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Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (5)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (5)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (5)

Willkommen zu meinem fünften Video in der achtteiligen Videoserie zur Trigonometrie, in der ich Aufgaben zu Sinus, Cosinus und Tangens vorstelle. Nun möchte ich auch einmal eine Aufgabe zum Tangens behandeln. Dazu kennen wir die Formel tan ( alpha ) = Gegenkathete / Ankathete. Diese Formel wollen wir nun auf folgenden Sachverhalt anwenden: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel alpha = 36,87 Grad. Es ist außerdem bekannt, dass die Ankathete eine Seitenlänge von 16 cm besitzt. Gesucht sei nun die Seitenlänge der Gegenkathete.

Transkript Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (5)

Hallo! Wir machen eine elementare Aufgabe zum Tangens. Wir wissen, der Tangens bedeutet: Quotient von Gegenkathete zu Ankathete, also Gegenkathete geteilt durch Ankathete. Ich möchte das hier mal an diesem Dreieck zeigen und dann kann ich das nachmessen, das ist hier ganz genau 36,87°, oder ziemlich genau, zumindest ein bisschen gerundet. Der Tangens von 36,87°, und das ist das Neue hier bei den trigonometrischen Funktionen, das kann ich also nachgucken im Taschenrechner, das ist also 0,75 und jetzt weiß ich also schon: immer, wenn ein rechtwinkliges Dreieck, wie dieses hier, irgendwo existiert, da ist der rechte Winkel, und dieses Dreieck ungefähr einen 36,87° Winkel hat, dann ist Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete = 0,75. Und wenn jetzt hier zum Beispiel diese Ankathete gleich 16 cm ist und ich x ausrechnen möchte, dann habe ich also, um genau zu sein, hier muss ein Ungefährzeichen hin. Dann habe ich also hier eine Gleichung: 0,75=x/16. Diese Gleichung muss ich jetzt also nur noch lösen, um das x herauszufinden, um zu wissen, wie groß die Gegenkathete ist. Das sollte Dich nicht weiter aus der Ruhe bringen. Die gesamte Gleichung also mit 16 multiplizieren, hier kürzt sich 16 weg. Ich glaube, ich muss es eigentlich nicht mehr erklären und hier steht dann 12x=12. Weil das so einfach ist, möchte ich hier mal eine Kleinigkeit zeigen, die oft auftritt in der Trigonometrie, dass man etwas nämlich gleich 1 setzt und wenn man das vorher nicht gemacht hat und dann irgendwo in einer komplizierten Anwendungsaufgabe kommt dann: setze Radius gleich 1 oder so, da denkt man dann: Wieso? Was ist denn jetzt los? Aber das kann man hier auch machen, ich mache das jetzt mal vor. Ich finde, diese Ankathete hier an dem Winkel, die 1 lila lang. Ich nenne das 1 lila, das ist meine neue Einheit. Kann ich machen. Um diese Gleichung zu lösen, müsste ich jetzt hier mit 1 lila multiplizieren, mit dieser Einheit. Deshalb steht dann hier 0,75×1 lila, ich schreibe einfach 0,75 lila hin und das ist gleich x. Und das, was ich hier gemacht habe, ist einfach, dass ich diese Länge der Ankathete als Einheit gesetzt habe und das, was hier steht, ist, dass das 0,75-fache dieser Einheit, oder dieser Seitenlänge, gleich x ist. Aber das ist auch nichts Ungewöhnliches, denke ich mal. Wir wussten das ja vorher, dass das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete gleich 0,75 ist und das bedeutet eben, dass das 0,75 fache der Ankathete gleich Gegenkathete ist. Und das kann man auch ruhig hier nachmessen. Wenn man das jetzt nachmisst, ist das hier 16, und das hier ist 12, kann man an dem Dreieck, was ja hier auch den gleichen 36,78° Winkel hat. Ich zeige es noch mal. Das kann man da auch nachmessen. Hier ist also der 36,87° Winkel. Ich kann einfach hier lila nachmessen, das ist also 22, ziemlich genau und hier kommt dann also 16,5 raus. Auch da stimmt es, ich muss eben einfach nur die Länge der Ankathete mit 0,75 multiplizieren, und schon habe ich die Länge der Gegenkathete. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Haha du bist geil! :D

    Von Exeso, vor mehr als 6 Jahren

Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (5) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus, Cosinus, Tangens – Aufgabe (5) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie die Länge der fehlenden Kathete berechnet werden kann.

