelöst und sie wurde als falsch bewertet, weil ich zwar die richigen Wörter Eingesetz habe aber in der Falschen Reihenfolge, was in dem Fall egal wäre
    oder doch nicht ?

    Von Piamohr, vor mehr als einem Jahr
  5. Ist es egal ob man den Vektorbuchstaben klein oder groß schreibt? Ich hab das mit großen Buchstaben gelernt.

    Von Torsten L., vor mehr als 2 Jahren
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Vektoren – elementare Sprechweisen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Vektoren – elementare Sprechweisen kannst du es wiederholen und üben.
  • Erkläre, was ein Vektor ist.

    Tipps

    Du kannst ausgehend von dem Punkt, an welchem du dich befindest, einen Vektor verstehen als eine Vorschrift, wohin du gehen sollst.

    Im dreidimensionalen Raum hat ein Vektor eine $x$-, eine $y$- und eine $z$-Koordinate.

    Du kannst dir diesen Vektor zum Beispiel in deinem Zimmer klarmachen.

    Ein Vektor wird als ein Pfeil dargestellt.

    Lösung

    Vektoren sind wichtig in der analytischen Geometrie.

    Bekannt ist vielleicht auch der Begriff der Vektorrechnung. Doch was ist ein Vektor eigentlich?

    Ein Vektor entspricht einer Bewegung. Der Anfang der Bewegung ist nicht eindeutig. Das bedeutet, die Lage des Vektors ist nicht fest.

    Ein Vektor wird dargestellt durch

    • seine Länge und seine Richtung oder
    • durch seine Koordinaten.
    Im dreidimensionalen wird ein Vektor in Spaltenschreibweise geschrieben.

    Zum Beispiel

    $\vec a=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$.

    Dieser besagt, dass man $1$ Einheit in $x$-, $2$ in $y$- und $3$ in $z$-Richtung „geht“, wenn du den Vektor als eine Bewegung interpretierst.

  • Beschreibe die Vektoren.

    Tipps

    Mache dir einen Vektor als eine Bewegungsvorschrift klar.

    Sei $A$ ein Punkt im Koordinatensystem, so bezeichnet der Vektor, welcher vom Ursprung zu diesem Punkt führt, den Ortsvektor des Punktes. Dieser wird mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben geschrieben.

    Lösung

    Hier sollen einige Schreibweisen und auch spezielle Vektoren vorgestellt werden:

    • Einen Vektor schreibt man normalerweise mit Kleinbuchstaben und einem Pfeil: $\vec a$. Dieser Vektor kann auch für den Ortsvektor des Punktes $A$ stehen, also den Vektor, der vom Koordinatenursprung zum Punkt $A$ zeigt.
    • Der Vektor $\vec{PP'}$ steht für den Verbindungsvektor von $P$ nach $P'$. Als Bewegungsvorschrift interpretiert, bedeutet dies: Gehe von $P$ zu $P'$.
    • Der Vektor $\vec 0$ steht für den sogenannten Nullvektor. Wiederum als Bewegungsvorschrift verstanden, bedeutet dies: Bleibe stehen.
    • Der Vektor $-\vec a$ ist der Gegenvektor des Vektors $\vec a$. Er hat die umgekehrte Richtung, aber die gleiche Länge.

  • Bestimme den Gegenvektor des Verbindungsvektors von einem Punkt $A$ zu einem Punkt $B$.

    Tipps

    Mache dir zunächst klar, wie der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ geschrieben wird.

    Zu gegebenem Vektor $\vec a$ ist der Gegenvektor gegeben durch $-\vec a$.

    Interpretiere den Vektor als Bewegung. Der Gegenvektor ist demzufolge die umgekehrte Bewegung von $B$ nach $A$.

    Man kann den Gegenvektor also auf mehrere Weisen ausdrücken.

    Lösung

    Zunächst macht man sich klar, wie der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ geschrieben wird:

    $\vec{AB}$.

    Die Reihenfolge ist wichtig, da im umgekehrten Fall der Verbindungsvektor von $B$ nach $A$ gemeint wäre.

