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Trigonometrie – Einführung 07:08 min

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Transkript Trigonometrie – Einführung

Hallo! Wir machen Trigonometrie. Du weißt, das ist das mit dem Sinus, Kosinus und Tangens und so was. Das ist nicht weiter kompliziert. Ich möchte das hier mal, dieses Thema einführen, über Dreiecke. Um das mal grob zusammenzufassen: Trigonometrie ist wie Strahlensätze, nur einfacher. Und um das mal zu erklären, was ich damit meine, möchte ich kurz die Strahlensätze wiederholen. Du weißt, bei Strahlensätzen ging es um ähnliche Dreiecke, unter anderem. Also darauf kann man sie zumindest zurückführen. Zwei Dreiecke, wie diese beiden hier, die sind ähnlich, wenn sie gleiche Winkel haben. Das heißt, der Winkel zwischen Blau und Pink ist hier der gleiche wie dort. Der Winkel zwischen Blau und Gelb ist hier auch so groß wie dort. Die beiden sind gleich und die beiden sind auch gleich, gleiche Winkel halt. Diese beiden Dreiecke haben gleiche Winkel und sie sind ähnlich. Es ist nun eine Tatsache, und die Strahlensätze machen sich diese Tatsache zunutze, dass alle Dreiecke, die solche Winkel haben, wie diese beiden, alle diese Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse. Das bedeutet, wenn ich hier zum Beispiel Gelb durch Pink teile, dann kriege ich was raus, dann kriege ich eine Zahl raus zur Seitenlänge von Gelb geteilt durch Seitenlänge von Pink. Da müsste was rauskommen, irgendwas mit 0,55 oder so. Sagen wir 0,5, ist egal. Alle diese Dreiecke, die solche Winkel haben, haben gleiche Seitenverhältnisse. Bedeutet, wenn ich hier Gelb durch Pink teile, kommt hier 0,5 raus und da dieses Dreieck hier ähnlich ist zu dem, deshalb kommt hier auch, wenn ich Gelb durch Pink teile, 0,5 raus. Also, die beiden Seitenverhältnisse sind zwischen diesen beiden Dreiecken gleich. Ich kann das auch so rechnen: Blau geteilt durch Pink ergibt hier ein bestimmtes Seitenverhältnis in diesem Dreieck, und da dieses Dreieck hier ähnlich ist, ergibt sich hier das gleiche Seitenverhältnis. Das heißt, ich teile einfach diese Seitenlänge durch diese Seitenlänge, Seitenlänge Blau geteilt durch Seitenlänge Pink ist gleich Seitenlänge Blau durch Seitenlänge Pink. Und das gilt für alle Dreiecke, die diese Winkel haben wie diese beiden hier. Das gilt auch in anderen Dreiecken, in irgendwelchen anderen Dreiecken, übrigens nur zur Information: Das hier ist kein rechter Winkel, er ist ein bisschen größer. Oft kennst du das auch so, als Strahlensatzfigur, mit zwei Parallelen. Aber es gilt für alle möglichen ähnlichen Dreiecke. Hier ist zum Beispiel das Seitenverhältnis Blau zu Gelb das gleiche wie hier Blau zu Gelb. Wenn man also Seitenlänge Blau geteilt durch Seitenlänge Gelb rechnet, ist es das gleiche wie hier Seitenlänge Blau geteilt durch Seitenlänge Gelb. So, was hat das jetzt mit Trigonometrie zu tun? Ich hab ja schon gesagt, Trigonometrie ist wie Strahlensätze, nur einfacher. Das, was einfacher ist, zumindest übersichtlicher wird, ist in der Trigonometrie, zumindest in dem Zugang, den ich jetzt hier gewählt habe. Es geht nicht um irgendwelche Dreiecke, sondern nur um rechtwinklige Dreiecke. Diese beiden Dreiecke hier haben rechte Winkel und zwar genau hier. Und nur um solche rechteckigen Dreiecke geht es. Bevor ich jetzt sage, was diese Trigonometriedinger sind, muss ich noch eins vorwegschicken. Dieser Winkel hier in beiden Dreiecken ist, ich habe es vorher heimlich ausgemessen, ist 37°, so ungefähr zumindest. Wenn wir schon wissen, dass dieser Winkel hier 37° ist, und wenn wir wissen, dass das hier ein rechter Winkel, also ein 90° Winkel ist, dann wissen wir auch, wie groß dieser Winkel hier ist. Denn es gilt ja der Satz um die Winkelsumme im Dreieck. Das heißt: Die Innenwinkel, der Winkel und der Winkel und der Winkel zusammen, ergeben immer 180°. Wenn jetzt also dieser Winkel schon ein 90° Winkel ist und dieser ein 37° Winkel ist, dann muss ich also nur 180-90-37 rechnen und dann habe ich den Winkel. Also der ist dann 53°. Das bedeutet also, wenn ein rechtwinkliges Dreieck einen 37° Winkel hat, dann ist es ähnlich zu diesen beiden Dreiecken hier. Wir wissen, dass alle ähnlichen Dreiecke gleiche Seitenverhältnisse haben. Zum Beispiel hat dieses Dreieck hier ein Seitenverhältnis, ich sag mal jetzt, Grün geteilt durch Gelb, von ungefähr 0,6. Das kann man nachmessen, es ist ungefähr 0,6. Und da dieses Dreieck hier ähnlich ist, kann man auch rechnen, Seitenlänge Grün geteilt durch Seitenlänge Gelb, dann kommt da auch ungefähr 0,6 raus. Und dieses Seitenverhältnis hat einen besonderen Namen. Es heißt Sinus. Sinus von 37°. Ja meistens schreibt man es in Klammern, manchmal auch ohne. Ich schreibe es hier jetzt mit Klammern. Sin(37°) ist ungefähr =0,6. Und das hier ist quasi das Seitenverhältnis dieser grünen Seite zu dieser gelben Seite in den Dreiecken, die rechtwinklig sind und hier einen 37° Winkel haben. Das ist einfach ein besonderer Name für dieses Seitenverhältnis. Und natürlich normalerweise sagt man jetzt nicht grün durch gelb, das sagt man schon anders. Zeige ich im zweiten Teil. Bis dann, tschüss.