    Tipps

    Die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse.

    Die Gegenkathete eines spitzen Winkels liegt diesem Winkel gegenüber, die Ankathete liegt diesem Winkel an.

    Lösung

    In diesem rechtwinkligen Dreieck ist ein spitzer Winkel bekannt. Übrigens: Auch den anderen kann man berechnen, indem man den bekannten Winkel von $90^\circ$ subtrahiert.

    Die diesem Winkel anliegende Kathete hat die Länge $16~cm$. Berechnet werden soll die Länge der Gegenkathete.

    Hierfür wird der Tangens verwendet. Dieser ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Man erhält somit

    $\tan(36,87^\circ)=\frac GA$.

    Durch Eingabe in den Taschenrechner kann

    $\tan(36,87^\circ)=0,75$

    berechnet werden. Nun kann die bekannte Länge der Ankathete eingesetzt werden und man erhält die Gleichung

    $0,75=\frac x{16}$,

    wobei $x$ die unbekannte Länge der Gegenkathete ist.

  • Berechne die Länge der Gegenkathete, indem du $\tan(36,87^\circ)=0,75$ verwendest.

    Tipps

    Bestimmt hilft es dir, die Dezimalzahl $0,75$ als Bruch auszudrücken.

    Die Gleichung, welche du lösen musst, lautet

    $\tan(36,87^\circ)=\frac x{16}$,

    wobei $x$ die gesuchte Länge ist.

    Forme diese Gleichung nach $x$ um.

    Lösung

    Zum einen ist $\tan(36,87^\circ)=0,75$ und zum anderen

    $\tan(36,87^\circ)=\frac x{16}$,

    wobei $x$ die Länge der unbekannten Seite ist. Um diese Länge zu erhalten, wird mit $16$ multipliziert:

    $\begin{align} 0,75&=\frac x{16}&|&\cdot 16\\ 0,75\cdot 16&=x\\ 12&=x. \end{align}$

    Die gesuchte Kathete hat die Länge $12~cm$.

  • Bestimme jeweils die Seitenverhältnisse, die den Tangens definieren.

    Tipps

    Der Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete.

    Die Seite in dem rechtwinkligen Dreieck, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.

    In Bezug auf einen spitzen Winkel bezeichnet man die gegenüberliegende Kathete als Gegenkathete und die anliegende als Ankathete.

    Jede Gleichung, in welcher die Hypotenuse vorkommt, kannst du ausschließen.

    Lösung

    Die beiden Katheten in diesem Dreieck sind die grüne und die blaue Seite. Im Bezug auf den Winkel $\alpha$ ist die grüne die Gegen- und die blaue die Ankathete – entsprechend umgekehrt für den Winkel $\beta$.

    Der Tangens ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete.

    Also erhält man von links nach rechts:

    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $l$ und die Ankathete $k$. Somit erhält man $\tan(\alpha)=\frac lk$.
    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $k$ und die Ankathete $m$. Somit erhält man $\tan(\alpha)=\frac km$.
    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $m$ und die Ankathete $l$. Somit erhält man $\tan(\alpha)=\frac ml$.
    • Die Gegenkathete von $\alpha$ ist $l$ und die Ankathete $m$. Somit erhält man $\tan(\alpha)=\frac lm$.

  • Ermittle die Länge der fehlenden Kathete, indem du $\tan(30,96^\circ)=0,6$ verwendest.

