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Sinussatz 06:29 min

Textversion des Videos

Transkript Sinussatz

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, ich lade euch ganz herzlich ein zum Video "der Sinussatz". Und nun zu den Lernvoraussetzungen: Ihr solltet die Begriffe Dreieck, rechter Winkel und einfache geometrische Begriffe gut beherrschen. Als Zweites sollte euch die Definition des Sinus bekannt sein. Ich denke, dass das Video geeignet ist, für Schülerinnen und Schüler, die die 10. Klasse im ersten Schulhalbjahr besuchen. Für die Visualisierung des Problems empfiehlt sich die Zeichnung eines Dreiecks. Die Seiten a, b und c sind in den Farben Pink, Blau und Grün markiert. Die gleichen Farben haben die Höhen ha, hb und hc. Die entsprechenden Winkel α, β und γ habe ich Orange gehalten. Erinnern wir uns an die Definition des Sinus. Der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist der Quotient aus Gegenkathete zu Hypotenuse. Somit können wir einige Gleichungen formulieren. (1) sin(α)=hc/b (2) sin(β)=hc/a (3) sin(β)=ha/c (4) sin(γ)=ha/b (5) sin(γ)=hb/a (6) sin(α)=hb/c Wir arbeiten nun unter der Dreieckszeichnung weiter. Wir nehmen als Erstes die Gleichungen 1 und 2 und stellen sie jeweils nach hc um und erhalten: Erste Zeile: (1a) hc=b×sin(α) (2a) hc=a×sin(β). Zweite Zeile: wir nehmen nun die Gleichungen 3 und 4 und stellen sie nach ha um. Wir erhalten: (3a) ha=c×sin(α) (4a) ha=b×sin(γ). Dritte Zeile: wir nehmen nun die Gleichungen 5 und 6 und stellen sie nach hb um. Wir erhalten: (5a) hb=a×sin(γ) (6a) hb=c×sin(α). Wir setzen nun die linken Seiten der Gleichungen (1a) und (2a), also über hc, gleich und erhalten - schaut bitte nach rechts: b×sin(α)=a×sin(β) Wir dividieren nun beide Seiten der Gleichung durch sin(β) und anschließend beide Seiten der Gleichung durch sin(α) und erhalten darunter - rechts: b/sin(β)=a/sin(α) Genauso verfahren wir nun mit den Gleichungen (3a) und (4a), wir setzen sie über ha gleich und erhalten - schaut nach rechts: c×sin(β)=b×sin(γ) Wir dividieren nun beide Seiten der Gleichung durch sin(β) und anschließend durch sin(γ). Wir erhalten: c/sin(γ)=b/sin(β) Das gleiche Verfahren verwenden wir indem wir die Gleichungen (5a) und (6a) über hb gleichsetzen. Wir machen rechts unten weiter. Wir erhalten: a×sin(γ)=c×sin(α) Nach Division beider Seiten durch sin(γ) und anschließend durch sin(α) erhalten wir - ganz unten rechts: a/sin(α)=c/sin(γ) Die für uns nun wichtigen Gleichungen habe ich mit (7), (8) und (9) gekennzeichnet und mit roten Kästchen eingerahmt. Ich wische noch das linke untere Viertel für das Endergebnis heraus, dann können wir uns Gleichung (7) anschauen. Wenn wir in dieser Gleichung beide Seiten vertauschen, dann erhalten wir: a/sin(α)=b/sin(β) Schauen wir uns Gleichung (8) an und vertauschen die Seiten, dann sehen wir: b/sin(β)=c/sin(γ) Gleichung (9) liefert noch eine zusätzliche Bestätigung. Damit erhalten wir als Endergebnis: a/sin(α)=b/sin(β)=c/sin(γ) Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus, des gegenüberliegenden Winkels, ist in einem Dreieck konstant. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit. Vielleicht hat euch diese Herleitung etwas Freude bereitet und ihr habt eine Inspiration bekommen. Ich wünsche euch alles Gute, tschüss.

6 Kommentare
  1. 001

    Guten Morgen.
    dazu kann man nicht urteilen, wenn nicht bekannt ist, zu welcher Klassenstufe Du gehörst. Es ist ein Riesenunterschied, ob das die 6. Klasse oder die 10. Klasse ist.
    Dreiecke solltest Du kennen, genau so die Beschriftung der Größen am Dreieck: Seiten(längen), dazugehörende Höhen und die entsprechenden Winkel.
    Man muss sich an die Bezeichnungen gewöhnen, kleine griechische Buchstaben für die Winkel.und jeweils ein Index an den Höhen.
    Dann muss man wissen, wie der Sinus definiert ist: Das Verhältnis der Längen von Gegenkathete zur Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck, Die Bezeichnungen dieser Seiten lernt man, wenn man sich mit dem Satz des Pythagoras befasst hat.
    Ein bisschen Algebra gehört auch dazu: Umformung einfacher Gleichungen und Gleichstellung über identische Seiten.
    Alles das sind elementare Voraussetzungen. Aber man muss sie beherrschen.
    Der verstorbene Mathematik - Professor G. Frank wurde einmal in einer Analysis - Vorlegung gefragt, wann man denn verstehen wird, was er so liest.
    Seine Antwort:
    "Wenn Sie einen Stift und ein Stück Papier in die Hand nehmen und beginnen, die Probleme zu lösen."
    Das ist der Punkt. Ein Video ist keine Kinovorstellung. Man muss sich seinen Inhalt erarbeiten. Manchmal ist das einfach, manchmal schwerer.
    Alles Gute und viel Erfolg

    Von André Otto, vor 3 Tagen
  2. Default

    Die Video Qualität ist super aber ich habe nichts verstanden (akustisch ist super)

    Von Bastian Gottbrath1, vor 4 Tagen
  3. 001

    Du musst mal ein Video schauen, das du benötigst.

    Von André Otto, vor etwa einem Jahr
  4. Default

    Sorry aber leider hat mir das Video nicht wirklich weiter geholfen, aber trotzdem Danke.

    Von Ahlefeldt, vor etwa einem Jahr
  5. 001

    Das Video ist 4 1/2 jahre alt. Es wurde mit einfachen Mitteln nach "bestem Wissen und Gewissen" erstellt. Der Aufwand war relativ gering. Es geht also auch so.
    Vielen Dank für das Lob!
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 2 Jahren
  1. Griechenland '13 197

    Ich fand dieses Video sehr hilfreich! Sie haben sehr deutlich gesprochen, es sehr schön und bunt beschrieben! Danke

    Von Anna Lisa M., vor mehr als 2 Jahren
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