8 Kommentare
  1. Ich würde Sie gerne als Mathematiklehrer haben!

    Von Birgit R., vor 5 Monaten
  2. Ausgezeichnet !

    Von Trutzberg H., vor mehr als einem Jahr
  3. Das stimmt nicht, Bianca. Das ganze Video handelt von der Einführung zum Thema "Trigonometrie".

    Von Martin Wabnik, vor etwa 2 Jahren
  4. Eher nicht so gut hast lange um den heißen brei rumgeredet und am ende mal kurz was zum eigentlichen thema gesagt

    Von Bianca Hannenheim, vor etwa 2 Jahren
  5. Auf diese Einführung sollte die Übung " ... am rechtlwinkligen Dreieck" folgen. Diese wird aber gar nicht mehr angezeigt zur Auswahl, wenn man "Trigonometrie" als Suchbegriff verwendet. Erst die Einschränkung bei der Datenbank-Suche auf "Trigonometr" bringt alle 33 Ergebnisse (statt der 21).

    Von Familie Mattheus, vor fast 3 Jahren
  1. Wunderbar erklärt. Ich habe es sofort verstanden. Vielen vielen Dank!

    Von Jonas Heintze, vor mehr als 3 Jahren
  2. @ Sandra Bullmann: Die Zahl 0,5 bezieht sich auf das Seitenverhältnis der gelben Seite zur pinkfarbenen Seite bei dem Beispiel im Video. 0,5 bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die gelbe Seite in etwa halb so lang ist wie die pinkfarbene. Das ist hier nur eine geschätzte Größe. Um das genaue Verhältnis zu ermitteln, müsste man beide Seiten messen und die Länge der gelben Seite durch die Länge der pinkfarbenen Seite teilen. Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als 4 Jahren
  3. Dankeschön:)

    Von Eva Maria Sontag, vor etwa 5 Jahren
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Trigonometrie – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trigonometrie – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe ähnliche Dreiecke.