    Tipps

    Der Tangens ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete zu der Ankathete.

    Bekannt ist die Ankathete und gesucht die Gegenkathete.

    Du musst mit der bekannten Länge der Ankathete multiplizieren.

    Lösung

    Dadurch, dass der Tangenswert des spitzen Winkels $30,96^\circ$ bekannt ist, kann man eine Gleichung mithilfe der Definition des Tangens aufstellen. Es gilt

    $\tan(30,96^\circ)= \frac x{15}$.

    Mit dem bekannten Tangenswert $\tan(30,96^\circ)=0,6$ ist also die folgende Gleichung zu lösen

    $\begin{align} 0,6&=\frac x{15}&|&\cdot 15\\ 0,6\cdot 15&=x\\ 9&=x. \end{align}$

    Dies ist die gesuchte Länge der Gegenkathete: $9~cm$.

  • Gib das Seitenverhältnis an, welches den Tangens beschreibt.

    Tipps

    Bei den Definitionen von Sinus und Kosinus steht immer die Hypotenuse im Nenner.

    Es gibt auch den Kotangens. Dieser ist definiert als das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete.

    Der Tangens des spitzen Winkels $37^\circ$ entspricht der Steigung der gelben Strecke.

    Lösung

    Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den spitzen Winkeln $\alpha$ und $\beta$ zu sehen.

    • Die rote Seite ist die Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.
    • Die grüne Seite ist die Gegenkathete (Ankathete) von $\alpha$ ($\beta$).
    • Die blaue Seite ist die Gegenkathete (Ankathete) von $\beta$ ($\alpha$).
    In einem rechtwinkligen Dreieck sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens eines spitzen Winkels wie folgt definiert.

    $\mathbf{\sin(\alpha)}$$=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha }{\text{Hypotenuse}}$

    $\mathbf{\cos(\alpha)}$$=\frac{\text{Ankathete von }\alpha }{\text{Hypotenuse}}$

    $\mathbf{\tan(\alpha)}$$=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha }{\text{Ankathete von }\alpha}$

  • Wende die Definition des Tangens an, um die jeweiligen Höhen zu berechnen.

    Tipps

    Dies sind die Tangenswerte, welche du verwendest solltest:

    • $\tan(28^\circ) \approx 0,5317$
    • $\tan(32^\circ) \approx 0,6249$
    • $\tan(8^\circ) \approx 0,1405$
    • $\tan(48^\circ) \approx 1,1106$

    Fertige dir eine Skizze an.

    Für die verschiedenen Gebäude musst du jeweils sowohl den Abstand und den Winkel eintragen.

    Überlege dir, ob der bekannte Abstand die An- oder Gegenkathete ist.

    Lösung

    Es ist sehr sinnvoll zum besseren Verständnis der Aufgabe eine Skizze anzufertigen.

    Diese könnte so wie hier zu sehen aussehen.

    Darin ist zu erkennen, dass bei jeder der zu berechnenden Höhen die folgende Gleichung zu lösen ist

    $\tan($Winkel$)=\frac{\text{Höhe}}{\text{Entfernung}}$.

    Durch Multiplikation mit der bekannten Entfernung erhält man eine Formel zur Berechnung der Höhe

    Höhe$=\tan($Winkel$)\cdot$ Entfernung.

    Nun können die jeweils bekannten Größen eingesetzt werden:

    • Die Höhe des Kirchturms beträgt $\tan(28^\circ)\cdot 100\approx 53,17$, also ungefähr $53$ Meter.
    • Die Höhe des Rathauses beträgt $\tan(32^\circ)\cdot 50\approx 31,24$, also ungefähr $31$ Meter.
    • Die Höhe des Mastes beträgt $\tan(8^\circ)\cdot 120\approx 16,85$, also ungefähr $17$ Meter.
    • Die Höhe des Hauses beträgt $\tan(48^\circ)\cdot 8\approx 8,88$, also ungefähr $9$ Meter.
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