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Sinussatz 06:29 min

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Transkript Sinussatz

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, ich lade euch ganz herzlich ein zum Video "der Sinussatz". Und nun zu den Lernvoraussetzungen: Ihr solltet die Begriffe Dreieck, rechter Winkel und einfache geometrische Begriffe gut beherrschen. Als Zweites sollte euch die Definition des Sinus bekannt sein. Ich denke, dass das Video geeignet ist, für Schülerinnen und Schüler, die die 10. Klasse im ersten Schulhalbjahr besuchen. Für die Visualisierung des Problems empfiehlt sich die Zeichnung eines Dreiecks. Die Seiten a, b und c sind in den Farben Pink, Blau und Grün markiert. Die gleichen Farben haben die Höhen ha, hb und hc. Die entsprechenden Winkel α, β und γ habe ich Orange gehalten. Erinnern wir uns an die Definition des Sinus. Der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist der Quotient aus Gegenkathete zu Hypotenuse. Somit können wir einige Gleichungen formulieren. (1) sin(α)=hc/b (2) sin(β)=hc/a (3) sin(β)=ha/c (4) sin(γ)=ha/b (5) sin(γ)=hb/a (6) sin(α)=hb/c Wir arbeiten nun unter der Dreieckszeichnung weiter. Wir nehmen als Erstes die Gleichungen 1 und 2 und stellen sie jeweils nach hc um und erhalten: Erste Zeile: (1a) hc=b×sin(α) (2a) hc=a×sin(β). Zweite Zeile: wir nehmen nun die Gleichungen 3 und 4 und stellen sie nach ha um. Wir erhalten: (3a) ha=c×sin(α) (4a) ha=b×sin(γ). Dritte Zeile: wir nehmen nun die Gleichungen 5 und 6 und stellen sie nach hb um. Wir erhalten: (5a) hb=a×sin(γ) (6a) hb=c×sin(α). Wir setzen nun die linken Seiten der Gleichungen (1a) und (2a), also über hc, gleich und erhalten - schaut bitte nach rechts: b×sin(α)=a×sin(β) Wir dividieren nun beide Seiten der Gleichung durch sin(β) und anschließend beide Seiten der Gleichung durch sin(α) und erhalten darunter - rechts: b/sin(β)=a/sin(α) Genauso verfahren wir nun mit den Gleichungen (3a) und (4a), wir setzen sie über ha gleich und erhalten - schaut nach rechts: c×sin(β)=b×sin(γ) Wir dividieren nun beide Seiten der Gleichung durch sin(β) und anschließend durch sin(γ). Wir erhalten: c/sin(γ)=b/sin(β) Das gleiche Verfahren verwenden wir indem wir die Gleichungen (5a) und (6a) über hb gleichsetzen. Wir machen rechts unten weiter. Wir erhalten: a×sin(γ)=c×sin(α) Nach Division beider Seiten durch sin(γ) und anschließend durch sin(α) erhalten wir - ganz unten rechts: a/sin(α)=c/sin(γ) Die für uns nun wichtigen Gleichungen habe ich mit (7), (8) und (9) gekennzeichnet und mit roten Kästchen eingerahmt. Ich wische noch das linke untere Viertel für das Endergebnis heraus, dann können wir uns Gleichung (7) anschauen. Wenn wir in dieser Gleichung beide Seiten vertauschen, dann erhalten wir: a/sin(α)=b/sin(β) Schauen wir uns Gleichung (8) an und vertauschen die Seiten, dann sehen wir: b/sin(β)=c/sin(γ) Gleichung (9) liefert noch eine zusätzliche Bestätigung. Damit erhalten wir als Endergebnis: a/sin(α)=b/sin(β)=c/sin(γ) Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus, des gegenüberliegenden Winkels, ist in einem Dreieck konstant. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit. Vielleicht hat euch diese Herleitung etwas Freude bereitet und ihr habt eine Inspiration bekommen. Ich wünsche euch alles Gute, tschüss.