    Tipps

    In jedem Dreieck gilt der Winkelsummensatz, welcher besagt, dass die Summe der Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt.

    Es gibt auch kongruente Dreiecke: Diese stimmen in den Längen ihrer drei Seiten überein. Kongruente Dreiecke sind auch ähnlich. Umgekehrt gilt dies nicht.

    Ein anderes Wort für kongruent ist deckungsgleich.

    Hier siehst du eine Strahlensatzfigur. Zwei Strahlen (der gelbe und der grüne) werden von parallelen Geraden (den blauen) geschnitten. Dadurch entstehen zwei ähnliche Dreiecke.

    Die Strahlensätze sagen etwas über die Verhältnisse einander entsprechender Seiten aus.

    Lösung

    Es gibt ähnliche Dreiecke und es gibt kongruente Dreiecke.

    Bei ähnlichen Dreiecken stimmen alle drei Winkel überein, bei kongruenten alle Seiten. Man kann sich ähnliche Dreiecke wie folgt vorstellen: Ein Dreieck wird maßstabgetreu entweder verkleinert oder vergrößert. Daraus folgt dann auch, dass bei ähnlichen Dreiecken die Verhältnisse einander entsprechender Seiten immer gleich sind.

    Dies ist die Situation, welche in den Strahlensätzen beschrieben wird: Zwei Strahlen (der gelbe und der grüne) werden von parallelen Geraden (den blauen) geschnitten. Dadurch entstehen zwei ähnliche Dreiecke.

    Wenn insbesondere einer der drei Winkel $90^\circ$ beträgt, dann liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor. Ist zusätzlich ein weiterer Winkel bekannt, dann kann der fehlende dritte Winkel mithilfe des Winkelsummensatzes berechnet werden. Sei der eine Winkel $37^\circ$ groß, dann ergibt sich für den fehlenden Winkel

    $180^\circ-90^\circ-37^\circ=53^\circ$.

    Zwei rechtwinklige Dreiecke mit jeweilis einem Winkel von $37^\circ$ stimmen somit in allen drei Winkeln überein. Diese Dreiecke nennt man ähnlich.

    Bei kongruenten Dreiecken sind alle Seiten gleich lang. Dann stimmen auch die Winkel überein. Man kann sich kongruente Dreiecke so vorstellen: Wenn man eines der beiden kongruenten Dreiecke ausschneidet, kann man dies auf das andere legen und die Dreiecke überdecken sich komplett. Man nennt kongruente Dreiecke auch deckungsgleich.

  • Berechne den fehlenden Winkel in dem Dreieck.

    Tipps

    Verwende den Winkelsummensatz:

    Dieser besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel in jedem Dreieck $180^\circ$ beträgt.

    Wenn einer der drei Winkel ein rechter Winkel ist ($90^\circ$), dann ist die Summe der beiden übrigen Winkel ebenfalls $90^\circ$.

    Du kannst also auch den bereits bekannten Winkel von $90^\circ$ subtrahieren.

    Lösung

    Wenn man in einem Dreieck bereits zwei Winkel kennt, kann man den fehlenden dritten mit Hilfe des Winkelsummensatzes berechnen. Dieser besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel in jedem Dreieck $180^\circ$ beträgt.

    Da in dem obigen Dreieck der eine Winkel $37^\circ$ und der andere $90^\circ$ beträgt, kann der fehlende Winkel wie folgt berechnet werden:

    $180^\circ-90^\circ-37^\circ=90^\circ-37^\circ=53^\circ$.

  • Gib das Verhältnis der Seiten an, welches $\sin(37^\circ)$ beschreibt.

    Tipps

    Der Sinus des Winkels $\alpha$ ($\sin(\alpha)$) ist das Verhältnis der grünen zu der roten Seite. Ebenso beschreibt Sinus von Winkel $\beta$ ($\sin(\beta)$) das Verhältnis der blauen zu der roten Seite.

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der dem Winkel gegenüber liegenden Kathete zu der Hypotenuse.