    Der Gegenvektor zu dem Vektor $\vec a$ ist $-\vec a$. Somit ist der Gegenvektor zu dem Verbindungsvektor $\vec{AB}$ gegeben durch $-\vec{AB}$.

    Wenn man den Vektor als Bewegung versteht und der Gegenvektor die Umkehrung der Bewegung ist, so gilt auch:

    $-\vec{AB}=\vec{BA}$

  • Leite die zugehörigen Vektoren her.

    Tipps

    Mache dir jeweils den Vektor als Bewegung klar.

    Du kannst entsprechend bei Verbindungsvektoren die Punkte auf ein Blatt zeichnen und dir die entsprechenden Zusammenhänge klarmachen. Das Addieren entspricht dabei dem Aneinanderhängen von Vektoren.

    Der Nullvektor $\vec0$ steht für keine Bewegung.

    Lösung
    • Der Vektor $\vec{PP'}$ steht für den Verbindungsvektor der Punkte $P$ und $P'$. Dies entspricht der Bewegung von $P$ nach $P'$. Damit ist $\vec{PP}=\vec 0$, da keine Bewegung stattfindet.
    • Der Vektor $\vec{PP'}$ steht für den Verbindungsvektor der Punkte $P$ und $P'$. Wenn man von $P'$ aus keine Bewegung durchführt, bleibt man in $P'$. Das bedeutet: $\vec{PP'}+\vec 0=\vec{PP'}$.
    • Wenn man von dem Punkt $P$ zu dem Punkt $R$ und von dort aus zu $S$ geht, ist man gesamt von $P$ zu $S$ gegangen: Das bedeutet: $\vec{PR}+\vec{RS}=\vec{PS}$.
    • $-\vec{PP'}$ steht für den Gegenvektor von $\vec{PP'}$, der bei $P'$ startet und in $P$ endet. Es gilt also $-\vec{PP'}=\vec{P'P}$.
  • Gib an, was $\vec a=\vec b$ bedeutet.

    Tipps

    Wodurch zeichnet sich ein Vektor aus?

    Wenn du einen Vektor als Richtungsvektor einer Bewegung verstehst, kannst sowohl du als auch ein Freund die gleiche Bewegung, allerdings an verschiedenen Orten durchführen.

    Lösung

    Zwei Vektoren gleich sind, geschrieben als

    $\vec a=\vec b$,

    wenn die beiden Vektoren in ihrer Richtung und Länge übereinstimmen.

    Ein Beispiel: Wenn du einen Vektor als Richtungsvektor einer Bewegung verstehst, kannst sowohl du als auch ein Freund die gleiche Bewegung (im Sinne gleicher zurückgelegter Weg und gleicher Bewegungsrichtungen), allerdings an verschiedenen Orten durchführen.

  • Weise nach, dass $\vec{PQ}+(-\vec{PQ})=\vec 0$ gilt.

    Tipps

    Interpretiere einen Vektor als Bewegung.

    Der Gegenvektor hat die entgegengesetzte Bewegung.

    Der Nullvektor entspricht keiner Bewegung.

    Versuche den Ausdruck $\vec{PQ}+(-\vec{PQ})$ schrittweise umzuformen.

    Lösung

    Man kann jeden Vektor verstehen als einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten. Seien $P$, $Q$ und $\vec{PQ}$ gegeben.

    Das bedeutet: Gehe von $P$ nach $Q$.

    $-\vec{PQ}=\vec{QP}$ ist der zugehörige Gegenvektor.

    Das bedeutet: Gehe von $Q$ nach $P$.

    Wenn man durch $\vec{PQ}$ von $P$ nach $Q$ und im Anschluss durch $-\vec{PQ}$ von $Q$ nach $P$ gegangen ist, landet man wieder bei $P$. Das heißt, dass man sich nicht bewegt hat.

    Dies ist gerade die Interpretation des Nullvektors $\vec 0$ als Bewegung.

    Es gilt also: $\vec{PQ}+(-\vec{PQ})=\vec 0$

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