8 Kommentare
  1. Am Ende kommt das AHA - Erlebnis. Leider methodisch eine absolute Katastrophe bis endlich alles unnütze wieder weg gewischt wird. Es wär schön wenn der Tutor nochmal eine etwas übersichtlichere Version erstellen würde. Trotzdem vielen Dank. Geholfen hat es auch so.

    Von Dieria, vor 6 Tagen
  2. Mir hat es schon was gebracht, aber richtig verstehen tu ich es noch nicht

    Von Christopher Thies, vor 10 Monaten
  3. Guten Morgen.
    dazu kann man nicht urteilen, wenn nicht bekannt ist, zu welcher Klassenstufe Du gehörst. Es ist ein Riesenunterschied, ob das die 6. Klasse oder die 10. Klasse ist.
    Dreiecke solltest Du kennen, genau so die Beschriftung der Größen am Dreieck: Seiten(längen), dazugehörende Höhen und die entsprechenden Winkel.
    Man muss sich an die Bezeichnungen gewöhnen, kleine griechische Buchstaben für die Winkel.und jeweils ein Index an den Höhen.
    Dann muss man wissen, wie der Sinus definiert ist: Das Verhältnis der Längen von Gegenkathete zur Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck, Die Bezeichnungen dieser Seiten lernt man, wenn man sich mit dem Satz des Pythagoras befasst hat.
    Ein bisschen Algebra gehört auch dazu: Umformung einfacher Gleichungen und Gleichstellung über identische Seiten.
    Alles das sind elementare Voraussetzungen. Aber man muss sie beherrschen.
    Der verstorbene Mathematik - Professor G. Frank wurde einmal in einer Analysis - Vorlegung gefragt, wann man denn verstehen wird, was er so liest.
    Seine Antwort:
    "Wenn Sie einen Stift und ein Stück Papier in die Hand nehmen und beginnen, die Probleme zu lösen."
    Das ist der Punkt. Ein Video ist keine Kinovorstellung. Man muss sich seinen Inhalt erarbeiten. Manchmal ist das einfach, manchmal schwerer.
    Alles Gute und viel Erfolg

    Von André Otto, vor mehr als 2 Jahren
  4. Die Video Qualität ist super aber ich habe nichts verstanden (akustisch ist super)

    Von Bastian Gottbrath1, vor mehr als 2 Jahren
  5. Du musst mal ein Video schauen, das du benötigst.

    Von André Otto, vor mehr als 3 Jahren
  1. Sorry aber leider hat mir das Video nicht wirklich weiter geholfen, aber trotzdem Danke.

    Von Ahlefeldt, vor mehr als 3 Jahren
  2. Das Video ist 4 1/2 jahre alt. Es wurde mit einfachen Mitteln nach "bestem Wissen und Gewissen" erstellt. Der Aufwand war relativ gering. Es geht also auch so.
    Vielen Dank für das Lob!
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 4 Jahren
  3. Ich fand dieses Video sehr hilfreich! Sie haben sehr deutlich gesprochen, es sehr schön und bunt beschrieben! Danke

    Von Anna-Lisa M., vor mehr als 4 Jahren
Mehr Kommentare

Sinussatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinussatz kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib jeweils den Sinus des Winkels in den gegebenen Dreiecken an.

    Tipps

    Beachte, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Sinus eines spitzen Winkels definiert ist als der Quotient aus Gegenkathete des Winkels und Hypotenuse.

    Diese Bezeichnungen gelten in rechtwinkligen Dreiecken:

    • Die Hypotenuse liegt dem rechen Winkel gegenüber.
    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Kathete, die $\alpha$ gegenüberliegt.

    Die Gegenkathete ist (hier) immer die entsprechende Höhe.

    Lösung

    Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist wie folgt definiert:

    $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

    Dies schauen wir uns nun ganz ausführlich an diesem Dreieck an.