    In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es zwei Katheten und eine Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und die beiden Katheten liegen dem rechten Winkel an.

    Lösung

    Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck zu sehen. Dieses hat einen spitzen Winkel von $37^\circ$.

    Dem rechten Winkel gegenüber liegt die Hypotenuse (diese ist gelb gezeichnet). An dem rechten Winkel liegen die beiden Katheten an.

    Im Bezug auf den $37^\circ$ großen Winkel liegt die grüne Kathete diesem Winkel gegenüber. Man bezeichnet diese Kathete als die Gegenkathete des Winkels. Die Kathete, welche an dem Winkel anliegt (die violette) wird als Ankathete bezeichnet.

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete dieses Winkels zur Hypotenuse. Es gilt also bei dem obigen Dreieck

    $\sin(37^\circ)=\frac{\text{grüne Seite}}{\text{gelbe Seite}}$.

  • Berechne jeweils die Werte für den Sinus.

    Tipps

    Verwende jeweils die Definition des Sinus: das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse.

    In beiden Fällen musst du mit der Hypotenuse multiplizieren.

    Rechne mit $\sqrt 3$ anstatt gerundeter Werte.

    Der eine Wert ist eine ganze Zahl und der andere eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.

    Lösung

    In beiden Fällen kann die Definition des Sinus verwendet werden. Durch die bekannten Werte für den jeweiligen Sinus erhält man eine Gleichung, welche umgeformt werden muss.

    In dem oberen Dreieck gelangt man zu der Gleichung

    $\sin(60^\circ)=\frac x{\sqrt 3}$.

    Durch Einsetzen des bekannen Sinuswertes und Multiplikation mit $\sqrt 3$ erhält man

    $x=\frac{\sqrt 3}2\cdot \sqrt 3=\frac 32=1,5$.

    In dem unteren Dreieck erhält man

    $\sin(30^\circ)=\frac x8$,

    also

    $\frac12=\frac x8$.

    Multiplikation mit $8$ führt zu dem Ergebnis $x=\frac12\cdot 8=4$.

  • Bestimme das Verhältnis, welches den Sinus von $53^\circ$ beschreibt.

    Tipps

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete dieses Winkels zur Hypotenuse.

    Egal welchen Winkel man betrachtet: Im Nenner steht beim Sinus immer die Hypotenuse.

    Die Gegenkathete ist die Kathete, welche dem Winkel gegenüber liegt. Die Kathete, welche an dem Winkel anliegt, wird als Ankathete bezeichnet.

    Lösung

    Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck zu sehen. Dieses hat unter anderem einen spitzen Winkel von $53^\circ$.

    Von diesem Winkel aus gesehen liegt die violette Kathete gegenüber. Man bezeichnet diese Kathete als die Gegenkathete des Winkels.

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete dieses Winkels zur Hypotenuse. Es gilt also bei dem obigen Dreieck

    $\sin(53^\circ)=\frac{\text{violette Seite}}{\text{gelbe Seite}}$.

  • Ordne jedem Winkel das entsprechende Seitenverhältnis zu.

    Tipps

    Im Nenner steht beim Sinus immer die Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis von dessen Gegenkathete zu der Hypotenuse.

    Zum Beispiel gilt in diesem Dreieck

    $\large{\sin(\alpha)=\frac ab}$

    und

    $\large{\sin(\gamma)=\frac cb}$.

    Lösung

    Ganz allgemein ist in einem rechtwinkligen Dreieck der Sinus eines spitzen Winkels definiert als das Verhältnis von dessen Gegenkathete zu der Hypotenuse.

    In dem roten Dreieck ist $f$ die Hypotenuse, diese liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $d$ und somit ist $\sin(\alpha)=\frac df$.
    • Die Gegenkathete von $\beta$ ist $e$ und somit ist $\sin(\beta)=\frac ef$.
    In dem blauen Dreieck ist $d$ die Hypotenuse.
    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $f$ und somit ist $\sin(\alpha)=\frac fd$.
    • Die Gegenkathete von $\beta$ ist $e$ und somit ist $\sin(\beta)=\frac ed$.