    In dem linken rechtwinkligen Dreieck

    Es gilt:

    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Höhe $h_c$.
    • Die Hypotenuse ist $b$.
    • Somit ist $\sin(\alpha)=\dfrac{h_c}{b}$.
    In dem rechten rechtwinkligen Dreieck

    • Die Gegenkathete von $\beta$ ist die Höhe $h_c$.
    • Die Hypotenuse ist $a$.
    • Somit ist $\sin(\beta)=\dfrac{h_c}{a}$.
    Ebenso kannst du herleiten:

    • $\sin(\beta)=\dfrac{h_a}{c}$,
    • $\sin(\gamma)=\dfrac{h_a}{b}$,
    • $\sin(\gamma)=\dfrac{h_b}{a}$ und
    • $\sin(\alpha)=\dfrac{h_b}{c}$.
  • Nenne den Sinussatz in Worten.

    Tipps

    In beliebigen Dreiecken gelten diese Konventionen:

    • Der Seite $a$ liegt der Winkel $\alpha$ gegenüber.
    • Der Seite $b$ liegt der Winkel $\beta$ gegenüber.
    • Der Seite $c$ liegt der Winkel $\gamma$ gegenüber.

    Schau dir die Gleichung $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}$ an.

    • Im Zähler steht jeweils eine Seitenlänge.
    • Im Nenner steht jeweils der Sinus des Winkels, der dieser Seite gegenüberliegt.
    Lösung

    Der Sinussatz lautet:

    $\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$.

    Das bedeutet in Worten: Der Quotient aus der Länge einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in einem Dreieck für jede der drei Seiten immer gleich.

    Anders ausgedrückt könntest du auch sagen: Egal welche Seiten du betrachtest, der oben angegebene Quotient hat immer den gleichen Wert.

  • Beschreibe, wie die gegebenen Gleichungen zu einem Sinussatz umgeformt werden können.

    Tipps

    Wenn du zwei Gleichungen hast, die auf jeweils einer Seite übereinstimmen, kannst du die anderen beiden Seiten gleichsetzen.

    Du kannst Gleichungen durch Multiplikation oder Division umformen. Beispielsweise gilt:

    $\begin{array}{crcll} &\frac{a}{b} & = &\frac{c}{d} & \vert \cdot b \\ \Leftrightarrow & a & = & \frac{c\cdot b}{d} & \vert \cdot d \\ \Leftrightarrow & a\cdot d & = & c\cdot b \end{array}$.

    Lösung

    Zunächst formst du die folgenden beiden Gleichung jeweils nach $h_c$ um.

    • Multipliziere die Gleichung $\sin(\alpha)=\dfrac{h_c}{b}$ mit $b$. Dies führt zu $h_c=\sin(\alpha)\cdot b$.
    • Multipliziere die Gleichung $\sin(\beta)=\dfrac{h_c}{a}$ mit $a$. So erhältst du $h_c=\sin(\beta)\cdot a$.
    Da in beiden Gleichungen auf der einen Seite $h_c$ steht, müssen die jeweils anderen Seiten übereinstimmen.

    $\sin(\alpha)\cdot b=\sin(\beta)\cdot a$

    Zuletzt dividierst du noch durch $\sin(\alpha)$ sowie $\sin(\beta)$ und gelangst so zu:

    $\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{a}{\sin(\alpha)}$.

    Ebenso kannst du die folgenden beiden Gleichungen herleiten:

    • $\dfrac{c}{\sin(\gamma)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}$ und
    • $\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$.
    Schließlich kannst du die Gleichungen auch hintereinander schreiben und erhältst so den Sinussatz:

    $\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$.

  • Berechne alle fehlenden Größen in dem Dreieck.

    Tipps

    Wenn in einer Bruchgleichung die Unbekannte im Nenner steht, kannst du auch auf beiden Seiten den Kehrwert bilden.

    Das bedeutet, es gilt auch $\dfrac{\sin(\beta)}{b}=\dfrac{\sin(\gamma)}{c}$.

    Wenn du den Sinuswert kennst und den Winkel ausrechnen möchtest, kehrst du den Sinus um. Die Taste auf deinem Taschenrechner ist mit $\sin^{-1}$ beschriftet.

    Nebenstehend siehst du ein Beispiel.

    Achte außerdem drauf, dass der Taschenrechner auf DEG bzw. D (das steht für Degree, das englische Wort für Winkel) eingestellt ist.

    Der Winkelsummensatz besagt, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt.

    Lösung

    In dieser Aufgabe siehst du ein Beispiel für den Kongruenzsatz SSW. Dieser lautet:

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen sowie dem der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

    Eine Anwendung dieses Kongruenzsatzes ist, dass du mit diesen Angaben, die du auch im Bild sehen kannst, das Dreieck eindeutig konstruieren kannst. Das bedeutet insbesondere, dass du die fehlenden Größen auch berechnen kannst. Hierfür verwendest du den Sinussatz.

    Berechnung von $\beta$

    Verwende den Sinussatz:

    $\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$.

    Du kannst auch auf beiden Seiten den Kehrwert bilden.

    $\dfrac{\sin(\beta)}{b}=\dfrac{\sin(\gamma)}{c}$.

    Setze die bekannten Größen ein und forme um.

    $\begin{array}{rclll} \dfrac{\sin(\beta)}{10{,}5}&=&\dfrac{\sin(87^\circ)}{15}&|&\cdot 10{,}5\\ \sin(\beta)&=&\dfrac{\sin(87^\circ)}{15}\cdot 10{,}5\\ &=&0{,}699...&|&\sin^{-1}\\ \beta&\approx&44{,}35^\circ \end{array}$

    Hier wird die Umkehrung von $\sin$ verwendet, um bei bekanntem Sinuswert den Winkel zu ermitteln.

    Berechnung von $\alpha$

    Das geht ganz fix mit dem Winkelsummensatz. Du erhältst

    $\alpha=180^\circ-(87^\circ+44{,}35^\circ)=48{,}65^\circ$.

    Berechnung von $a$

    Hier verwendest du den Sinussatz:

    $\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$.

    Du setzt die bekannten Größen ein und formst nach $a$ um.

    $\begin{array}{rclll} \dfrac{a}{\sin(48{,}65^\circ)}&=&\dfrac{15}{\sin(87^\circ)}&|&\cdot \sin(48{,}65^\circ)\\ a&=&\dfrac{15}{\sin(87^\circ)}\cdot \sin(48{,}65^\circ)\\ &\approx&11{,}3 \end{array}$

  • Wende den Sinussatz an, um die fehlenden Größen zu berechnen.

    Tipps

    Der Sinussatz lautet $\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$.

    Beachte, dass die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt. Damit kannst du den Winkel $\gamma$ berechnen.

    Lösung

    So wie das Dreieck oben gegeben ist, ist der Sinussatz nicht anwendbar, da du bei einer Gleichung mit zwei Seiten und dem jeweiligen Sinus der gegenüberliegenden Winkel drei Größen kennen musst. Der Winkel gegenüber der Seite $c=15$ ist allerdings nicht gegeben.

    Berechnung des fehlenden Winkels

    Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer $180^\circ$. Das ist die Aussage des Winkelsummensatzes für Dreiecke. Damit kannst du den Winkel $\gamma$ berechnen. Du subtrahierst von $180^\circ$ die Summe der beiden bekannten Winkel. Somit gilt:

    $\gamma=180^\circ-(48^\circ+40^\circ)=180^\circ-88^\circ=92^\circ$.

    Berechnung von $a$

    Der Sinussatz liefert $\dfrac{a}{\sin(48^\circ)}=\dfrac{15}{\sin(92^\circ)}$.

    Multipliziere mit $\sin(48^\circ)$. Dies führt zu

    $a=\dfrac{15}{\sin(92^\circ)}\cdot \sin(48^\circ)\approx 11,2$.

    Berechnung von $b$

    Der Sinussatz liefert $\dfrac{b}{\sin(40^\circ)}=\dfrac{15}{\sin(92^\circ)}$.

    Multipliziere mit $\sin(40^\circ)$. So erhältst du

    $b=\dfrac{15}{\sin(92^\circ)}\cdot \sin(40^\circ)\approx 9,6$.

  • Prüfe, ob der Sinussatz anwendbar ist.

    Tipps

    Beachte, dass du gegebenenfalls noch weitere Winkel berechnen kannst (musst).

    Du siehst hier in allen Bildern Angaben zu Dreiecken, die du von den Kongruenzsätzen kennst.

    • SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen.
    • SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
    • WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge sowie den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen.
    • SSW: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen sowie dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

    Der Sinussatz ist bei den Kongruenzsätzen SSS und SWS nicht anwendbar.

    In diesen Fällen verwendest du den Cosinussatz:

    • $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)$,
    • $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$ und
    • $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)$.

    Bei vier der sechs abgebildeten Dreiecke kannst du den Sinussatz anwenden.

    In gleichschenkligen Dreiecken gilt der Basiswinkelsatz: Die Basiswinkel sind gleich groß.

    Lösung

    Die Kongruenzsätze sind Sätze, die aussagen, wann zwei Dreiecke kongruent zueinander sind. Kongruent bedeutet deckungsgleich.

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie ...

    • ... in ihren drei Seitenlängen übereinstimmen (SSS).
    • ... in zwei Seitenlängen sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS).
    • ... in einer Seitenlänge sowie den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW).
    • ... in zwei Seitenlängen sowie dem der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen (SSW).
    Die Kongruenzsätze besagen auch, dass du bei Angabe der entsprechenden Größen ein Dreieck eindeutig konstruieren kannst. Das bedeutet dann auch, dass die übrigen Größen eindeutig sind. Du kannst diese also berechnen.

    Hierfür verwendest du, wenn möglich, den Sinussatz.

    Der Sinussatz lautet $\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$.

    Woran erkennst du, ob du den Sinussatz anwenden kannst? Schau dir die jeweiligen Gleichungen an. Es kommen in jeder dieser Gleichungen vier Größen vor. Drei von diesen musst du kennen.

    Das bedeutet: Um den Sinussatz anzuwenden, musst du bspw. zwei Winkel und eine Seite kennen, die einem der Winkel gegenüberliegt. Du kannst auch zwei Seiten kennen und einen Winkel, der einer der beiden Seiten gegenüberliegt.

    • Kennst du nur die drei Seiten (SSS), dann kannst du den Sinussatz nicht anwenden. Dies ist der Fall bei dem gleichschenkligen Dreieck mit den Seitenlängen $10$, $10$ und $9$.
    • Kennst du zwei Seiten und den von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel, kannst du den Sinussatz auch nicht anwenden. Dies ist der Fall bei dem Dreieck mit den Seitenlängen $8$ und $12$ und dem eingeschlossenen Winkel $50^\circ$.
    In allen anderen Fällen ist der Sinussatz anwendbar.

    • In dem gleichschenkligen Dreieck mit den Seitenlängen $8$ und $8$ sowie dem eingeschlossenen Winkel $46^\circ$ musst du zunächst die Basiswinkel berechnen. Diese sind gleich groß. Also betragen diese jeweils $\frac{180^\circ-46^\circ}2=67^\circ$.
    • In dem Dreieck mit der Seitenlänge $12$ und den Winkeln $50^\circ$ sowie $43^\circ$ (WSW) kannst du den fehlenden dritten Winkel berechnen. Es gilt $180^\circ-(50^\circ+43^\circ)=87^\circ$.
    • In dem Dreieck mit den Seitenlängen $10{,}5$ und $15$ sowie dem Winkel $87^\circ$ (SSW) kannst du direkt den Sinussatz anwenden, um den Winkel gegenüber der kürzeren der beiden Seiten zu berechnen.
    • Zuletzt siehst du noch ein rechtwinkliges Dreieck. Da in diesem neben dem rechten Winkel noch ein weiterer gegeben ist, kannst du den dritten Winkel berechnen. Du erhältst $90^\circ-29{,}7^\circ=60{,}3^\circ$. In rechtwinkligen Dreiecken musst du allerdings nicht unbedingt den Sinussatz verwenden. Du kannst hier auch mit dem Satz des Pythagoras oder den Definitionen der trigonometrischen Funktionen rechnen.
    Zusatz

    In den beiden Dreiecken in dieser Aufgabe, bei denen der Sinussatz nicht weiterhilft, kannst du einen der folgenden Cosinussätze benutzen. Diese kommen dir evtl. bekannt vor, da sie eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras darstellen.

    Die Cosinussätze lauten:

    • $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos(\alpha)$,
    • $b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$ und
    • $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)$.